自然數(shù)系的二進(jìn)制表達(dá)法
數(shù)是人類在長期實(shí)踐活動中逐漸形成的抽象概念，它們主要用來表示事物的多少（這種數(shù)是根據(jù)一一對應(yīng)的原理確定的）和事物間的次序（這種數(shù)是依靠一種其元素依次排列的標(biāo)準(zhǔn)集合來確定）。我們熟知的自然數(shù)就具有這兩方面的功能。
抽象的數(shù)的概念要通過適當(dāng)?shù)姆绞奖磉_(dá)，其表現(xiàn)形式在人類文明的不同時期有不小的差異，現(xiàn)在普遍使用印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼1,2,3,……和十進(jìn)位值制來表達(dá)自然數(shù)。嚴(yán)格地說，全體自然數(shù)組成的無窮集合N＝（1,2,3,……）和在其中定義的加法（＋）和乘法（?）運(yùn)算一起構(gòu)成自然數(shù)系。
所謂十進(jìn)位值制（有時也簡稱為十進(jìn)制），是在歷史長河中形成的一種自然數(shù)系的表達(dá)方式，它只需要利用十個不同的數(shù)碼（現(xiàn)在通用的是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。此時我們稱這種表達(dá)方式的基為十），按逢十進(jìn)一的進(jìn)位法，以及數(shù)碼在不同的位置表示不同的值的規(guī)定，就能比較方便地表達(dá)數(shù)的大小、次序并進(jìn)行運(yùn)算，而且它適用于所有的自然數(shù)。
我們知道，在歷史上還出現(xiàn)過其他的表達(dá)數(shù)的方式，如現(xiàn)在仍在使用的、用于表示時間的六十進(jìn)制。特別引起人們關(guān)注的是自然數(shù)系的二進(jìn)位值制（簡稱二進(jìn)制）表達(dá)方式，因?yàn)楝F(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)就使用二進(jìn)制?！稊?shù)學(xué)百科全書》（科學(xué)出版社，2002,北京。譯自蘇聯(lián)的《數(shù)學(xué)百科全書》）中的相關(guān)條目稱，二進(jìn)制是“基為2的位值記數(shù)系統(tǒng)”。也就是說，在這個系統(tǒng)中，只需要利用兩個數(shù)碼（現(xiàn)在通用的是0和1），按逢二進(jìn)一的進(jìn)位法，以及數(shù)碼在不同的位置表示不同的值的規(guī)定，就能像十進(jìn)制一樣，對所有的自然數(shù)表示其大小、次序并進(jìn)行運(yùn)算；此處定義的一位數(shù)的加法為1＋1＝10,一位數(shù)的乘法為1?1＝1。用二進(jìn)制表達(dá)的自然數(shù)很容易轉(zhuǎn)換成該數(shù)的十進(jìn)制表達(dá)，反之亦然。它們之間的對應(yīng)，如：0對應(yīng)于0,1對應(yīng)于1,2對應(yīng)于10,3對應(yīng)于11,4對應(yīng)于100,5對應(yīng)于101,6對應(yīng)于110,7對應(yīng)于111,8對應(yīng)于1000,9對應(yīng)于1001。2007對應(yīng)于11111010111。袁向東（中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員）[Page]
