我現(xiàn)在問朋友們一個(gè)問題：我們什么時(shí)候開始接觸數(shù)學(xué)建模的？如果我說，凡是上過一點(diǎn)學(xué)的人都或多或少地學(xué)過數(shù)學(xué)建模，你信嗎？想一想，我們上小學(xué)時(shí)，在做稍稍復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，例如，著名的“雞兔同籠”問題，就得通過較為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模來求解。到了中學(xué)，這樣的例子就更多了。所以，我們對(duì)數(shù)學(xué)建模不必有神秘感?，F(xiàn)在國內(nèi)每年要舉行各種數(shù)學(xué)建模比賽，也使這種神秘感大大減少。目前欠缺的是：在本科和研究生教學(xué)中，老師對(duì)數(shù)學(xué)建模的關(guān)注和引導(dǎo)不足。

這里，引述錢偉長先生的一段話：“教學(xué)的過程，就在于讓學(xué)生搞清‘模型’的意義。因?yàn)?/span>‘模型’反映的是事物的本質(zhì)，是對(duì)客觀事物的近似描述。我們要引導(dǎo)學(xué)生提出‘模型’，通過抓‘模型’，教給學(xué)生一種提出問題、分析問題、解決問題的方法。”（錢偉長，跨越世紀(jì)，上海大學(xué)出版社，2002，165頁）

隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域相互交叉、融合，特別是數(shù)理科學(xué)不斷滲透到化學(xué)、生物學(xué)領(lǐng)域，科研中的建模顯得越來越重要。

昨天的博文中，概略地講述了自然科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)建模問題。今天想舉一個(gè)實(shí)際例子，來體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程。應(yīng)博友的要求，試圖簡(jiǎn)述流體力學(xué)中的基本方程——納維-斯托克斯（以下簡(jiǎn)稱為NS方程）的導(dǎo)出過程，這一過程本身就是一個(gè)絕好的建模過程。我瀏覽過不少流體力學(xué)教材，尤其是一些工程流體力學(xué)的教科書，其中往往把這一過程略過不提，或者未做重點(diǎn)介紹，這實(shí)際上是放棄了一個(gè)進(jìn)行建模教學(xué)的良好機(jī)會(huì)，也會(huì)使學(xué)生難以掌握流體力學(xué)的精髓，更糟糕的是養(yǎng)成 “知其然，不知其所以然”的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣。

大體說來，推導(dǎo)NS方程可采取宏觀演繹方法和微觀-介觀演繹方法，前者采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，通過控制體積或流體微團(tuán)的分析，建立一個(gè)完整的體系；微觀-介觀演繹方法采用統(tǒng)計(jì)物理手段，從速度分布密度所滿足的波耳茲曼方程，通過對(duì)這一方程的各種形式的取矩來導(dǎo)得NS方程。本文主要討論前者。

NS方程的孕育

我們先來簡(jiǎn)要地回顧流體力學(xué)的發(fā)展史，主要為了了解NS方程的孕育過程。

公元前3世紀(jì)，阿基米德（287－212BC）發(fā)現(xiàn)浮力定律（阿基米德原理），標(biāo)志著流體靜力學(xué)的發(fā)端；1644年托里拆里（E. Torricell，1608-1647）制成氣壓計(jì)；導(dǎo)出小孔出流公式；1650年帕斯卡（B. Pascal，1623-1662）提出液體中壓力傳遞的帕斯卡原理；1668年，馬略特（E. Mariotte，1620－1684），出版專著《論水和其它流體的運(yùn)動(dòng)》奠定流體靜力學(xué)和流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的基礎(chǔ)。

這時(shí)，社會(huì)發(fā)展產(chǎn)生了發(fā)展流體動(dòng)力學(xué)的需求。馬略特首次研究了流體產(chǎn)生的阻力；接著，1678年，牛頓（I. Newton，1642-1727）研究在流體中運(yùn)動(dòng)物體所受的阻力，并建立牛頓粘性定律；1738年，丹尼爾·伯努利（D. Bernoulli， 1700-1782）出版《流體動(dòng)力學(xué)》，將力學(xué)中的活力（能量）守恒原理引入流體力學(xué)，建立伯努利定理（伯努利方程）；1752年，達(dá)朗貝爾（J. le R. D′Alembert，1717-1783）提出理想流體運(yùn)動(dòng)的達(dá)朗貝爾佯謬（即在無粘性流體中運(yùn)動(dòng)的物體不受阻力；1755年，歐拉（L. Euler，1707-1783）導(dǎo)出流體平衡方程和無粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程，即歐拉方程，從而建立了理想流體動(dòng)力學(xué)。此時(shí)，粘性流體動(dòng)力學(xué)已呼之欲出。

