無 題
最是浮沉萬物中
鐘情對稱有春風(fēng)
春風(fēng)拂過秋高遠(yuǎn)
目盡楓林自勝紅
6. 編按
《SOS—操弄對稱的相似原理 (上)》一文，對基本對稱操作下的SOS 原理作出說明。作者S. W. Cheong 與譯者李翔博士行文流水之處，偶有浪花，讓SOS 看起來顯得簡潔而新奇。當(dāng)然，作者從來就不會滿足，依然在繼續(xù)腦洞大開、繼續(xù)他天馬行空的節(jié)奏。這里，再呈現(xiàn)原文的第二部分、即(下) 的譯文，供讀者御覽與詰問。
7. 角動量與非互易
前文討論非互易性時(shí)，尚未涉及過角動量。本小節(jié)將展示，考慮角動量后，SOS 原理依然有效。例如，圓偏振光具有自旋角動量，繞傳播軸螺旋狀扭轉(zhuǎn)的渦旋光束或電子，就具有了軌道角動量[39 - 42]。當(dāng)具有角動量 l 的物體沿一個(gè)方向以波矢 k 運(yùn)動時(shí)，可以通過{R, T} 對稱操作，把它關(guān)聯(lián)到與其相互反向的運(yùn)動上，如圖 6(a) 所示。這里，根據(jù) SOS 原理，只要構(gòu)成量不破壞{R, T} 對稱性，那么它將是互易的。例如，當(dāng)一個(gè)具有角動量的對象，沿著手性材料的手性軸方向運(yùn)動時(shí)，由于手性結(jié)構(gòu)不破壞{R, T} 對稱性，所以是互易的。最典型的例子就是手性材料中的互易旋光性：沿著手性軸向兩個(gè)相反方向傳播的線性偏振光，有著完全相同的偏振旋轉(zhuǎn)。
圖6. 與角動量相關(guān)的多種物理現(xiàn)象，這些角動量可以是圓偏振光中的自旋角動量，也可以是渦旋電子或光束中的軌道角動量。(a) 引入角動量后的非互易效應(yīng)。其中，左側(cè)和右側(cè)可以通過{R, T} 對稱操作關(guān)聯(lián)。對于其中給出的構(gòu)成量，藍(lán)色箭頭表示自旋或 M，紅色箭頭表示 P，它們均具備{R, T} 對稱性破缺。(b) {M (= I ⊕ R), M ⊕ R, I ⊕ T} 對稱操作可以將具有相反角動量的運(yùn)動行為關(guān)聯(lián)起來。右側(cè)所示的所有構(gòu)成量均具備破缺的 {M, M ⊕ R, I ⊕ T}，故對角動量符號有依賴性。(c) 一種準(zhǔn)平衡過程，表示外電場下 p – n 結(jié)中的誘導(dǎo)電流，或者光照下極性材料中的誘導(dǎo)電流，這對應(yīng)著 p – n 結(jié)和鐵電體中的光伏效應(yīng)；(d) & (e) 手性材料或鐵磁材料在圓偏振光或渦旋光束 (l ) 照射 (k )下能夠誘發(fā)光電流，即圓偏振光致電流效應(yīng)。(f) - (h) 不同類型的霍爾效應(yīng)，其中，Eext 是外場，ΔT 是溫度差，“ ，-”代表誘導(dǎo)的霍爾電壓，“h：hot，c：cold”代表誘導(dǎo)的霍爾熱梯度。圖 (h) 中的 H 與 J 成 45 度。
然而，當(dāng)材料中的{R, T} 對稱性發(fā)生破缺時(shí)，情況將變得很不同。我們知道，M 會打破 {R, T} {M} 對稱性。如此一來，構(gòu)成量中的 M 如果介入含有角動量的運(yùn)動，就會導(dǎo)致非互易效應(yīng)。例如，沿著磁化軸方向傳播、且具有角動量的運(yùn)動對象便是非互易的。事實(shí)上，這種非互易性正是鐵磁或亞鐵磁材料中出現(xiàn)法拉第旋轉(zhuǎn)的根源，也直接與磁光克爾效應(yīng) (magneto-optic Kerr effects, MOKEs) 有關(guān)。后文會再次回到這一問題上來。
在對亞鐵磁石榴石Tb3Fe5O12 進(jìn)行 THz 渦旋束傳播實(shí)驗(yàn)時(shí)，首次發(fā)現(xiàn)了具有軌道角動量的渦旋光束存在非互易性 [43]。類似地，環(huán)磁極矩也具備破缺的 {R, T}。因此，當(dāng)傳播方向沿著材料環(huán)磁極矩的方向時(shí)，具有軌道角動量的渦旋光束和圓偏振光也將展現(xiàn)出非互易效應(yīng)。此外，結(jié)合了電場 E 或極化 P 的磁單極子，在有角動量存在的情況下也將具備 {R, T} 對稱性破缺，從而展現(xiàn)出非互易效應(yīng)。
