假期時(shí)間比較充裕，在群里晃蕩的時(shí)間長(zhǎng)了點(diǎn)。
在幫幾位家長(zhǎng)判斷了下他們手里的高中數(shù)學(xué)課程配套題目的難度后，我發(fā)現(xiàn)手頭的素材正好支持寫(xiě)一篇技術(shù)文。
因?yàn)槲以谠u(píng)判的時(shí)候，要求家長(zhǎng)們都提供單調(diào)性的題目截圖，所以我手里集合了大概四五個(gè)版本，不同難度課程的的單調(diào)性題目，同一題型的不同難度題目正好都有。
于是我們就可以從對(duì)這些題目的分析中一窺高中數(shù)學(xué)命題的一些思路——如何增加難度，也可以從這些題目的解決中體會(huì)如何運(yùn)用化歸思想對(duì)一些比較難的題目進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化。
首先我們來(lái)看這道題目，這是抽象函數(shù)單調(diào)性里最簡(jiǎn)單的題目了。
毫無(wú)難度是吧？
就是考察學(xué)生對(duì)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)，會(huì)利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小。
解答過(guò)程就一步。
這種題吧，就毫無(wú)價(jià)值。
如何增加這道題目的難度呢？
與上一題相比，自變量從確定變成了不確定，題目從直接的判斷函數(shù)值大小變成了根據(jù)函數(shù)值大小和單調(diào)性判斷自變量大小。
加參數(shù)，是常見(jiàn)的增加難度的方式。
相較于上一題，思路無(wú)非是倒了過(guò)來(lái)，順帶加了一個(gè)不等式計(jì)算，所以解法多了一步。
這種題吧，在教輔里出現(xiàn)一次就夠了，出現(xiàn)第二次就是多余。
如果對(duì)此還不滿意，那我們可以繼續(xù)如何處理呢？
那就給定義域加一個(gè)限制吧。
此時(shí)除了根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值大小關(guān)系列出自變量大小關(guān)系之外，兩個(gè)自變量還必須滿足定義域的的限制。
這就是增加了解題需要考慮的因素，需要學(xué)生對(duì)于定義域的概念認(rèn)識(shí)很到位，知道考慮函數(shù)問(wèn)題首先要考慮定義域。
從上一題的一個(gè)不等式變成了三個(gè)不等式，提高了對(duì)學(xué)生的要求。
這就是一個(gè)比較典型的題目了，可以在此基礎(chǔ)上圍繞定義域、自變量形式進(jìn)行變化，但思路都是一致的，需要考慮的易錯(cuò)點(diǎn)也是一致的。
這種題，大概有資格在一些高中教輔中出現(xiàn)，但難度類(lèi)比大概就是普通高中普通班吧。
好吧，出題老師覺(jué)得這些變化都弱爆了，沒(méi)啥意思，毫無(wú)技術(shù)含量，有辱自己的聲譽(yù)，于是他決定在上題的基礎(chǔ)之上稍微變形。
這下除了單調(diào)性，又加上了奇偶性，這樣學(xué)生在之前題目的基礎(chǔ)上，還需要結(jié)合兩個(gè)性質(zhì)構(gòu)造出函數(shù)的圖像——開(kāi)口向上的關(guān)于y軸對(duì)稱的類(lèi)拋物線圖形，然后將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)自變量絕對(duì)值的大小關(guān)系。
這就使得題目變成了一個(gè)小小的綜合題——綜合了單調(diào)性、奇偶性、定義域、圖像、軸對(duì)稱函數(shù)的函數(shù)值大小關(guān)系。
相較于上一題，涉及的知識(shí)點(diǎn)變多了，解題的流程變長(zhǎng)了，運(yùn)用的手段也豐富了。
這種題目大概可以在普通高中重點(diǎn)班，重點(diǎn)高中普通班的教輔、考試中露個(gè)臉。
出題老師心滿意足，拿著這道題去找年級(jí)備課組長(zhǎng)，準(zhǔn)備出在這周的周考里，誰(shuí)知道組長(zhǎng)看了之后，輕蔑的微微一笑，把他的題目改的面目全非。
年輕老師看到后，才發(fā)現(xiàn)自己還是太天真。