1763年，玻爾達(dá)（J-C. Borda，1733-1799）進(jìn)行流體阻力試驗(yàn)，給出阻力公式，開了粘性流體動(dòng)力學(xué)研究的先河；1777年玻素（C. Bossut，1730-1814）等完成第一個(gè)船池模型試驗(yàn)，完全確認(rèn)了流體中運(yùn)動(dòng)物體與速度的平方成正比的結(jié)論；接著，迪比阿（P. L. G. Du Buat，1734-1809）做了更細(xì)致的研究，寫成《水力學(xué)原理》。

以上工作為NS方程的導(dǎo)出在實(shí)驗(yàn)上和理論上奠定了基礎(chǔ)。1822年，納維（C-L-M-H. Navier，1785-1836）引進(jìn)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，采用流體分子運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，考慮了分子間的相互作用（宏觀地表現(xiàn)為粘性），導(dǎo)出粘性流體動(dòng)力學(xué)的動(dòng)量方程；1845年，斯托克斯（G. G. Stokes，1819-1903）建立了更為準(zhǔn)確的粘性流體的連續(xù)介質(zhì)模型，引進(jìn)了兩個(gè)粘性系數(shù)，更簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙?dǎo)出粘性流體動(dòng)力學(xué)的動(dòng)量方程（納維－斯托克斯方程）?，F(xiàn)今的流體力學(xué)教科書就基本上采用了斯托克斯的表述形式。

有關(guān)上述歷史的詳情可參看武際可：《力學(xué)史》（上海辭書出版社，2010，231～244頁）。

導(dǎo)出NS方程的基本假設(shè)

經(jīng)過梳理之后，我們知道，導(dǎo)出NS方程采用了如下基本假設(shè)：

1）                牛頓力學(xué)假設(shè)成立。只討論流速遠(yuǎn)小于光速和特征長度遠(yuǎn)大于原子尺度的情形（Einstein數(shù) 遠(yuǎn)小于1，V為特征速度，c為真空中的光速），即不考慮相對(duì)論效應(yīng)和量子效應(yīng)；相對(duì)論流體力學(xué)和量子流體力學(xué)分別計(jì)及這兩種效應(yīng)，不在這里討論；

2）                連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立。僅考慮Knudsen數(shù)（即流體的分子平均自由程遠(yuǎn)與問題的特征長度之比）遠(yuǎn)小于1的情形，每一宏觀小、微觀大的流體微團(tuán)里含有足夠多的流體分子，微團(tuán)緊密地排列著。稀薄氣體動(dòng)力學(xué)考慮Knudsen數(shù)近于或大于1的情形；在微流動(dòng)問題中也會(huì)出現(xiàn)這一問題；這里不予研究。

3）                熱動(dòng)平衡假設(shè)成立。認(rèn)為運(yùn)動(dòng)的流體微團(tuán)處于熱平衡，即分子運(yùn)動(dòng)趨于平衡的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)小于問題的特征時(shí)間；

4）                熱力學(xué)第一、第二定律成立（即能量守恒律和熵增定律成立）；

5）                Helmboltz速度分解定理成立（速度=平動(dòng)速度+轉(zhuǎn)動(dòng)速度+變形速度）；

6）                廣義牛頓粘性定律成立。假設(shè)運(yùn)動(dòng)流體中的剪切應(yīng)力等于流體應(yīng)變率分量的齊次線性組合（含廣義粘性系數(shù)81個(gè)）?？紤]此定律不成立的情形屬于非牛頓流體力學(xué)范疇；

7）                流體各向同性假設(shè)成立。于是，廣義粘性系數(shù)從81個(gè)縮減為2個(gè)；

8）                Stokes假設(shè)成立。即假設(shè)流體的第二粘性系數(shù)（體積粘性系數(shù)）為零，不考慮流體壓縮或膨脹中的粘性阻滯效應(yīng)；

9）                運(yùn)動(dòng)流體中溫度不是很高且無急劇變化?？山频卣J(rèn)為流體的粘性系數(shù)與溫度無關(guān)。可以認(rèn)為溫度不太高，不會(huì)產(chǎn)生電離和離解現(xiàn)象；

10）            流體均質(zhì)假設(shè)成立。不考慮分層流體、異重流及隨之而來的浮力等效應(yīng)。

以上各假設(shè)中，前五個(gè)是本質(zhì)的，第六、七個(gè)假設(shè)經(jīng)常是必需的，后三個(gè)假設(shè)則是非本質(zhì)的，視情況需要，可以丟掉（即存在體積膨脹、存在高溫區(qū)或電離區(qū)、流體非均質(zhì)——分層流體）。一言以蔽之，納維-斯托克斯方程適用于非相對(duì)論性的、密度足夠高的、各向同性牛頓流體運(yùn)動(dòng)的描述。在忽略體積粘性系數(shù)，假定溫度無劇變（即可假定粘性系數(shù)為常數(shù)）且流體為均質(zhì)時(shí)，方程的形式較為簡(jiǎn)單。

