我曾經(jīng)在《市盈率和分紅率如何影響投資收益率》一文中做了個(gè)模型，推導(dǎo)了分紅再投資的收益率，總結(jié)出了公式，但當(dāng)時(shí)沒(méi)給計(jì)算過(guò)程。
今天特地把推導(dǎo)的步驟還原，然后解讀下公式的含義。順便引用下兩個(gè)銀行股的案例。以及算一算最佳分紅率。
眾所周知，股價(jià)=PE*EPS=PE*每股凈資產(chǎn)*ROE。（如果不知道PE、EPS、ROE是什么的，就自己先去補(bǔ)一下基礎(chǔ)知識(shí)吧……）
我們?cè)谟?jì)算投資收益率時(shí)，先不考慮市場(chǎng)估值的波動(dòng)情況，也就是假設(shè)PE不變；為簡(jiǎn)化模型，也暫不考慮公司經(jīng)營(yíng)的變化，也就是假定ROE不變。（無(wú)需多講，如果PE提升，或者ROE提升，對(duì)股價(jià)影響顯然是正向的。）
另外我們也不考慮送股、轉(zhuǎn)股那些花哨的不增加價(jià)值的操作。
第一年持股市值=股價(jià)1*持股數(shù)1=PE*每股凈資產(chǎn)1*ROE*持股數(shù)1
第二年持股市值=股價(jià)2*持股數(shù)2=PE*每股凈資產(chǎn)2*ROE*持股數(shù)2
于是我們得出：
投資收益率=（股價(jià)2*持股數(shù)2）/（股價(jià)1*持股數(shù)1）-1
=（每股凈資產(chǎn)2*持股數(shù)2）/（每股凈資產(chǎn)1*持股數(shù)1）-1
稍微變換下順序：
投資收益率=（每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1）*（持股數(shù)2/持股數(shù)1）-1
也就是說(shuō)，在PE和ROE不變的情況下，股票投資收益率就來(lái)源于兩塊：一是公司凈資產(chǎn)增長(zhǎng)，二是你的持股數(shù)增加。
先來(lái)算公司的凈資產(chǎn)增長(zhǎng)：
第二年的每股凈資產(chǎn)，相比第一年的變化，簡(jiǎn)單說(shuō)主要有兩部分，一是通過(guò)經(jīng)營(yíng)產(chǎn)生的利潤(rùn)流入，二是將利潤(rùn)分紅導(dǎo)致的流出。
所以，每股凈資產(chǎn)2=每股凈資產(chǎn)1*（1+ROE）-每股凈資產(chǎn)1*ROE*分紅率
也就是說(shuō)：每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1=1+ROE-ROE*分紅率
整理一下我們得到投資收益率第一部分的來(lái)源：
每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1=1+ROE*（1-分紅率）
再來(lái)算第二部分來(lái)源，你的持股數(shù)增加：
第二年的持股數(shù)增加，就來(lái)源于第一年分紅的再投資。
那么分紅是多少呢？
第一年分紅=每股分紅1*持股數(shù)1
=EPS1*分紅率*持股數(shù)1
增加多少持股呢？（簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)第一年分紅后直接以第一年的股價(jià)買(mǎi)入。）
第一年增加持股數(shù)=第一年分紅/股價(jià)1
=EPS1*分紅率*持股數(shù)1/股價(jià)1
=分紅率*持股數(shù)1/PE
所以，持股數(shù)2=持股數(shù)1+分紅率*持股數(shù)1/PE
也就是說(shuō)，持股數(shù)2/持股數(shù)1=1+分紅率/PE
我們把兩部分收益綜合起來(lái)，可以得到：
投資收益率=（每股凈資產(chǎn)2/每股凈資產(chǎn)1）*（持股數(shù)2/持股數(shù)1）-1
=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1
這便是分紅再投資的收益率公式了。
舉個(gè)例子：$招商銀行(SH600036)$
招行的ROE，過(guò)去5年平均值是16.7%，過(guò)去10年平均19.3%，2002年上市16年以來(lái)ROE平均17.5%，我們姑且按16.7%來(lái)算。
招行的PE，我們按“年終收盤(pán)價(jià)/當(dāng)年EPS”來(lái)統(tǒng)計(jì)，過(guò)去5年平均值是7.6倍，過(guò)去10年平均9.0倍，2002年上市16年以來(lái)平均15.9倍，我們姑且按9.0倍來(lái)算（說(shuō)實(shí)話我個(gè)人認(rèn)為是偏低的）。
招行的分紅率，公司章程規(guī)定不低于30%，我們姑且按30%來(lái)算。
那么投資招行的收益率大致為：
收益率=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1
=[1+16.7%*（1-30%）]*（1+30%/9）-1
=（1+11.69%）*（1+3.33%）-1
=15.4%
也就是說(shuō)，假如未來(lái)招行維持16.7%的ROE水平，市場(chǎng)對(duì)它維持9倍PE的估值水平，它的分紅率維持30%水平，那么你長(zhǎng)期持股、分紅再投資的收益率是15.4%。
我個(gè)人認(rèn)為這里的9倍PE假設(shè)是相當(dāng)?shù)凸赖摹?
