來源 | 新原理研究所

科學(xué)探索的歷程可以說是尋找宇宙的秩序與模式的過程，例如牛頓運(yùn)動(dòng)定律就揭示了宇宙模式背后深刻的規(guī)律。但像雙擺系統(tǒng)、三體問題這類問題，它們?nèi)匀皇芘ｎD運(yùn)動(dòng)定律支配，其運(yùn)動(dòng)卻表現(xiàn)出難以預(yù)測(cè)的復(fù)雜性，形成所謂的混沌運(yùn)動(dòng)。那么，我們?cè)谧匀唤缰锌吹降脑S多不可預(yù)測(cè)性，是因?yàn)樽匀唤绲膹?fù)雜性和無法解釋性導(dǎo)致的？還是說，那些看似不可預(yù)測(cè)的行為，實(shí)際上能從受牛頓定律支配的系統(tǒng)中產(chǎn)生？

制約宇宙的定律是否允許我們準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)到將來會(huì)有什么發(fā)生在我們身上？

“簡(jiǎn)短的回答即是否定的，也是肯定的。在原則上，定律允許我們預(yù)測(cè)未來。但在實(shí)踐中，通常計(jì)算都太難了。”

——《十問：霍金沉思錄》

1

我們能夠預(yù)測(cè)未來嗎？這是一個(gè)許多人都在試圖回答的問題。

如果這個(gè)未來是之后的一秒，那么對(duì)我們周圍的大多數(shù)事物來說，一秒并不會(huì)發(fā)生太多變化。

如果這個(gè)未來是接下來的一小時(shí)，我們可以非常確定地說，我們的房子還在，我們所在城市不會(huì)突然消失，我們會(huì)變得稍微老一點(diǎn)點(diǎn)。

如果這個(gè)未來是一天，我們?nèi)匀豢梢猿晒Φ仡A(yù)測(cè)一些事情。例如，火車時(shí)刻列表是一樣的，這個(gè)世界還在。但有些事情卻可能已經(jīng)發(fā)生了很大的變化，比如股市可能在一天內(nèi)崩盤了，一場(chǎng)風(fēng)暴可能來襲。

如果這個(gè)未來是一個(gè)月，甚至一年，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)時(shí)間越久遠(yuǎn)，不確定性就越大。例如，你會(huì)相信一個(gè)月后的天氣預(yù)報(bào)嗎？你能精確地預(yù)測(cè)一年后的經(jīng)濟(jì)狀況嗎？

量子力學(xué)的奠基人之一玻爾（Niels Bohr）曾說過：“預(yù)測(cè)任何東西都是極其困難的，尤其是關(guān)于未來。”

能解釋事物如何變化是我們預(yù)測(cè)事物的關(guān)鍵。變化往往是緩慢的，比如在生物學(xué)的進(jìn)化系統(tǒng)；有時(shí)，變化又非?？欤热缁鹕奖l(fā)。在某種意義上，兩者都是可預(yù)測(cè)的事件。難以預(yù)測(cè)的是突然的變化——比如一個(gè)看似穩(wěn)定的系統(tǒng)突然發(fā)生災(zāi)難性的變化。

這種重大的變化可能是由一個(gè)突然的外部因素引起的，也可能是由許多微弱的原因積累而致的。前者的例子有6500萬年前因小行星撞擊地球而導(dǎo)致的恐龍滅亡，后者的例子常被描述為是壓垮駱駝的最后一根稻草，比如雪崩以及戰(zhàn)爭(zhēng)的爆發(fā)等等。

關(guān)于預(yù)測(cè)，有一個(gè)在哲學(xué)上似乎矛盾的問題，那就是：我們能否預(yù)測(cè)不可預(yù)測(cè)的事？

或許，數(shù)學(xué)能幫我們回答這個(gè)問題。

2

這個(gè)宇宙是全然隨機(jī)的嗎？還是說它具有某些秩序與模式？

很顯然，大自然背后的確存在著基本的模式。正是因?yàn)橐庾R(shí)到了這一點(diǎn)，人類才走上了通往現(xiàn)代化的道路，帶來了科學(xué)的革命。可以說，科學(xué)所尋找的正是宇宙的秩序與模式。而數(shù)學(xué)不僅是這些模式的基礎(chǔ)，它還為我們提供了一種描述宇宙的方法。