以上討論的所有情形都可以總結(jié)在圖 6(a) 中。不過，其中大部分還有待實(shí)驗(yàn)證實(shí)。也就是說，這些實(shí)驗(yàn)將是創(chuàng)新性的、值得實(shí)施的。
當(dāng)然，也可以通過{M (= I ⊕ R), M ⊕ R, I ⊕ T} 對稱操作，將具有相反軌道角動量的渦旋光束、或具有相反圓偏振態(tài)的偏振光關(guān)聯(lián)起來，如圖 6(b) 所示。其中，右側(cè)所有的構(gòu)成量均具備破缺的 {M, M ⊕ R, I ⊕ T}。需要注意的是，由于這里光的運(yùn)動方向都是 k，故此處關(guān)注的應(yīng)當(dāng)是角動量，并不涉及非互易效應(yīng)。根據(jù) SOS 原理，我們就可以通過改變角動量 l 的符號，來改變渦旋光束或圓偏振光的傳播狀態(tài)。在鐵磁 (亞鐵磁) 體中，以透射模式傳播的圓偏振光之標(biāo)準(zhǔn)磁性圓二色性 (magnetic circular dichroism，指材料在強(qiáng)磁場作用下，電子躍遷到不同的激發(fā)態(tài)。這些激發(fā)態(tài)對左旋和右旋圓偏振光吸收是不同的)，就與構(gòu)成量中 M 對角動量符號的依賴性有關(guān)[44]。例如，我們在亞鐵磁石榴石Tb3Fe5O12 薄膜中觀測到的 THz 渦旋光束就展示了對角動量符號的依賴性 [43]。
需要說明的是，不破壞空間反轉(zhuǎn)對稱的鐵轉(zhuǎn) (ferro-rotation) 本身并不具有旋光性 [譯者注：因?yàn)殡娕紭O子構(gòu)成的鐵轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)與時(shí)間無關(guān)，具備 T 對稱；同時(shí)鐵轉(zhuǎn)具備 I 對稱，故不會破壞 {I ⊕ T} 對稱性]。但是，當(dāng)施加外電場 E 時(shí)，鐵轉(zhuǎn)將同時(shí)具備破缺的 {M (= I ⊕ R), M ⊕ R, I ⊕ T}，最終引發(fā)互易旋光性。這種互易旋光性正比于外電場，被稱為線性電致旋光 [45]。
8. SOS之拓展：準(zhǔn)靜態(tài)電子輸運(yùn)
本文一開始即闡釋清楚，鐵電體中的 P 可以等效于p – n 結(jié)中的內(nèi)電場，能夠帶來非互易電子輸運(yùn)特性。因此，在光照下，于 p – n 結(jié)中常見的光伏效應(yīng)也能在鐵電體中表現(xiàn)出來 [10, 11]。事實(shí)上，光伏效應(yīng)反映的是一個(gè)系統(tǒng)在持續(xù)光照后的準(zhǔn)平衡過程，因此，持續(xù)光照這一過程本身就破壞了時(shí)間反演 T 對稱性。所以，后續(xù)的準(zhǔn)平衡過程不必再去額外考慮 T。這一點(diǎn)類似于外電場下的電子輸運(yùn)。這里，可以從另外一個(gè)對稱性的角度來看待這些準(zhǔn)平衡過程，并延伸出一個(gè)新的概念——對稱操作系統(tǒng)性 (symmetry operational systematics)。它表明構(gòu)成量中的某一物理現(xiàn)象在所有對稱操作下 (除T ) 都能夠系統(tǒng)地、有規(guī)律地變化。
其實(shí)，對稱操作系統(tǒng)性跟對稱操作相似原理的理念類似，可以作為 SOS 的延伸。并且巧合的是，它的首字母也是“SOS”，姑且稱這位孿生兄弟為 SOS#。比如圖 6(c) 所示的構(gòu)成量中，P 和 J 在所有對稱操作下(除T ) 或保持不變，或同時(shí)改變方向。這就是一種SOS#。
