1、平移+旋轉(zhuǎn)+翻析
例1、如圖1-①，以矩形OABC的兩邊OA和OC所在的直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，A點的坐標為（3，0），C點的坐標為（0，4），將矩形OABC繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，使B點落在y軸的正半軸上，旋轉(zhuǎn)后的矩形為、BC、相交于點M。
（1）求點的坐標與線段的長；
（2）將圖1-①中的矩形沿y軸向上平移，如圖1-②，矩形是平移過程中的某一位置，、相交于點，點P運動到C點停止，設(shè)點P運動的距離為x，矩形與原矩形OABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）如圖1-③，當點P運動到點C時，平移后的矩形為，請你思考如何通過圖形變換使矩形與原矩形OABC重合，請簡述你的做法。
分析：第（1）問由勾股定理得的長，從而求出點的坐標，已知線段OC的長，繼而求出線段的長。第（2）問在矩形的整個平移過程中，矩形與原矩形OABC重疊圖形由四邊形（當點從開始位置平移到矩形OABC的邊BC上時）變?yōu)槿切危ó旤c從矩形OABC的邊BC上到運動停止時），求出對應(yīng)圖形在對應(yīng)條件下自變量x的取值范圍及重疊部分的面積。第（3）問具有開放性，可直接通過圖形沿某一條直線翻折得到，或先旋轉(zhuǎn)再平移得到，或先旋轉(zhuǎn)再翻折得到，或先平移再旋轉(zhuǎn)得到。
解：（1）如圖1-①，因為，所以點的坐標為（0，5）。
。
（2）在矩形沿y軸向上平移到P點與C點重合的過程中，點運動到矩形OABC的邊BC上時，求得P點移動的距離。當自變量x的取值范圍為時，如圖1-②，由△∽△，得，此時，，即，當自變量x的取值范圍為時，求得。（3）①把矩形沿∠的角平分線所在直線對折。或②把矩形繞C點順時針旋轉(zhuǎn)，使點與點B重合，再沿y軸向下平移4個單位長度?；颌郯丫匦?/span>繞C點順時針旋轉(zhuǎn)，使點與點B重合，再沿BC所在的直線對折?；颌馨丫匦?/span>沿y軸向下平移4個單位長度，再繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，使點與點A重合。
2、旋轉(zhuǎn)
例2、如圖2，在平面直角坐標系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)角，得到矩形CFED。設(shè)FC與AB交于點H，且A（0，4）、C（6，0）（如圖2-①）。
（1）當時，△CBD的形狀是_________；
（2）當AH=HC時，求直線FC的解析式；
（3）當時，（如圖2-②），請?zhí)骄浚航?jīng)過點D，且以B為頂點的拋物線，是否經(jīng)過矩形CFED的對稱中心M，并說明理由。
分析：第（1）問可利用旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)線段相等得出BC=CD，∠BCD=，所以△CBD為等邊三角形；第（2）問中可利用勾股定理求出H點坐標，從而求出FC的解析式；第（3）問中求出M點坐標，代入解析式檢驗。
解：（1）等邊三角形。
（2）設(shè)AH=x，則HB=AB-AH=6-x，依題意可得AB=OC=6，BC=OA=4。
在Rt△BHC中，，即，解得，∴H（，4）。
設(shè)，把H（）、C（6，0）代入得解得
∴。
（3）拋物線頂點為B（6，4），設(shè)，把D（10，0）代入得，
∴，依題意可得，點M的坐標為（8，3），把代入，得，∴拋物線經(jīng)過矩形CFED的對稱中心M。
例3、如圖3，點O是坐標原點，點A（n，0）是x軸上一動點（）以AO為一邊作矩形AOBC，點C在第二象限，且OB=2OA，矩形AOBC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得矩形AGDE。過點A的直線交y軸于F點，FB=FA。拋物線過點E、F、G且和直線AF交于點H，過點H作HM⊥x軸，垂足為點M。
（1）求k的值；
（2）點A位置改變時，△AMH的面積和矩形AOBC的面積的比值是否改變？說明你的理由。
