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諾特定理，最美妙的數(shù)學思想之一，把對稱的概念推廣到了極致

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2022.03.15

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很長一段時間以來，我一直想寫諾特定理，但卻遲遲沒有“動筆”。我覺得現(xiàn)在是時候給自己一個交代了。由埃米·諾特提出的諾特定理，是迄今為止，最美妙的數(shù)學思想之一。但它并沒有為普通大眾所熟知。

愛因斯坦和希爾伯特試圖得出廣義相對論方程，但掙扎了很長一段時間。因為，在廣義相對論之前，存在著這樣一個特殊的悖論，悖論是這樣的：

如果能量扭曲時空而時空包含能量，那么時空就會扭曲時空。

埃米·諾特解決了這個問題，但她是如何解決這個問題的？

諾特定理

如果宇宙中的一切都被平移到它現(xiàn)在的右邊會怎樣？我們知道這不會發(fā)生。但你還是會問“有什么變化？”，但更重要的是，什么是保持不變的？

這樣的思想實驗似乎是對時間的無限“濫用”。但在你了解諾特定理后，就不這么想了。通常對諾特定理的理解是：

對稱意味著守恒。

但是什么是對稱呢？什么是守恒定律？它們是如何聯(lián)系在一起的？

“對稱”在日常用語中指的是一種協(xié)調和美麗的比例感。在數(shù)學中，“對稱”有一個更精確的定義，通常用來指在某些變換下不變的物體，包括平移、反射、旋轉或縮放。

就數(shù)學而言，當對一個物體進行任意變換而不產(chǎn)生方向變化時，就建立了對稱。把一個球繞中心旋轉90度，得到的結果和開始時一樣。這個球體是“旋轉對稱的”。取一條直線（無限長），向右移動4個單位，直線沒有變化。這被認為是“平移對稱”。這似乎是一個無關緊要的性質，但事實并非如此。

艾米·諾特認為的對稱是這樣的：

假設這個對象是某個系統(tǒng)，它不斷地按照我們的意愿轉換。這個“系統(tǒng)”是宇宙的一部分，或者是宇宙本身。我們用λ值拉伸所有的距離，或旋轉所有的角度。諾特提出的問題是，無論如何，系統(tǒng)是否保持不變？

注意：諾特定理將“對稱”限制為連續(xù)對稱。連續(xù)對稱是用函數(shù)的連續(xù)變化來描述的，他們是離散的。球體是連續(xù)對稱的，而三角形不是。詳細請閱讀：李代數(shù)——物理學中最重要工具之一，一個最簡單的解釋

首先，諾特對能量特別感興趣。這里的定義做了一些調整：我們說，如果系統(tǒng)中物體的總能量在任意變換下不改變，那么這個系統(tǒng)就是對稱的。例如，如果我分離出一個質量，并將它與一個移位的質量進行比較，能量將保持不變。

所以這個系統(tǒng)被認為是“平移對稱的”，因為我們對它做的“任意變換”是向右平移λ單位。另一方面，對系統(tǒng)做一個小的改變就可以使這種對稱性變得無效。假設在這個系統(tǒng)中有一顆行星。離這顆行星越近的質量，其引力勢能就越?。欢x它越遠的質量，其引力勢能就越大。因此，這個系統(tǒng)不被認為是平移對稱的。

這就是對稱部分。守恒定律是什么意思？簡單地說，守恒量就是那些既不能被毀滅也不能被創(chuàng)造的量，只是從一種形式轉化成另一種形式。一些守恒量是能量，動量和電荷。

守恒量是指在一段時間內數(shù)量保持不變，既不能被創(chuàng)造也不能被毀滅的東西。描述這些量的定律叫作守恒定律。

但是為什么呢？為什么這些量是守恒的？為什么我們不能創(chuàng)造能量呢？諾特定理回答了所有這些問題。它非常準確地解釋了守恒從何而來。

具體說，它假定平移對稱意味著動量守恒。事實上，如果宇宙中每一顆原子向右移動1米，我們就無法分辨出它們的區(qū)別。但問題來了。什么時候動量不是守恒的？

讓我們假設一個蘋果掉下來。如果蘋果向地面移動2單位，它的重力勢會更小，速度會更大。因此，p=mv在兩種情況下并不相同。這個系統(tǒng)被認為是平移不對稱的。

但如果我們考慮整個宇宙。將所有東西向左或向右移動幾個單位，你不會注意到有什么東西的位置發(fā)生了變化。這一定意味著能量是守恒的，因此，動量也是守恒的。重點是平移對稱意味著動量守恒。

平移對稱→動量守恒

但是旋轉對稱呢？同樣的道理。把地球和蘋果看作一個系統(tǒng)。但蘋果并沒有落下，而是繞著地球轉。我們說這里的守恒量是角動量。如果這個物體沿著一個球形軌道運行，就像下圖所示，那么這個物體在任何給定位置的總能量都保持不變。所以它在這個軸上有旋轉對稱。

旋轉對稱→角動量守恒

我們已經(jīng)討論過空間中系統(tǒng)的變換。但是在時間上平移系統(tǒng)意味著什么呢？換句話說，假設有一個系統(tǒng)，在某一特定時刻t，與t + λ時刻的系統(tǒng)比較。如果系統(tǒng)的能量不變，那么它被認為是時間平移對稱的。諾特說什么是守恒的？能量。