如果你仔細(xì)觀察，你能看到在我們的周圍充滿了秩序與模式。例如雪花就是一個(gè)例子，雖然每一片雪花都不一樣，但它們都有著精確的六倍對(duì)稱。

自然界中遍布著高度規(guī)律的模式，我們?cè)缫蚜?xí)以為常，卻鮮少停下來去思考它們?yōu)槭裁创嬖?。然而，無論是雪花的形狀，還是晶體的原子排列，又或是巖石的折疊，它們背后都有著非?；径至瞬黄鸬某梢颉６钊梭@嘆的是，一些偉大的頭腦觀察到了恒星和行星運(yùn)動(dòng)的秩序和模式，從而打開了通往現(xiàn)代世界的大門。

在這里，有一位不得不提到的科學(xué)家，那就是伽利略（Galileo Galilei）。1581年，伽利略在比薩大教堂中觀察青銅吊燈的擺動(dòng)時(shí)，他意識(shí)到吊燈的擺動(dòng)是受可預(yù)測(cè)的規(guī)律支配的。他發(fā)現(xiàn)在氣流影響下晃動(dòng)的吊燈，無論其擺動(dòng)的幅度為何，來回?cái)[動(dòng)一次所花的時(shí)間都是一樣。然后，他用自己的脈搏來計(jì)時(shí)，在家里用大小不同但長(zhǎng)度相同的鐘擺來進(jìn)行試驗(yàn)。最終證實(shí)了鐘擺的擺動(dòng)時(shí)間并不取決于它的大小，也不取決于它的位置，只取決于它的長(zhǎng)度。

從此，鐘擺的擺動(dòng)成為了可預(yù)測(cè)的信息。不過當(dāng)時(shí)的伽利略并不知道為什么會(huì)是這樣，在他去世后不久，另一位偉大的科學(xué)家誕生了，那就是牛頓（Issac Newton）。

牛頓發(fā)現(xiàn)了許多隱藏在宇宙模式背后的定律，而且還發(fā)明了微積分等數(shù)學(xué)技術(shù)，這為我們理解宇宙的基本定律提供了重要工具。牛頓用他的三大運(yùn)動(dòng)定律清楚地描述了運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方式。這些定律全部可以用數(shù)學(xué)來描述，特別是微分方程，可以精確地描述運(yùn)動(dòng)如何隨時(shí)間演化。

利用微分方程在動(dòng)力系統(tǒng)理論中所起的核心作用，最終可以得到鐘擺的長(zhǎng)度（l）與擺動(dòng)周期（T）之間的精確數(shù)學(xué)關(guān)系：

如果鐘擺的長(zhǎng)度l=1m，那么T=2.00607，其中g(shù)=9.81ms?2.

這與伽利略的觀測(cè)完全吻合。

牛頓成功地將運(yùn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)，然后用數(shù)學(xué)的解來預(yù)測(cè)系統(tǒng)在未來的行為。這為理解宇宙的一般方法提供了一個(gè)思路：

• 寫下描述物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程；

• 解方程；

• 再用方程的解來預(yù)測(cè)未來。

這是一個(gè)真正的開創(chuàng)性想法，是科學(xué)發(fā)展史中轉(zhuǎn)折性的時(shí)刻。

1781年，赫歇爾（Herschel）在發(fā)現(xiàn)天王星之后，利用牛頓的引力理論計(jì)算出了它的軌道。在此之前，天文學(xué)家已經(jīng)用這種方法很完美地對(duì)其他行星的位置進(jìn)行了預(yù)測(cè)。因此當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)牛頓理論的預(yù)測(cè)和天王星的位置之間存在一點(diǎn)小小的偏差時(shí)，他們非常震驚。

問題到底出在哪？數(shù)學(xué)家亞當(dāng)斯（John Couch Adams）和勒威耶（Urbain le Verrier）推測(cè)可能存在另一顆行星影響了天王星的軌道。他們?cè)俅问褂门ｎD的理論，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出了這顆未知行星的位置。1846年，天文學(xué)家加勒（Galle）將望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)了正確的方向，正如預(yù)測(cè)的那般，他發(fā)現(xiàn)了海王星的存在。