來看一個(gè)簡單的例子：已知手性材料在圓偏振光 (l )照射 (k ) 下能夠誘發(fā)光電流，被稱為圓偏振光致電流效應(yīng) (circular photo galvanic effects, CPGE) [46 - 48]，如圖 6(d) 所示?，F(xiàn)在可以用 SOS# 來探討其中的對稱性要求。若要產(chǎn)生這一光致電流效應(yīng)，其對稱性的要求是：在誘導(dǎo)電流 J 保持不變的前提下，對稱操作必須能夠使偏振 (l ) 和手性同時(shí)改變方向，如 M 或 M ⊕ R。根據(jù) SOS#，若把手性材料換成圖 6(e) 所示的鐵磁 / 亞鐵磁材料 (或者施加了外磁場的任意材料)，它在 M 或 M ⊕ R 對稱操作下，偏振 (l ) 和磁性 (M ) 也會同時(shí)反向，將同樣能夠展現(xiàn)出 CPGE。不過，到目前為止，似乎尚未討論和實(shí)驗(yàn)證實(shí)過鐵磁 / 亞鐵磁材料中的 CPGE。
相信讀者對霍爾效應(yīng)耳熟能詳。以上所述的 SOS#，正可以應(yīng)用來描述所有類型的霍爾效應(yīng)輸運(yùn)行為[49 - 55]。圖 6(f) 所示的四種組合(Eext , , -)、(Eext , h, c)、(ΔT, , -) 和 (ΔT, h, c) 分別對應(yīng)著霍爾效應(yīng)、愛廷豪森 (Ettingshausen) 效應(yīng)、能斯特 (Nernst) 效應(yīng)以及熱 (Thermal) 霍爾效應(yīng)。其中，Eext 是外場，ΔT 是溫度差，“ , -”代表誘導(dǎo)的霍爾電壓，“h: hot, c: cold”代表誘導(dǎo)的霍爾熱梯度 [譯者注：簡單說明一下——由于磁場的存在，霍爾效應(yīng)描述的是垂直于電場方向上出現(xiàn)的電勢差。愛廷豪森效應(yīng)描述的就是溫度差；能斯特和熱霍爾效應(yīng)只是把電場 Eext 變?yōu)闇夭?/span>ΔT 而已]。在圖 6(g) 中，Eext 對應(yīng)著自旋霍爾效應(yīng)，ΔT 對應(yīng)著自旋能斯特效應(yīng)。圖 6(h) 所示的四種組合(Eext , , -)、(Eext , h, c)、(ΔT, , -)、和 (ΔT, h, c) 分別對應(yīng)著平面霍爾效應(yīng)、平面愛廷豪森效應(yīng)、平面能斯特效應(yīng)以及平面熱霍爾效應(yīng)。
在以上這些構(gòu)成量，線性霍爾效應(yīng)均能根據(jù)對稱操作 (除 T ) 系統(tǒng)地、有規(guī)律地變化，即展現(xiàn)出 SOS#。以圖 6(h) 為例：在實(shí)驗(yàn)上，當(dāng) H (在紙面內(nèi)) 旋轉(zhuǎn) 90 度時(shí)，誘導(dǎo)的平面霍爾電壓 ( , -) 或者熱梯度 (h, c) 將會發(fā)生 180 度翻轉(zhuǎn)；而從對稱性上，M_ (= I ⊕ R) 操作剛好能夠同時(shí)使得 H 旋轉(zhuǎn) 90 度以及電壓/熱梯度翻轉(zhuǎn) 180 度。當(dāng)然，這是在 H 和 J (Eext 與 J 同向) 的夾角φ 為 45 度時(shí)的特例。事實(shí)上，當(dāng)φ 為任意角度時(shí) (0 < φ < 90度)，平面霍爾電壓 ( , -) 或者熱梯度 (h, c) 將線性正比于 sin(2φ)，為非零值。當(dāng)圖 6(f) & (h) 中的 H 被 M 替代時(shí)，相關(guān)的效應(yīng)將是“反常的”，比如在圖 6(f) 中 (Eext , , -) M 的組合即為反?；魻栃?yīng)。
如果在圖 6(f) - (g) 中的構(gòu)成量基礎(chǔ)上增加某一具備破缺對稱性的元素集合，將會誘發(fā)非線性效應(yīng)。下面以圖 6(f) 中的霍爾效應(yīng) (Eext , , -) H 為例加以說明：
