問(wèn)任何一個(gè)量子愛(ài)好者，什么量子力學(xué)的本質(zhì)？他們首先回答的肯定是薛定諤的貓，接下來(lái)呢？可能是薛定諤方程。但是，這個(gè)方程究竟是什么，為什么它如此重要，以至于任何一個(gè)量子物理學(xué)家都會(huì)把它記在腦海中？這就是我們將在下面討論的內(nèi)容。

所以基本上，薛定諤方程是經(jīng)典波浪方程的量子力學(xué)擴(kuò)展，給你關(guān)于量子力學(xué)系統(tǒng)的能量的完整信息。為什么對(duì)電子這樣的基本粒子使用波浪方程？答案是波粒二象性。

數(shù)學(xué)

因此，我們從行進(jìn)波的經(jīng)典波形方程開(kāi)始：

其中A是振幅，k=2π/λ=（角）波數(shù)，x=位置，ω=角速度，t=時(shí)間。

• 古典波浪方程

有些教科書(shū)可能會(huì)在這個(gè)方程中使用余弦函數(shù)而不是正弦函數(shù)，這與我們所表達(dá)的方程是等價(jià)的，因?yàn)槲覀兪且韵鄬?duì)相位計(jì)算的。因此，對(duì)于φ=90°，我們得到的是余弦函數(shù)而不是正弦函數(shù)。也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)取φ=0°來(lái)消除相對(duì)相位。

你在文獻(xiàn)中可能遇到的這個(gè)經(jīng)典波浪方程的另一種形式是：

這只是我們上面定義的同一個(gè)方程，但以歐拉公式的指數(shù)形式給出。

• 經(jīng)典波浪方程的另一種形式，由歐拉公式導(dǎo)出

因此，在我們定義了方程之后，讓我們看看當(dāng)我們將ψ相對(duì)于時(shí)間（t）和位置（x）進(jìn)行微分時(shí)會(huì)發(fā)生什么。

• 將ψ相對(duì)于x和t進(jìn)行微分，可以得到一些已知的表達(dá)式

現(xiàn)在，你可能想知道這些方程的好處是什么。但是，仔細(xì)一看，我們得出了一些很好的結(jié)論。但首先，我們知道，k=2π/λ（λ=波長(zhǎng)）。根據(jù)德布羅意的關(guān)系：

?是縮小的普朗克常數(shù)，而p是動(dòng)量。

• p和k之間的關(guān)系

同樣，利用普朗克-愛(ài)因斯坦關(guān)系，ω=?ω/?=E/?（其中E是能量）。

• ω和E之間的關(guān)系

在我們的微分經(jīng)典波方程中使用這兩個(gè)關(guān)系，我們得到：

• 動(dòng)量關(guān)系

現(xiàn)在，我們定義量子力學(xué)動(dòng)量算子P-hat，使這個(gè)方程在P-hat中成立，即為：

• 動(dòng)量算子。請(qǐng)注意，psi的符號(hào)由小到大的變化是為了表示從經(jīng)典到量子的視角變化。

同樣，對(duì)于能量，我們將能量算子定義為：

• 能量關(guān)系。這里發(fā)生了一個(gè)類(lèi)似的從經(jīng)典到量子的視角變化。

現(xiàn)在，我們從經(jīng)典力學(xué)知道，動(dòng)能（E）=p^2/2m。利用這個(gè)關(guān)系，我們得到：

• 一維的時(shí)間相關(guān)薛定諤方程。

簡(jiǎn)化后的數(shù)學(xué)得到了上式方程中的下面一個(gè)。這個(gè)方程被稱(chēng)為一維的隨時(shí)間變化的薛定諤方程。

在這個(gè)問(wèn)題上增加更多的維度，我們得到方程的一般形式。

三維的時(shí)間相關(guān)性薛定諤方程。（倒三角平方）函數(shù)被稱(chēng)為拉普拉斯或拉普拉斯算子。

完善方程

在上面給出的方程中，你可能會(huì)注意到一件事，那就是所有的起始方程，都是從經(jīng)典力學(xué)中繼承下來(lái)的，是對(duì)應(yīng)于物體的動(dòng)能的。而且那是真的。我們還沒(méi)有在這些方程中加入物體的勢(shì)能。讓我們來(lái)做吧。

我們把量子系統(tǒng)的勢(shì)能定義為勢(shì)能算子V，并在三維空間中把它數(shù)學(xué)地寫(xiě)成V（x，y，z，t）ψ（x，y，z，t）。

因此，完整的能量方程是由：

• 三維中完整的時(shí)間相關(guān)型薛定諤方程。請(qǐng)注意，r被用來(lái)作為三個(gè)空間維度的速記表示。還請(qǐng)注意，量子系統(tǒng)的總能量被稱(chēng)為系統(tǒng)的哈密爾頓，它給你量子系統(tǒng)的總能量。

與時(shí)間無(wú)關(guān)和與空間無(wú)關(guān)的方程式

那么，上面我們鋪墊了相當(dāng)多的數(shù)學(xué)知識(shí)。如果φ不依賴(lài)于空間和時(shí)間，這將是它的最終形式。

那么，我們能不能在數(shù)學(xué)上把時(shí)間和空間分開(kāi)？是可以的，但有一個(gè)假設(shè)。我們假設(shè)φ是可以分離成時(shí)間和空間相關(guān)的函數(shù)，即u(r)和T(t)。

因此，考慮到這個(gè)假設(shè)，我們得到以下方程。

• 與時(shí)間無(wú)關(guān)的薛定諤方程

還記得隨時(shí)間變化的動(dòng)能方程嗎？我們將使用該表達(dá)式來(lái)得到我們的空間無(wú)關(guān)方程，就像我們得到時(shí)間無(wú)關(guān)方程一樣。

• 獨(dú)立于空間的薛定諤方程

這就是我們的獨(dú)立于時(shí)間的薛定諤方程！

在這篇文章中，我們已經(jīng)從數(shù)學(xué)上看到經(jīng)典力學(xué)是如何產(chǎn)生如此重要的量子物理學(xué)方程的。這種方法在這里被稱(chēng)為薛定諤方程的自由粒子方法。需要指出的是，盡管讀者在互聯(lián)網(wǎng)上也可能看到一些其他形式的薛定諤方程，但所有的方法基本上都可以歸結(jié)為或從這幾個(gè)（不那么）簡(jiǎn)單的方程中導(dǎo)出。

感興趣的朋友點(diǎn)波關(guān)注哦！