在數(shù)學(xué)的幫助下，天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了海王星。

這個(gè)巨大的勝利給了數(shù)學(xué)家們莫大的信心，這表明通過將觀察到的宇宙模式轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)，就可以對(duì)未知事物的存在作出預(yù)測(cè)。到了1860年，麥克斯韋（John Clerk Maxwell）通過將法拉第（Faradays）的電和磁定律寫成數(shù)學(xué)方程再求解之后，預(yù)言了電磁波的存在。    

現(xiàn)在，我們預(yù)測(cè)未來天氣也有著類似的工作原理，我們會(huì)利用當(dāng)天的天氣，然后求解納維-斯托克斯大氣運(yùn)動(dòng)方程和熱力學(xué)方程以觀察大氣的演變。這些都是復(fù)雜性極高的方程，需要用計(jì)算機(jī)才可以求解。目前，我們已能夠足夠精確地完成這些計(jì)算，以較高的精度預(yù)測(cè)未來的天氣。

納維-斯托克斯方程組。

在19世紀(jì)，人們認(rèn)為宇宙是由服從牛頓定律的原子組成的，因此我們可以高度精確地預(yù)測(cè)原子的運(yùn)動(dòng)。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）在1814年發(fā)表了一則大膽的聲明，他說：

我們可以把宇宙現(xiàn)在的狀態(tài)視為其過去的果以及未來的因。假如一位智者能知道在某一時(shí)刻所有促使自然運(yùn)動(dòng)的力和所有構(gòu)成自然的物體的位置，假如他也能夠?qū)@些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，那么在宇宙中，從最大的物體到最小的粒子，它們的運(yùn)動(dòng)都包含在一條簡(jiǎn)單的公式里。對(duì)于這位智者來說，沒有任何事物會(huì)是含糊的，并且未來只會(huì)像過去般出現(xiàn)在他眼前。

這個(gè)智者被后人稱為“拉普拉斯妖”。

拉普拉斯時(shí)代以來，宇宙在一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)確定其他所有時(shí)間的狀態(tài)的思想一直說是科學(xué)的中心信條。這意味著我們至少在原則上可以預(yù)測(cè)未來......

——《十問：霍金沉思錄》

我們很難把拉普拉斯的大膽預(yù)測(cè)以及拉普拉斯妖與我們所觀察到的現(xiàn)實(shí)世界相提并論，因?yàn)閷?duì)人類而言，許多事件都是不可預(yù)測(cè)的。事實(shí)上，人類的行為本質(zhì)上是不可預(yù)測(cè)的，我們能夠行使自由意志。

不可預(yù)測(cè)也發(fā)生在物質(zhì)世界。比如我們無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)10天之后的天氣，同樣我們也很難預(yù)測(cè)氣候現(xiàn)象，厄爾尼諾南方濤動(dòng)現(xiàn)象（ENSO）就是一個(gè)很好的例子。

不可預(yù)測(cè)性的無處不在似乎與拉普拉斯預(yù)測(cè)的有序宇宙相矛盾。伴隨著牛頓定律在預(yù)測(cè)未來方面上的許多成功案例，我們不禁要問這樣一個(gè)問題：

我們?cè)谧匀唤缰锌吹降脑S多不可預(yù)測(cè)性真的是因?yàn)樽匀唤绲膹?fù)雜性和無法解釋性導(dǎo)致的嗎？還是說，看似不可預(yù)測(cè)的行為實(shí)際上能從受牛頓定律支配的系統(tǒng)中產(chǎn)生？

3

我們可以通過一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)來回答這個(gè)問題，那就是雙擺系統(tǒng)。雙擺系統(tǒng)是由兩個(gè)單擺耦合在一起形成的，它是伽利略對(duì)單擺研究的延伸，顯然，這個(gè)系統(tǒng)也受牛頓運(yùn)動(dòng)定律的支配。

這個(gè)系統(tǒng)只有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的部分，即上半部分的單擺和底部的單擺，每個(gè)部分都有位置和角速度這兩個(gè)變量。因此這個(gè)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為4個(gè)自由度。這比有著數(shù)十億個(gè)自由度的天氣要少得多。但即便如此，雙擺的行為仍然非常復(fù)雜，我們可以將它的運(yùn)動(dòng)劃分為三類。