一方面，{R, M_, M∣⊕R·} [譯者注：M_ 沿 J 方向并且垂直于紙面，M∣ 垂直于 J 方向和紙面，R· 垂直于紙面] 中的任意一個(gè)對稱操作均能使得 H 和 ( , -) 同時(shí)反向且保持 J 不變。此時(shí)，當(dāng)構(gòu)成量中出現(xiàn)破缺的 {R, M_, M∣ ⊕ R·} 時(shí)，誘導(dǎo)的霍爾電壓( , -) 與 H 的關(guān)系將由線性轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性。同時(shí)，我們似乎可以很大膽地預(yù)測另一個(gè)極有可能發(fā)生的新物理現(xiàn)象：如果一個(gè)既不處于磁場 H 中、也沒有自發(fā)磁性 M 的構(gòu)成量具備破缺的 {R, M_, M∣ ⊕ R·}，那么它就極有可能展現(xiàn)出非零的霍爾效應(yīng)。這種破缺可以源于結(jié)晶學(xué)或磁學(xué)，因此，正如鐵磁體中發(fā)現(xiàn)的反?；魻栃?yīng)一樣，我們可以期待在無凈磁矩的某些特殊反鐵磁有序系統(tǒng)中觀察到新奇的霍爾效應(yīng)。
另一方面，{R·, I} 中的任意一個(gè)對稱操作均能使得 J 和 ( , -) 同時(shí)反向且保持 H 不變。此時(shí)，當(dāng)構(gòu)成量中出現(xiàn)破缺的 {R·, I} 時(shí)，誘導(dǎo)的霍爾電壓 ( , -) 與 J 的關(guān)系將由線性轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性。事實(shí)上，手征的極性材料 (手性軸和極化軸均垂直于紙面) 就具備破缺的 {R, M_, M∣ ⊕ R·} 但不具備破缺的 {R·, I}。根據(jù) SOS#，誘導(dǎo)的霍爾電壓 ( , -) 與 H 的關(guān)系變?yōu)榉蔷€性，但是與 J 的關(guān)系保持線性。
9. MOKE 型旋光
SOS 原理也可以用于分析正入射線偏振光的反射光束是否會偏振旋轉(zhuǎn)。圖 7 中左上和右上所示的兩種實(shí)驗(yàn)情況，可以通過{M, M ⊕ R, T} 對稱操作關(guān)聯(lián)起來，并且下方所示的構(gòu)成量均具備破缺的 {M, M ⊕ R, T}，因此可以展現(xiàn)出偏振旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。其中，圖 7(a) 用于表示鐵磁體中反射光的偏振旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)的MOKE。圖 7(b) 對應(yīng)著無凈磁矩的反鐵磁Cr2O3 中反射光的偏振旋轉(zhuǎn) [56, 57]；圖 7(c)對應(yīng)于磁單級子中反射光的偏振旋轉(zhuǎn)；圖 7(d) 是圖5(c) 中所述的具有面內(nèi)伊辛反鐵磁有序的蜂窩晶格。圖 7(e) 是圖 5(f) 中所述的具有面外伊辛反鐵磁有序的翹曲蜂窩晶格。需要注意的是，這里光束應(yīng)當(dāng)是垂直于蜂窩晶格面的，圖中用一個(gè) 90 度翻轉(zhuǎn)箭頭標(biāo)出。圖 7(f) 的kagome 晶格與 MOKE 型旋光性有關(guān)。這一旋光性在具有極小凈磁矩的反鐵磁 Mn3Sn 中被觀測到 [58]。需要指出的是，如果圖 7(f) 中的偏振光垂直于 kagome 晶格入射，將不會出現(xiàn) MOKE 型旋光，因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)未破缺的M 對稱性，它的鏡面由紙面內(nèi)的垂直軸和紙面的法向共同確定。