分析：第（1）問利用已知條件及勾股定理，得，又直線過點A（n，0），用中間變量n，求出k的值。第（2）問用中間變量n表示出拋物線的解析式，解直線與拋物線聯(lián)列的方程組，求出點H的坐標，從而用中間變量n表示出△AMH的面積及矩形AOBC的面積，進而求出它們的比值。
解：（1）根據(jù)題意得到：B（0，-2n）；當時，，∴點F的坐標為（0，m），而FB=。
∵Rt△AOF中，，又FB=AF，∴，
化簡得：，對于過點A（n，0）
∴，∴
（2）∵拋物線過點E（3n，0）、點F（0，）、點G（，），
∴
解得：，，。
∴拋物線為。
解方程組：得；
∴H坐標是：（5n，3n），
HM=，AM=，
∴，而，
∴，不隨著點A的位置的改變而改變。
3、翻折
例4、在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB=2，AD=1，且AB、AD分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合，將矩形折疊，使點A落在邊DC上，設(shè)A′是點A落在邊DC上的對應(yīng)點。
（1）當矩形ABCD沿直線折疊時（如圖4-①），求點A′的坐標和b的值；（2）當矩形ABCD沿直線折疊時，①求點A′的坐標（用表示），并求出k和b之間的關(guān)系式；②如果我們把折痕所在的直線與矩形的位置分為如圖4-②，4-③，4-④三種情形，請你分別寫出每種情形時k的取值范圍。（將答案直接填在每種情形下的橫線上）
k的取值范圍是________；k的取值范圍是________；k的取值范圍是________
簡析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得兩直角三角形相似，從而得對應(yīng)線段成比例，求出點A′的坐標為（，1），再由勾股定理求出。（2）本小題與（1）小題的區(qū)別是用字母k表示數(shù)，同法（1）求出點A′的坐標為（-k，1），k和b之間的關(guān)系式為。（3）從圖②至圖④中對稱軸的位置可以看出，對稱軸由陡漸平，從而k值由小到大直至為O，再考慮點A′的三個特殊對稱點，當A′分別與點C、D、B重合時，對應(yīng)的k值分別為-2，-1，-2+，從而在三種圖形下對應(yīng)的k的取值范圍分別為，，。
例5、將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10。
（1）如圖5-①，在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標；
（2）如圖5-②，在OA、OC邊上選取適當?shù)狞cE′、F，將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在AB邊上的D′點，過D′作D′G∥y軸交E′F于T點，交OC于G點，求證：TG=AE′。
（3）在（2）的條件下，設(shè)T（x，y）①探求：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。②指出變量x的取值范圍。
（4）如圖5-③，如果將矩形OABC變?yōu)槠叫兴倪呅?/span>OA′B′C′，使OC′=10，OC′邊上的高等于6，其它條件均不變，探求：這時T′（x，y）的坐標y與x之間是否仍然滿足（3）中所得到函數(shù)關(guān)系，若滿足，請說明理由；若不滿足，寫出你認為正確的函數(shù)關(guān)系式。
簡析：（1）設(shè)E（0，m），在△ADE由勾股定理得或由△ADE∽△BCD得，解得，∴E（0，）。
（2）連接OD′交E′F于P，由折疊可知E′F垂直平分OD′，即OP=PD′，由OE′∥DG′，從而得出OE′=D′T，從而AE′=TG。
（3）①連接OT，由（2）可得OT=D′T，由勾股定理可得得。
②結(jié)合（1）可得AD′=OG=2時，x最小，從而；當E′F恰好平分∠AOB時，AD′最大即x最大，此時G點與F點重合，四邊形AOFD′為正方形，故x最大為6，從而，故。
（4）y與x之間仍然滿足（3）中所得的函數(shù)關(guān)系式。理由：連接OT′仍然可得OT′=D′′T′，即從而（3）中所得的函數(shù)關(guān)系式仍然成立。
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