如果上半部分和下半部分的單擺以較小的角度被拉到同一邊（下圖左），那么它們會(huì)像單擺一樣以規(guī)律的方式同步擺動(dòng)；如果這兩個(gè)部分以較小的角度被拉向相反的方向（下圖右），那么當(dāng)它們被釋放時(shí)則會(huì)繼續(xù)朝著相反的方向運(yùn)動(dòng)，這種異相的運(yùn)動(dòng)會(huì)一直周期性地持續(xù)下去。

最后，如果我們給鐘擺一個(gè)大大的擺動(dòng)，那么雙擺將以一種最不穩(wěn)定的幾乎隨機(jī)的方式運(yùn)動(dòng)。下圖所示的就是這樣一個(gè)例子，一盞燈被連接到了雙擺最低的部分，圖中記錄的便是它在這種情況下它隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡。不難看出，它的運(yùn)動(dòng)不僅復(fù)雜，而且極難預(yù)測(cè)。這樣的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)完全不符合我們前面所描述的可預(yù)測(cè)性，而是成為了混沌運(yùn)動(dòng)。

可能有人會(huì)說這種混沌運(yùn)動(dòng)之所以看似隨機(jī)，是因?yàn)殡p擺只是對(duì)隨機(jī)氣流做出反應(yīng)。然而事實(shí)卻并非如此。根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，我們可以用一對(duì)耦合的非線性二階常微分方程來描述這樣一個(gè)雙擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)：

θ：角度，l：長(zhǎng)度，m：質(zhì)量。

如果夾角較小，則可以用線性逼近，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行精確求解，預(yù)測(cè)上述的同相和異相行為。但如果夾角很大，則只能使用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行數(shù)值求解了。在完全基于牛頓運(yùn)動(dòng)定律的基礎(chǔ)上，計(jì)算機(jī)可以給出與物理系統(tǒng)完全相同的行為，這表明混沌行為確實(shí)可以作為牛頓方程的解存在。

那么我們應(yīng)該如何定義混沌行為呢？數(shù)學(xué)家Chris Budd將其描述為：

混沌運(yùn)動(dòng)是一種復(fù)雜、不規(guī)則且不可預(yù)測(cè)的行為，它產(chǎn)生于一個(gè)“簡(jiǎn)單”的系統(tǒng)，可以用“簡(jiǎn)單”的數(shù)學(xué)定律進(jìn)行精確描述。

混沌運(yùn)動(dòng)的一個(gè)關(guān)鍵特征在于它們對(duì)初始條件的敏感性，兩個(gè)非常接近的初始狀態(tài)會(huì)以非常不同的方式進(jìn)化，然后產(chǎn)生混沌。這種現(xiàn)象有一個(gè)通俗易懂的名字——蝴蝶效應(yīng)。蝴蝶效應(yīng)的概念引發(fā)了公眾的無限想象，它表明即使是微小的變化也會(huì)對(duì)未來產(chǎn)生巨大的影響，這種觀點(diǎn)似乎能與我們對(duì)宇宙如何運(yùn)行的一些看法產(chǎn)生共鳴。

這種混沌行為存在于許多物理系統(tǒng)中。比如一張混亂的臺(tái)球桌，臺(tái)球在桌子上撞來撞去，它們的運(yùn)動(dòng)模式是高度復(fù)雜的，然而，就像雙擺一樣，它產(chǎn)生于非常簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)定律。

這個(gè)場(chǎng)景在光學(xué)、聲學(xué)以及高頻WiFi中都有非常實(shí)際的應(yīng)用。就拿WiFi來說，上圖中的線就對(duì)應(yīng)于電磁輻射射線。這張復(fù)雜非凡的圖片意味著真正的混沌行為無處不在，我們很難預(yù)測(cè)一個(gè)房間內(nèi)的WiFi覆蓋強(qiáng)度。

…… 然而，在實(shí)踐中，我們預(yù)測(cè)未來的能力受限于方程的復(fù)雜性以及它們通常具有稱為混沌的屬性這一事實(shí)。

——《十問：霍金沉思錄》

4

混沌理論起源于洛倫茲（E. Lorenz）在1963年發(fā)表的一篇論文，當(dāng)時(shí)他正在試圖研究大氣的運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過大量簡(jiǎn)化之后，他將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為三個(gè)常微分方程：