圖7. 線偏振光反射光束的偏振旋轉(zhuǎn)。紅色雙箭頭表示偏振方向，藍(lán)色箭頭表示自旋、磁化或極化。左上和左下兩種情形可以通過 {M, M ⊕ R, T} 對稱操作關(guān)聯(lián)，而 (a) - (f) 列舉的所有構(gòu)成量均具備破缺的 {M, M ⊕ R, T}，因此能夠展現(xiàn)出光的偏振旋轉(zhuǎn)(MOKE 型旋光)。需要指出，偏振光都是從左向右傳播。特別地，為了方便示意，(d) 和 (e) 中兩個(gè) (翹曲) 蜂窩狀構(gòu)成量實(shí)際上沿著紙面內(nèi)的豎直軸旋轉(zhuǎn)了 90 度 (已在圖中標(biāo)示)，即光應(yīng)當(dāng)是垂直于蜂窩面?zhèn)鞑サ摹?/span>
遺憾的是，磁單極子和上述 (翹曲) 蜂窩晶格中的 MOKE 型旋光尚未得到實(shí)驗(yàn)證實(shí)。不過可以預(yù)測，磁單極子效應(yīng)極有可能在六角R(Fe, Mn)O3 的 A2 相中實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，要想在具有伊辛反鐵磁有序的 (翹曲) 蜂窩系統(tǒng)中觀察到 MOKE 型旋光的宏觀體效應(yīng)，則要求多層蜂窩晶格的貢獻(xiàn)互不抵消。
10. 二次諧波發(fā)生 (SHG)
非線性光學(xué)主要涉及到光學(xué)上的相干過程，其中光與物質(zhì)的相互作用能夠改變光的頻率。最簡單的例子就是具有倍頻的二次諧波發(fā)生 (second harmonic generation, SHG)。這種效應(yīng)通常是相當(dāng)弱的，想要觀察到的話，必須提供很高的電磁場強(qiáng)度，如采用大功率脈沖激光。由于晶體化合物的點(diǎn)群對稱性以及磁對稱性對 SHG 的產(chǎn)生有著決定性的作用，因此可以利用 SHG 來觀察鐵磁或反鐵磁疇等。下面用 SOS 原理來討論哪些材料能夠產(chǎn)生 SHG。
對于正入射的相干光，如果反射光束的偏振態(tài)與入射光束平行，就可以用一種較為簡單的對稱性方法來分析：用 SHG(XX) 表示，其中前后兩個(gè) X 分別代表入射和反射光的偏振方向。圖 8(a) 中左側(cè)和右側(cè)所示的情況可以通過{R, M- (= I ⊕ R∣)} 對稱操作關(guān)聯(lián)。因此，如果某一材料具備 {R, M-} 對稱性中的任一種，那么它對 X 方向偏振入射光的光學(xué)響應(yīng)將不具有非對稱分量，即出射光的正負(fù)偏振完全抵消，無法觀察到 SHG(XX)。相反，如果任何材料具備破缺的 {R, M-}，那么 SHG(XX) 就會出現(xiàn)。
圖8. 正入射相干光的 SHG 的對稱性分析。(a) 正入射的相干光，反射光束的偏振態(tài)與入射光束平行，對應(yīng)于 SHG(XX)。左側(cè)和右側(cè)兩種情形可以通過{R, M-} 對稱操作關(guān)聯(lián)。當(dāng)構(gòu)成量發(fā)生 {R, M-} 對稱性破缺時(shí)，將出現(xiàn)SHG(XX)。紅色箭頭表示相干光中的電場 (或極化)；(b) R 能夠關(guān)聯(lián)第一、二兩種構(gòu)成量，M□ (□ 代表紙面) 能夠關(guān)聯(lián)第一、三兩種構(gòu)成量。當(dāng)材料具備破缺的 {R, M□} 時(shí)，SHG(XY) 就會出現(xiàn)。(c) & (e) 蜂窩晶格中的面外反鐵磁構(gòu)型。(d) & (f) (翹曲) 蜂窩晶格中的反鐵磁構(gòu)型。其中，實(shí)心圓表示處于紙面之下的自旋，空心圓表示處于紙面之上的自旋。注意，在 (c) - (f) 中，相干光應(yīng)垂直于紙面入射。它們均具備破缺的 R 對稱性，也具備破缺的 M- (綠色虛線代表鏡面，鏡面與紙面垂直) 或 M□ 對稱性?？衫?/span> SHG(XX) 或 SHG(XY) 觀察其中的反鐵磁疇。