相較于自己上一道題，這道題雖然去掉了奇偶性，但是需要根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性，還需要通過(guò)題目給出的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)換成之前那種函數(shù)值不等式，再利用單調(diào)性解決問(wèn)題，同時(shí)仍然需要考慮定義域。
相較于自己的題，通過(guò)構(gòu)造判斷抽象單調(diào)性對(duì)于一部分學(xué)生來(lái)說(shuō)是很生疏的內(nèi)容，使得解題過(guò)程拉長(zhǎng)，加大了難度。
這就是出在難點(diǎn)上了，妙??！
這種題目就在重點(diǎn)高中普通班里算是中上難度，在重點(diǎn)班里就一般吧，在一些普通同步教輔中算是靠后的題目了。
他剛要夸兩句，卻發(fā)現(xiàn)備課組長(zhǎng)雙眉緊皺，似乎還不是特別滿意，“這個(gè)題出的太多了，好多孩子都把這種題型記住了，直接套對(duì)數(shù)函數(shù)模型，沒(méi)意思，要不換換吧?！?/span>
年輕老師看著這道題目，有些猶豫，這道題目和之前的類(lèi)型看上去有些類(lèi)似，難度和上面哪道題目差相仿佛，但其實(shí)考察的點(diǎn)就不太一樣了，之前是抽象函數(shù)單調(diào)性，這道題目就變成了直接判斷分段函數(shù)單調(diào)性了——需要根據(jù)x范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，可能還需要畫(huà)出圖像來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。
重要的是學(xué)生要能夠通過(guò)觀察解析式找到分類(lèi)討論的思路，提高了切入的門(mén)檻，數(shù)形結(jié)合是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵思路。
從解題步驟上看感覺(jué)很簡(jiǎn)潔，但其難度比上一題略有下降，但實(shí)則也不容易。
正在兩個(gè)人討論之際，高一年級(jí)清北班的數(shù)學(xué)老師抱著Hello kitty保溫杯走過(guò)來(lái)看熱鬧，“這個(gè)題太簡(jiǎn)單了吧，沒(méi)啥區(qū)分度啊，正好我剛才看見(jiàn)了一道題目，你們看看怎么樣？”
這道題相較于上一題，難度更上一層樓。
雖然核心的考察點(diǎn)不變，但真的可謂是面目全非了。
學(xué)生首先需要根據(jù)已知的不等式構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，并確定這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合分段函數(shù)圖像——一元二次和絕對(duì)值函數(shù)，進(jìn)行分類(lèi)討論，構(gòu)造出關(guān)于b的不等式，求解。
構(gòu)造是一關(guān)，分類(lèi)討論又是一大關(guān)。
極其考察學(xué)生的洞察力以及對(duì)于分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)。
這種題目不是那種機(jī)械疊加難度，而是考察學(xué)生的觀察、思維能力。
也就重點(diǎn)高中重點(diǎn)班中等難度吧。
神仙打架啊啊啊啊啊，年輕教師內(nèi)心里高喊：打起來(lái)打起來(lái)！
早就聽(tīng)說(shuō)兩位大佬不太對(duì)付，這次直接Battle了！
之間備課組長(zhǎng)微微一笑，頭頂一抹亮光倏然一閃，似乎帶著殺意，“你說(shuō)的對(duì)，我也正覺(jué)得有些簡(jiǎn)單了，要不這樣吧，你看這個(gè)題咋樣，估計(jì)你們班的那些崽子們會(huì)喜歡的！”
這這這，不講武德??！
這明明是道綜合題，先利用奇偶性求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，然后還需要利用倒數(shù)關(guān)系進(jìn)一步構(gòu)造，最后還要用對(duì)勾函數(shù)和恒成立問(wèn)題，才能求出a的范圍。
被組長(zhǎng)硬生生加了個(gè)底數(shù)掛上了單調(diào)性的邊，每一塊都不簡(jiǎn)單，就這么糅合在一起......