在20世紀(jì)60年代以前，要準(zhǔn)確地解出這個(gè)方程組是不可能的。但之后快速數(shù)字計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使求解成為可能，其結(jié)果讓洛倫茲非常驚訝。他得到的結(jié)果并沒有出現(xiàn)他以為會(huì)出現(xiàn)的周期行為，而是以一種不穩(wěn)定的方式出現(xiàn)，他稱之為混沌。

下圖顯示的是用一組具有氣象意義的固定參數(shù)所繪制的 x(t) 演化圖，圖中顯示了隨著時(shí)間的推移具有復(fù)雜軌跡的混沌行為。這張圖采用了x(0) 的兩個(gè)稍微不同的初始條件（圖中用黃線和藍(lán)線表示），在 t=24 時(shí)，它們的軌跡都非常接近，但在 t=24 之后，它們開始出現(xiàn)顯著的差異。

將 x(t) 和 y(t) 繪制在一起更能說明問題。在下圖中，點(diǎn) (x, y) 圍繞一個(gè)蝴蝶形狀的集合運(yùn)動(dòng)。這個(gè)集合被稱為奇異吸引子，因?yàn)樗芪械能壽E，但它既不是周期性的，也不是一個(gè)定點(diǎn)。雖然吸引子周圍的點(diǎn)都是混沌的，但吸引子本身的形狀卻是確定的。奇異吸引子本身具有良好的結(jié)構(gòu)，它是分形集的一個(gè)例子。

上世紀(jì)60年代發(fā)現(xiàn)的混沌在當(dāng)時(shí)引發(fā)了很大的轟動(dòng)，它吸引了許多學(xué)者的關(guān)注，也掀起了大眾媒體對(duì)此的報(bào)道熱情，其中還包括大量的炒作。不過，混沌動(dòng)力學(xué)的發(fā)現(xiàn)其實(shí)發(fā)生在更早的時(shí)候，它的發(fā)現(xiàn)很大程度上要?dú)w功于偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊（Henri Poincaré）。

三體模擬。

當(dāng)時(shí)，龐加萊正在研究太陽(yáng)系的穩(wěn)定性。我們知道，如果一顆行星繞著太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，那么它的運(yùn)動(dòng)是周期性的，而且可以用牛頓定律精確地預(yù)測(cè)出來。然而，龐加萊證明了一個(gè)由三個(gè)質(zhì)量相似的物體組成的系統(tǒng)在萬有引力作用下只會(huì)在不規(guī)則軌道上運(yùn)動(dòng)。

5

我們很難看出洛倫茲系統(tǒng)中的混沌行為是如何產(chǎn)生的，因此我們可以研究一個(gè)更為簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，它也具有類似的混沌行為，那就是著名的邏輯斯諦映射（Logistic Map）。假設(shè)我們要預(yù)測(cè)一個(gè)城鎮(zhèn)從一年到來年的人口，我們?cè)O(shè)xn為這個(gè)城鎮(zhèn)在未來第n年的人口數(shù)，也就是說 n=0 為已知的當(dāng)前年份的城鎮(zhèn)人口數(shù)（x0）。

1798年，馬爾薩斯（Malthus）在《人口原理》一文中提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的人口增長(zhǎng)模型。他假設(shè)，任何一年的出生人口比例是固定的，死亡人口比例也是固定的。這意味著在n 1年的人口將與n年的人口成比例：

a是比例常數(shù)。

這是一個(gè)離散動(dòng)力系統(tǒng)的例子。在這種情況下，馬爾薩斯模型給出了簡(jiǎn)單且可預(yù)測(cè)的解：

如果 a<1，則人口數(shù)量減少；如果 a=1，人口數(shù)量保持不變；如果 a>1，則人口數(shù)量呈現(xiàn)無限制地增長(zhǎng)，即所謂的馬爾薩斯增長(zhǎng)。馬爾薩斯本人也意識(shí)到這是種不現(xiàn)實(shí)的模型，因?yàn)槿丝谧罱K會(huì)耗盡資源，然后開始下降。一種解決方法是引入人口的上限M，以便將資源的有限程度納入考量，于是修正過的馬爾薩斯模型變成了：