圖 8(c) - (f) 給出了多種 (翹曲) 蜂窩晶格中的反鐵磁構(gòu)型。其中，R 的二重旋轉(zhuǎn)軸垂直于紙面。一方面，在不考慮反鐵磁序的情況下，只有翹曲蜂窩晶格才具備破缺的 R。另外，如果以水平的、并且垂直于翹曲蜂窩晶格面的鏡面作為反映面，M- 對稱性也將破缺。也就是說，如果 X 方向垂直于紙面，圖 8(d) 和 8(f) 所示的翹曲蜂窩晶格將會展現(xiàn)出 SHG(XX)。比如，當(dāng) X 垂直于非中心對稱的 GaAs之 (111) 面時(shí)，就是這種情況。另一方面，如果考慮反鐵磁序，圖 8(c) -(f) 中的所有構(gòu)型均具備破缺的 R。同時(shí)，如果以圖中綠色虛線作為鏡面 (鏡面垂直于紙面)，它們也將具備破缺的 M-。此時(shí)，如果 X 方向垂直于紙面，那么 SHG(XX) 將會發(fā)生。比如，在 Cr2O3 中就利用這種磁 SHG(XX) 觀察到了反鐵磁疇 [59] [譯者注：需要注意的是，雖然反鐵磁疇有著不同的 SHG 相位響應(yīng)，但通常 SHG 的強(qiáng)度是通過實(shí)驗(yàn)測量的。由于疇壁的強(qiáng)烈干擾，圖像中只有疇壁能夠表現(xiàn)出對比度。不過，當(dāng)磁 SHG 與晶格 SHG 結(jié)合時(shí)，由于二者疊加時(shí)涉及到磁 SHG 的正負(fù)號，將能夠表現(xiàn)出對比度 [59]]。
在圖 8(b)中，R 能夠關(guān)聯(lián)第一、二兩種構(gòu)成量，M□ (□ 代表紙面) 能夠關(guān)聯(lián)第一、三兩種構(gòu)成量。因此，如果材料具備 {R, M□} 對稱性中的任意一個(gè)，沿著 Y方向 (Y 垂直于入射光偏振方向 X 以及光的傳播方向) 的光學(xué)響應(yīng)將不具有非對稱分量，無法觀察到 SHG(XY)。相反，如果任一材料具備破缺的 {R, M□}，那么 SHG(XY) 就會出現(xiàn)。
現(xiàn)在我們將正入射相干光的 SHG 效應(yīng)進(jìn)行如下概括：
(1) 當(dāng) R 對稱性破缺時(shí)，總能夠存在至少一個(gè)破缺的 Mn 鏡面對稱性。此時(shí)，令探測面垂直于該鏡面。
(2) 當(dāng) X 垂直于 Mn 時(shí)，將發(fā)生 SHG(XX) 效應(yīng)。當(dāng) X 平行于 Mn 時(shí)，將發(fā)生SHG(XY) 效應(yīng) (Y 垂直于 Mn)。
這里的第 (2) 條前面已經(jīng)討論過。對于第 (1) 條，我們可以使用如下反證法：
假設(shè)不存在破缺的 Mn (= I ⊕ Rn) 對稱性，那么可以找出兩個(gè)不破缺的、相互垂直的鏡面反映 Mn1 和 Mn2。此時(shí)，Mn1⊕ Mn2 = (I ⊕ R1) ⊕ (I ⊕ R2) = R1 ⊕ R2。其中， R1 和 R2 的旋轉(zhuǎn)軸分別垂直于Mn1 和 Mn2。由于 Mn1 和 Mn2 是任意的，我們完全可以選擇這樣兩個(gè)鏡面，使得R、R1 和 R2 相互垂直。如此，我們有 R1⊕ R2⊕ R= 1。因?yàn)槎涡D(zhuǎn)軸 R-1 = R，所以Mn1 ⊕ Mn2 = R1 ⊕ R2 = R-1 = R。由于Mn1 和 Mn2 不破缺，故R 不破缺，與條件相悖。證畢。
11. 總結(jié)與展望
行文至此，相信讀者或多或少對 SOS 原理有了一定的了解。本文中，我們詳細(xì)探討了諸如非互易性、磁致鐵電、線性磁電效應(yīng)、旋光性 (包括磁光克爾旋轉(zhuǎn)和法拉第旋轉(zhuǎn))、光伏效應(yīng)以及二次諧波發(fā)生等物理現(xiàn)象，并且有理由相信 SOS 原理可以作為有力的手段，去甄別那些具有潛在新效應(yīng)的材料。不過，在以上的討論中，很有可能遺漏了一些能夠展現(xiàn)出特定物理現(xiàn)象的未知構(gòu)成量。當(dāng)然，如果要在實(shí)際材料中實(shí)現(xiàn)本文所描述的各種效應(yīng)，不同一維鏈或二維層之間的貢獻(xiàn)必須能夠合理而有效地疊加成宏觀效應(yīng)。