這就是暴力美學(xué)啊啊，年輕老師在心里吶喊道。
看著Kitty老師不太好的神色，他趕緊拿起組長(zhǎng)改過(guò)的卷子，送到文印室排版印刷去了。
就這樣，這次的月考就出現(xiàn)了一道讓學(xué)生們無(wú)比怨念的題目。
“誰(shuí)這么變態(tài)??！”
考試結(jié)束，走廊里一片哀嚎，只有備課組長(zhǎng)往自己的灌籃高手主題茶杯里加了幾粒枸杞，慢條斯理的走進(jìn)自己的班級(jí)。
“同學(xué)們啊，你們這次考試讓我很失望，真的是我教的這幾屆里最差的一屆了。
就這道題，你們告訴我有什么難度？
有什么難度嘛？
哪個(gè)知識(shí)點(diǎn)咱們沒(méi)有講過(guò)，哪個(gè)思路咱們沒(méi)有分析過(guò)，無(wú)非就是綜合在一起了嘛，怎么就做的這么差勁呢？
這說(shuō)明什么？
說(shuō)明大家還沒(méi)有拆分題目的能力，遇到看上去復(fù)雜的題目就慌神，你冷靜一點(diǎn)怕什么？”
“就第一個(gè)條件就有兩種處理手法，我們沒(méi)有講過(guò)？
你們翻開(kāi)教輔第**面，你們自己看，是不是一模一樣？
這種技巧咱們當(dāng)初反復(fù)強(qiáng)調(diào)過(guò)，怎么換一個(gè)位置就不會(huì)了呢？
總是強(qiáng)調(diào)做題不能只埋頭做，要記憶、要總結(jié)，有些同學(xué)要反思，到底當(dāng)初做題的時(shí)候用心了沒(méi)有？
不管這道題你會(huì)不會(huì)做，解答題，你第一步總要給我搞定吧！
總得把f(x)和g(x)給我求出來(lái)吧，總得利用單調(diào)性把底數(shù)給我去掉吧，總得把f(x)和g(x)解析式給我代入不等式吧？
這么明顯的切入點(diǎn)你們找不到，要不要我給你們每個(gè)人都發(fā)一個(gè)燈籠考試帶著??？
這些常規(guī)的步驟分你們都拿不到，你們對(duì)得起我嘛？
你們不怕出教室被老天爺劈了嘛？
天理不容啊簡(jiǎn)直！”
“不等式全都變出來(lái)了，你們自己觀察觀察結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)多典型？
你們?cè)趺淳拖氩坏綐?gòu)造完全平方和立方差呢？
這種互為倒數(shù)的形式，出題老師是看它們順眼才這樣出的嘛？
他閑的沒(méi)事了？
這種結(jié)構(gòu)，不這樣用你們說(shuō)咋用？咋用？嗯？
說(shuō)了多少遍了，特定結(jié)構(gòu)特定處理方法，你們?cè)趺淳筒涣粢饽兀?/span>
只要構(gòu)造出來(lái)，那不就是送分的？
后面恒成立和對(duì)勾函數(shù)不就是送的？
最可氣的是某某同學(xué)，你前面都搞定了，你不知道換元時(shí)需要前后范圍一致？
還有某某某同學(xué)，那都是個(gè)正值了，你分參?。?/span>
恒成立你不分參？
你們是要急死我嘛？”
“這道題充分體現(xiàn)出來(lái)相當(dāng)一部分同學(xué)缺乏做大題的能力，知識(shí)掌握不夠全面，對(duì)于一些常規(guī)處理方式掌握不好，對(duì)于特殊的結(jié)構(gòu)不夠敏感，綜合能力不夠，思路不明確，做題隨波逐流，沒(méi)有攻堅(jiān)意識(shí)，細(xì)節(jié)掌握不到位，知識(shí)有死角......
你們要好好反思！
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