再舉個(gè)例子：$興業(yè)銀行(SH601166)$
興行的ROE，過(guò)去5年平均值是17.7%，過(guò)去10年平均19.7%，說(shuō)實(shí)話17.7%可能還略微偏高，我們按16%來(lái)算吧。
興行的PE，我們按“年終收盤(pán)價(jià)/當(dāng)年EPS”來(lái)統(tǒng)計(jì)，過(guò)去5年平均值是5.9倍，過(guò)去10年平均7.0倍，說(shuō)實(shí)話7.0倍實(shí)在是過(guò)低了，更不用說(shuō)5.9倍，我們姑且保守一點(diǎn)按6倍來(lái)算，看看會(huì)如何。
興行的分紅率，公司章程規(guī)定不低于20%，我們姑且按20%來(lái)算。
那么投資興行的收益率大致為：
收益率=[1+ROE*（1-分紅率）]*（1+分紅率/PE）-1
=[1+16%*（1-20%）]*（1+20%/6）-1
=（1+12.8%）*（1+3.33%）-1
=16.6%
也就是說(shuō)，假如未來(lái)興行維持16%的ROE水平，市場(chǎng)對(duì)它維持6倍PE的估值水平，它的分紅率維持20%水平，那么你長(zhǎng)期持股、分紅再投資的收益率是16.6%。
你看，我們給興行的ROE假設(shè)比招行低，給興行的PE假設(shè)也比招行低，但為什么收益率卻反而會(huì)更高呢？差別就在分紅率和PE上。
解釋是這樣的：一方面，雖然給招行假設(shè)的ROE更高，但它分紅多，留存的少，ROE高的優(yōu)勢(shì)反而被消除了。另一方面，雖然興業(yè)的分紅少，但因?yàn)镻E低，再投資買(mǎi)入增加的持股數(shù)卻不見(jiàn)得更少。
我們稍微總結(jié)下，對(duì)這個(gè)分紅再投資公式做簡(jiǎn)單解讀。
1、分紅再投資的收益率來(lái)源兩部分，一是每股凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)，二是持股數(shù)增加。
2、每股凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)約等于ROE*（1-分紅率），ROE越高越好，分紅率越低越好。
道理也很簡(jiǎn)單，ROE越高代表公司經(jīng)營(yíng)效率越高；這種情況下，少分紅、將利潤(rùn)留存給公司增厚凈資產(chǎn)越多越好。
3、持股數(shù)的增加約等于分紅率/PE，分紅率越高越好，PE越低越好。
同樣道理也很簡(jiǎn)單，分紅錢(qián)越多可以買(mǎi)的股份數(shù)越多；PE越低說(shuō)明估值越便宜，同等金額可以買(mǎi)入的股份數(shù)越多。
4、所以我們買(mǎi)股票，假設(shè)公司經(jīng)營(yíng)和市場(chǎng)估值都穩(wěn)定的話，當(dāng)然ROE越高越好，PE越低越好。
5、至于分紅率，則沒(méi)有絕對(duì)，它則同時(shí)每股凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)和持股數(shù)的增長(zhǎng)，但對(duì)二者的影響方向正好相反，互相制約。
從直觀上來(lái)分析，分紅率的最佳值受限于兩個(gè)因素：一個(gè)是ROE，ROE越高，說(shuō)明錢(qián)留在公司內(nèi)部運(yùn)營(yíng)效率高，則分紅率越低為好；另一個(gè)是PE，PE越低，說(shuō)明分紅買(mǎi)入股票機(jī)會(huì)越好，則分紅率也應(yīng)該越高為好。
矛盾當(dāng)然是存在的。那么有沒(méi)有最佳分紅率呢？顯然是有的。