好吧，現(xiàn)在我們可以總結(jié)一下 SOS 原理能夠給出的各種新奇預(yù)測，包括：
(1) 磁螺旋序具備關(guān)于結(jié)構(gòu)手性的 SOS，將能展現(xiàn)出旋光性；
(2) 在圖 2(c) 單軸手性材料中，將能出現(xiàn)光學(xué)傳輸或電子輸運(yùn)的橫向磁 - 手性效應(yīng)；
(3) 對圖 2(g) 中由旋轉(zhuǎn)自旋構(gòu)成的環(huán)磁極矩，能夠觀察到非偏振光或自旋波傳播的非互易性；
(4) 當(dāng)Neel 型鐵電疇壁沿著垂直于疇壁的方向運(yùn)動時(shí)，能夠誘導(dǎo)出垂直于極化旋轉(zhuǎn)方向的磁性；
(5) 圖 5 以及圖 6(a) & 6(b) 中很多未在實(shí)際材料中觀察到或考慮過的現(xiàn)象；
(6) 圖 6(c) 中未在實(shí)際材料中觀察到或考慮過的鐵磁/亞鐵磁 CPGE 效應(yīng)；
(7) 圖 6(f) 中未在實(shí)際材料中觀察到或考慮過的非線性霍爾型輸運(yùn)性質(zhì)。這些性質(zhì)從技術(shù)來看，應(yīng)該比較容易在實(shí)驗(yàn)中得到檢驗(yàn)；
(8) 圖 7 中磁單極子系統(tǒng)和具有反鐵磁伊辛序的 (翹曲) 蜂窩系統(tǒng)中，可能存在 MOKE 型旋光性；
(9) 利用 SHG 成像技術(shù)觀察圖 8(c) & 8(e) & 8(f) 中的反鐵磁 (翹曲) 蜂窩晶格系統(tǒng)。
令人欣慰的是，利用 SOS 原理進(jìn)行預(yù)測之后，橫向磁手性效應(yīng)已經(jīng)成功地在Ni3TeO6 中觀測到[60]。
最后，需要指出，在測量方面，筆者根據(jù) SOS 原理揭示了正入射相干光的 SHG 準(zhǔn)則(見 SHG 部分)。該準(zhǔn)則不僅適用于晶格結(jié)構(gòu)，也適用于磁結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步，在測量方面亟需進(jìn)行的一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的工作是：利用諸如非互易性或光學(xué)偏振旋轉(zhuǎn)等特性，對反鐵磁 (包括磁單極子和環(huán)磁極矩) 疇 / 疇壁或鐵轉(zhuǎn)疇 / 疇壁進(jìn)行空間分辨 (<1 mm) 成像。具有軌道角動量的渦旋光或電子束，也將是用來探測與對稱性破缺相關(guān)聯(lián)物理現(xiàn)象的強(qiáng)力手段。
12. 后話
最后，略顯遺憾的是，SOS 原理既不能說明物理現(xiàn)象的微觀機(jī)制，也不能預(yù)估它們的大小。不過，正如在圖 4(a)中所展示的那樣，所有具有螺旋自旋序的磁體在實(shí)驗(yàn)中均展現(xiàn)了可觀測的極化 P。我們堅(jiān)信，如果某一物理現(xiàn)象在對稱性破缺考慮下是允許的，那么這個(gè)效應(yīng)通常就足夠大到可以被實(shí)驗(yàn)所觀測。這似乎與著名的 Murray Gell-Mann 論述遙相呼應(yīng)：“everything not forbidden is compulsory (只要沒有基本原理禁止它發(fā)生，它就可以發(fā)生)” [61]。
13. 參考文獻(xiàn)
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備注：
(1) 題頭小詩以示春華秋實(shí)之物理，乃對稱最被鐘情。這是物理的魅力和景色。
(2) 封面圖片來自https://www.ics.usi.ch/index.php/group-bronstein/13-ics/projects/。
(3) 本文翻譯得到作者授權(quán)并經(jīng)Nature 出版集團(tuán)同意。
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