幾何學(xué)起源于古埃及尼羅河水泛濫后土地的丈量，完成于公元前300年左右的古希臘托勒密王朝時(shí)期。當(dāng)時(shí)，著名的數(shù)學(xué)家歐幾里得應(yīng)國王的邀請，到首都亞歷山大城的科學(xué)院工作。他總結(jié)和發(fā)展前人積累的知識(shí)，完成了《幾何原本》一書，搭起了歐幾里得幾何學(xué)的框架。
歐氏幾何，以它邏輯的嚴(yán)密，形式的完備和優(yōu)美，兩千年來為數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家所傾倒。唯一使人感到美中不足的是它的第五公設(shè)，即平行公理。此公理說，過直線外的一點(diǎn)，可以引一條、并且只能引一條直線與原直線平行。與其它公設(shè)比較，這個(gè)公設(shè)顯得過長、過于復(fù)雜。人們自然希望第五公設(shè)能從其他公設(shè)推出，從而不再是一個(gè)公設(shè)。
這方面的嘗試開始于公元五世紀(jì)。一千多年來，許多杰出數(shù)學(xué)家為它絞盡腦汁、耗盡才華，結(jié)果都一無所獲。無數(shù)前人的失敗，終于使后人悟出了道理。第一個(gè)察覺其中奧妙的人大概是高斯，然而，由于歐氏幾何在數(shù)學(xué)、哲學(xué)和神學(xué)中的神圣地位，高斯缺乏公開挑戰(zhàn)的勇氣，沒有發(fā)表自己的觀點(diǎn)。
第一個(gè)公布新幾何初步結(jié)果的是年輕的匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶。他從事這一研究不久，就走上了正確的道路，關(guān)鍵在于他采用了反證法，企圖從“第五公設(shè)不成立”引出謬論。然而，他在反證的道路上越走越遠(yuǎn)，卻始終不見“謬誤”的影子。鮑耶終于意識(shí)到第五公設(shè)確實(shí)是不可證明的公理。但是，人們可以引入不同于第五公設(shè)的其它公里，取代“第五公設(shè)”建立新的幾何學(xué)。
最先建立完整新幾何學(xué)的是俄國數(shù)學(xué)家洛巴切夫斯基。他與鮑耶一樣，用“過直線外一點(diǎn)，可以引兩條以上直線與原直線平行”的新公設(shè)來取代第五公設(shè)。洛巴切夫斯基的新幾何，被稱為羅氏幾何。數(shù)學(xué)家黎曼用另一個(gè)公設(shè)來代替歐幾里得的第五公設(shè)。他提出，“過直線外一點(diǎn)的任何直線都必定與原直線相交”。他所建立的幾何稱為黎氏幾何。
實(shí)際上，歐氏幾何、羅氏幾何、黎氏幾何描述的是不同曲率的空間。歐氏幾何描述零曲率空間，黎氏幾何描述正曲率空間（如球面），羅氏幾何描述的是負(fù)曲率空間（如馬鞍面）。1845年，黎曼從更高的角度把這三種幾何統(tǒng)一起來，成為黎曼幾何，用來描述彎曲和扭曲的幾何客體。
黎曼幾何為愛因斯坦發(fā)展他的相對論準(zhǔn)備了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
來源：黑洞與彎曲的時(shí)空
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