我們現(xiàn)在就來(lái)算一下分紅的最佳值是多少。這部分稍微難一點(diǎn)點(diǎn)，算附加部分吧。
目前為止，上面用到的都是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)。下面需要用到一點(diǎn)點(diǎn)微積分的基礎(chǔ)，也就是導(dǎo)數(shù)的知識(shí)。如果沒(méi)記錯(cuò)的話，現(xiàn)在高中也都有教了。
方便起見(jiàn)，我將收益率用字母d表示（代表英文Dividend的意思）。
ROE和PE仍然看作常數(shù)。
則收益率可以看作分紅率d的一個(gè)函數(shù)：
f（d）=[1+ROE*（1-d）]*（1+d/PE）-1
認(rèn)真看一下，這其實(shí)是一個(gè)一元二次的函數(shù)，我們把它展開(kāi)：
f（d）=1+ROE*（1-d）+d/PE+ROE*（1-d）*d/PE-1
=ROE-ROE*d+（1/PE）*d+（ROE/PE）*d-（ROE/PE）*d^2
整理成一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：
f（d）=（-ROE/PE）*d^2+（1+ROE-ROE*PE）/PE*d+ROE
然后我們求導(dǎo)：
f'（d）=（-2*ROE/PE）*d+（1+ROE-ROE*PE）/PE
因?yàn)閒（d）是一條拋物線，開(kāi)口向下，存在最大值。
最大值時(shí)斜率f'（d）=0。
我們令f'（d）=0，可以求解出：
d=（1+ROE-ROE*PE）/PE/（2*ROE/PE）
=（1+ROE-ROE*PE）/（2*ROE）
簡(jiǎn)化一下可以得到：
d=（1+1/ROE-PE）/2
也就是說(shuō)，當(dāng)d<（1+1/ROE-PE）/2時(shí)，隨著d增大，收益率f（d）也增大；當(dāng)d>（1+1/ROE-PE）/2時(shí)，隨著d增大，收益率f（d）減小。
剛好d=（1+1/ROE-PE）/2時(shí)，f'（d）剛好為0，f（d）為最大值。
引用上面招行的例子，算下最佳分紅率d是多少。
ROE=16.7%；PE=9.0倍。
則d=（1+1/ROE-PE）/2=（1+1/0.167-9）/2=-1.0
你沒(méi)看錯(cuò)，結(jié)果是負(fù)值。這并不代表最佳分紅率應(yīng)該是負(fù)的。我們都知道d的取值是0到100%。
它的正確解讀是：當(dāng)d>0時(shí)（這時(shí)候當(dāng)然也就d>-1.0），隨著d的增大，投資收益率會(huì)降低。
意思是這種情況下，越分紅你的投資收益率就會(huì)越低。
那么什么時(shí)候提高分紅率對(duì)投資收益率才是有幫助（正貢獻(xiàn)）的呢？我們前面也說(shuō)了，條件是d<（1+1/ROE-PE）/2。
我們?cè)偻蒲菹?，因?yàn)閐隱含取值范圍是0到100%，所以我們知道肯定有d≥0。
也就是說(shuō)，如果提高分紅率對(duì)投資收益率有幫助（正貢獻(xiàn)），那么至少要滿足的條件是：
（1+1/ROE-PE）/2>d≥0
即：PE≤1+1/ROE
這就是值得提高分紅的前提。
比如ROE如果是10%，那么PE必須11倍以下，否則提高分紅率就不能提高我們的投資收益率。
招行的ROE如果高達(dá)16.7%，那它的PE需要在7.0倍以下，否則提高分紅率就不可能提高投資者的收益率。
但分紅并不是簡(jiǎn)單的算數(shù)，而是還有其他層面的意義，我在《分紅的意義》一文中有論述。大家還是要綜合評(píng)估
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