狄拉克方程由英國(guó)物理學(xué)家保羅·狄拉克于1928年推導(dǎo)出來，僅在薛定諤提出他著名的薛定諤方程兩年后，該方程如今已成為量子力學(xué)的核心方程之一。
為了了解狄拉克方程，我們首先要了解他試圖解決什么問題。要做到這一點(diǎn)，我們必須回到1905年，愛因斯坦用他的狹義相對(duì)論改變了世界。他提出了光速不變?cè)?，光速是我們無(wú)法跨越的速度極限。此外，他將空間和時(shí)間統(tǒng)一起來引入了時(shí)空。他意識(shí)到，要描述接近光速運(yùn)動(dòng)的物體，我們必須將時(shí)空視為一個(gè)統(tǒng)一的實(shí)體。因此，我們必須平等對(duì)待空間和時(shí)間。
這是薛定諤方程問題的癥結(jié)所在。如果我們看一下沒有任何勢(shì)的薛定諤方程，也就是自由粒子的方程：
我們會(huì)看到在方程左邊有一個(gè)關(guān)于空間的二階導(dǎo)，由拉普拉斯算子表示。而在方程右邊，我們有一個(gè)關(guān)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，因此薛定諤方程沒有平等地對(duì)待空間和時(shí)間。這就是薛定諤方程不適用于描述時(shí)空的原因，因此也不適用于描述快速運(yùn)動(dòng)的物體。這意味著薛定諤方程無(wú)法與相對(duì)論方程兼容，不能正確描述接近光速運(yùn)動(dòng)的物體。
與薛定諤方程大約在同一時(shí)間，有一個(gè)量子方程可以兼容相對(duì)論，它就是克萊因-戈登方程。最初在1926年提出它可以描述電子，然而事實(shí)并非如此，我們發(fā)現(xiàn)的唯一遵從克萊因-戈登方程的粒子是希格斯玻色子。這個(gè)方程可以寫成如下形式：
關(guān)于這個(gè)方程的重要一點(diǎn)是，現(xiàn)在時(shí)間是二階導(dǎo)，空間也是二階導(dǎo)。因此，該方程將空間和時(shí)間平等對(duì)待，所以它可以作為考慮時(shí)空的相對(duì)論方程。
然而，克萊因-戈登方程的問題在于它不能描述電子，它描述了自旋為0的粒子，如希格斯玻色子?？巳R因-戈登方程的問題之一是它是二階的。我們都知道，如果取一個(gè)實(shí)數(shù)并平方它，那么會(huì)得到一個(gè)正數(shù)。例如2的平方和-2的平方都等于4，但我們不知道最初哪個(gè)符號(hào)是正確的，因此我們會(huì)丟失信息。
事實(shí)證明，描述半整數(shù)自旋的粒子的方程是一階的，因此關(guān)于時(shí)空只有一階導(dǎo)數(shù)，而不是二階導(dǎo)。然而這個(gè)二階結(jié)果是相當(dāng)自然的，因?yàn)樵讵M義相對(duì)論中能量本身的定義是二階的。解決方案似乎很簡(jiǎn)單，我們只需對(duì)克萊因-戈登方程取平方根。然而事實(shí)證明，我們正在尋找的一階方程實(shí)際上是一個(gè)具有虛數(shù)的復(fù)方程，而克萊因-戈登方程只有實(shí)數(shù)分量。
這就是狄拉克方程的背景故事，讓我們看看狄拉克是如何解決它的。正如我們已經(jīng)意識(shí)到的那樣，解決方案是以某種方式取克萊因-戈登方程的平方根。最初狄拉克提出了以下解決方案：
首先，這個(gè)方程有點(diǎn)像薛定諤方程，也有點(diǎn)像克萊因-戈登方程。因?yàn)樵谶@種形式下，它基本上就是薛定諤方程和克萊因-戈登方程的平方根的雜交。在方程等號(hào)的左邊，P表示的是動(dòng)量算子，動(dòng)量的定義是空間分量的一階導(dǎo)數(shù)。在方程等式的右邊，它看起來就像薛定諤方程，有時(shí)間分量的一階導(dǎo)數(shù)。因此，在這個(gè)方程中，空間和時(shí)間都是一階的，這正是我們需要的。這是狄拉克最初的提議，也是最初的狄拉克方程。
但是我們?nèi)匀粵]有真正解決這個(gè)問題，因?yàn)槲覀儧]有弄清楚β和α1、α2、α3的值應(yīng)該是多少才能讓方程起作用。事實(shí)證明，這兩個(gè)參數(shù)是費(fèi)米子方程的魔力。他們最終代表一個(gè)自旋向上和自旋向下的粒子，以及一個(gè)自旋向上和自旋向下的反粒子。因此，狄拉克用他的方程預(yù)測(cè)了反粒子。
最初沒有人相信這樣的反粒子，因此一致認(rèn)為狄拉克方程是錯(cuò)誤的。但是，僅僅幾年后的1932年，正電子或反電子就被發(fā)現(xiàn)，完全符合狄拉克方程的預(yù)測(cè)。在現(xiàn)代，我們用所謂的伽馬矩陣來編寫狄拉克方程，可以通過求解β和α參數(shù)獲得這些矩陣。
在這些伽馬矩陣的幫助下，我們可以用更熟悉和緊湊的形式編寫狄拉克方程，而無(wú)需這些神秘的β和α參數(shù)：
此外，這種寫法沒有Σ符號(hào)，利用愛因斯坦的規(guī)則“重復(fù)指標(biāo)表示求和”，其中重復(fù)的是上指標(biāo)和下指標(biāo)μ。μ代表的是時(shí)空的每個(gè)分量：t和x、y、z分量。
狄拉克方程最重要的方面之一可能是對(duì)反物質(zhì)的預(yù)測(cè)，這個(gè)方程后來成為 QED基礎(chǔ)的一部分，這是有史以來最好的量子場(chǎng)論之一。
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