因此，我們?cè)诳蒲兄幸獞?yīng)用NS方程時(shí)，首先應(yīng)考慮其成立的假設(shè)是否成立。比方說，在研究微電子器件相關(guān)的流體力學(xué)問題，就需要慎之又慎。

還應(yīng)注意，狹義地說，NS方程指的是粘性流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量方程；廣義地說，也可包括質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）、能量守恒方程（能量方程），這里采用廣義說法，實(shí)際上討論的是流體動(dòng)力學(xué)的基本方程。

NS方程的宏觀推導(dǎo)

我們應(yīng)該知道，推導(dǎo)NS方程的出發(fā)點(diǎn)是物質(zhì)的基本守恒律——質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒定律；為了使方程簡(jiǎn)約、可解，還必須輔以流體的本構(gòu)方程，NS方程通常采用廣義牛頓粘性定律為本構(gòu)方程，這是基于實(shí)驗(yàn)的牛頓粘性定律的推廣形式。當(dāng)然，為了使方程組有封閉形式，還要輔以熱力學(xué)中關(guān)于流體的狀態(tài)方程。這里只談連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程的宏觀推導(dǎo)。

如所周知，科學(xué)方法論中的推理形式主要有兩種：歸納推理和演繹推理。前者從特殊到一般，后者從一般到特殊。力學(xué)工作者更習(xí)慣于歸納推理。

先說歸納推理形式。基本思路是：從流體某個(gè)體積中質(zhì)量、力和能量的動(dòng)平衡。當(dāng)這一體積很小時(shí)（即取為體積元時(shí)），相應(yīng)的方法就是微元法；當(dāng)這一體積為有限大小時(shí)，相應(yīng)的方法就是控制體積法。若所取的體積是固定的，就對(duì)應(yīng)于流體力學(xué)中的歐拉表述思路；若所取的體積隨流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，就對(duì)應(yīng)于流體力學(xué)中的拉格朗日描述。因此，每個(gè)方程有四種推導(dǎo)方法。

在寫得好的工程流體力學(xué)教科書中，通常采用與直角坐標(biāo)的坐標(biāo)面平行的小立方體做體積元。以推導(dǎo)動(dòng)量方程為例。采用如下的動(dòng)平衡方程：

體積元內(nèi)的動(dòng)量變化率＝從各個(gè)表面流出的動(dòng)量＋體積力＋面力（壓力梯度與剪切應(yīng)力）

這是流體力學(xué)中運(yùn)用牛頓第二定律的表示。

按上述思路，可以導(dǎo)出連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和能量方程。它可以有微分形式和積分形式；可以在直角坐標(biāo)來表示，也可用曲線坐標(biāo)來表示。（詳見吳望一：《流體力學(xué)》（上冊(cè)），北大出版社，1989）。

再說演繹推理形式。先建立一個(gè)抽象的量在某個(gè)運(yùn)動(dòng)體積的變化和輸運(yùn)過程，建立一個(gè)一般的定理，現(xiàn)在通稱為雷諾輸運(yùn)定理，然后以單位體積的質(zhì)量（即密度）、動(dòng)量和能量代入，分別導(dǎo)出各個(gè)守恒方程。（詳見劉應(yīng)中、繆國平：《高等流體力學(xué)》，上海交大出版社，2002，第一章）。

進(jìn)一步建模的“減法”和“加法”

有了NS方程或流體力學(xué)基本方程組之后，若碰到更簡(jiǎn)單的情況，就可采取“減法”來建模。例如，NS方程中去掉粘性項(xiàng)之后，就成了歐拉方程。如此等等。

如果碰到更復(fù)雜的情況，則采用“加法”，例如，要研究地球流體力學(xué)問題，考慮到地球是一個(gè)非慣性系，必須在動(dòng)量方程中加上科氏力項(xiàng)；再如，若要研究湍流，由于存在脈動(dòng)項(xiàng)，經(jīng)過雷諾平均后，就可導(dǎo)得RANS方程。這時(shí)出現(xiàn)了方程不封閉性問題，就得引入別的假設(shè)和方程實(shí)質(zhì)封閉。

從NS方程導(dǎo)出得到的啟示

限于篇幅，這里無法涉及細(xì)節(jié)，甚至來不及說到NS方程的微觀-介觀推導(dǎo)，不過我們已可得到一些啟示：

——數(shù)學(xué)建模應(yīng)建立在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上；

——建模須從第一原理出發(fā)；

——對(duì)于復(fù)雜問題的建模必須提出合理的假設(shè)，這些假設(shè)大多有可靠的實(shí)驗(yàn)和理論依據(jù)；

——可以采用多種推理凡是和數(shù)學(xué)形式來建模。

這篇博文的內(nèi)容稍稍專業(yè)一點(diǎn)?？床欢矝]有關(guān)系，可以略過不讀。

我注意到，這一系列博文的讀者中不僅有青年朋友，而且有一些資深學(xué)者，歡迎大家補(bǔ)充、指正。

寫于2010年10月4日