將以上等式稍做變形，便得到了著名的人口增長(zhǎng)邏輯斯諦映射模型：

這個(gè)系統(tǒng)只有在 r=0 和 r=4 兩種情況下才有精確解。

下圖所示的是 2.4<r<4 的邏輯斯諦映射圖。從這個(gè)圖中我們可以清楚地看到當(dāng) r<3 時(shí)存在一個(gè)固定的點(diǎn)，在r趨近于3的時(shí)候，一個(gè)點(diǎn)變成了兩個(gè)點(diǎn)的雙循環(huán)，當(dāng) r>3.56995 時(shí)，混沌行為出現(xiàn)了。不過在 r=3.828 附近也存在一個(gè)穩(wěn)定的三循環(huán)。數(shù)學(xué)家一直在為了更好地理解這張圖而努力。

動(dòng)力系統(tǒng)其實(shí)就是一個(gè)會(huì)隨時(shí)間演化的系統(tǒng)，它可以由一個(gè)狀態(tài)向量x(t)描述。它可以是一個(gè)連續(xù)的時(shí)間函數(shù)（如雙擺系統(tǒng)），也可以是離散時(shí)間的函數(shù)（如邏輯斯諦映射）。隨著動(dòng)力系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化，它的狀態(tài)也會(huì)發(fā)生變化。一個(gè)狀態(tài)可以被創(chuàng)造，可以消失，可以失去它的穩(wěn)定性，也可以變成另一種狀態(tài)，就如我們?cè)谶壿嬎怪B映射圖中所看到的那樣。

我們常聽人說到“壓死駱駝的最后一根稻草”這句話，其實(shí)在這個(gè)場(chǎng)景下，駱駝——或者更確切地說是駱駝的背部，就是一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的解，這個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)是它背上的稻草量。如果稻草的量少，那么駝背就是這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)穩(wěn)定的固定點(diǎn)。但在隨著加載參數(shù)逼近臨界值，固定點(diǎn)變得不再穩(wěn)定，其結(jié)果就是導(dǎo)致駝背斷裂。

在這里，我們看到了一個(gè)臨界點(diǎn)，超過這個(gè)臨界點(diǎn)，控制這個(gè)系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生的一點(diǎn)微小的變化就能導(dǎo)致系統(tǒng)最終狀態(tài)出現(xiàn)一個(gè)不可逆的巨大變化。數(shù)學(xué)家已經(jīng)對(duì)這些狀態(tài)的轉(zhuǎn)換進(jìn)行了非常詳細(xì)的研究，它們可以用“分歧理論”來解釋。就如上圖所示的邏輯斯諦映射圖中出現(xiàn)的分歧點(diǎn)就顯示了許多與其相關(guān)的特征，包括著名的“通往混沌的周期倍增路線”。

6

混沌理論有用嗎？

沒錯(cuò)，許多數(shù)學(xué)理論在一開始時(shí)都很抽象，你很難想象它的用途，但它們卻能在后來成為科學(xué)和技術(shù)的核心?；煦缋碚摼褪呛芎玫睦?。洛倫茲在20世紀(jì)60年代的工作在很大程度上都是理論性的，但人們很快意識(shí)到，許多物理系統(tǒng)確實(shí)有非?；煦绲男袨?。許多其他重要系統(tǒng)也被認(rèn)為是混沌的，比如天氣、汽車尾氣、電力供應(yīng)系統(tǒng)、摩擦剎車、氣候變化、WiFi、腦電圖信號(hào)、心電圖信號(hào)以及小行星的運(yùn)動(dòng)等等。混沌理論使我們能夠理解、測(cè)量，并在某些情況下控制這些混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出的不確定性行為。

現(xiàn)在我們認(rèn)識(shí)到，混沌行為是由復(fù)雜的、非線性的、確定性過程控制的任何事物的自然模式的一部分。小行星就是一個(gè)很好的例子，它們有著非常復(fù)雜的軌道，這是我們必須理解的事實(shí)，否則我們可能無法預(yù)測(cè)小行星是否以及何時(shí)會(huì)撞擊地球。從這個(gè)角度看，混沌理論在拯救人類方面還具有至關(guān)重要的意義！

當(dāng)然混沌還有一些不這么聳人聽聞的應(yīng)用。例如，混沌理論在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中扮演著越來越重要的作用。混沌理論幾乎有著無限的應(yīng)用，雖然它帶來的似乎是混亂和不可預(yù)測(cè)性，但它卻是我們理解世界的一種至關(guān)重要的方法。