你好，歡迎來到我的《數(shù)學(xué)通識50講》。
我們上一講講了一元三次方程的解法，說里面可能涉及到一種并不存在的虛數(shù)。也就是說它們自身的平方是負(fù)數(shù)。
虛數(shù)在現(xiàn)實(shí)中顯然不存在，我這講會通過這個(gè)例子告訴你，數(shù)學(xué)家是如何虛構(gòu)一個(gè)現(xiàn)實(shí)中不存在的概念，解決現(xiàn)實(shí)問題的。
我們在初中學(xué)到平方根這個(gè)概念時(shí)，老師會說，只有正數(shù)和零才有平方根，沒有哪個(gè)數(shù)字自己乘以自己會等于負(fù)數(shù)。在解二次方程時(shí)，我們可能會遇到根號里面有一個(gè)負(fù)數(shù)的情況，但是老師說，不用管它，我們就認(rèn)定它無實(shí)數(shù)解即可。
但是當(dāng)學(xué)到了三次方程時(shí)，這個(gè)問題就回避不了了，因?yàn)楦鶕?jù)上一講介紹的公式，即使一個(gè)有實(shí)數(shù)解的三次方程，在求解的過程中，也會遇到要對負(fù)數(shù)開根號的情況。比如下面這個(gè)方程：
X3-15X-4=0
顯然X=4是一個(gè)解。
但是，如果我們利用昨天說的費(fèi)拉里-塔爾塔利亞公式算，得到的是這樣一個(gè)解，聽音頻的朋友可以看一眼，你不用關(guān)注細(xì)節(jié)，只要留心里面有√-121就好。
于是給負(fù)數(shù)開根號這件事就繞不過去了。數(shù)學(xué)家們只好虛構(gòu)出一個(gè)數(shù)，讓它的平方等于-1，這個(gè)數(shù)我們常常把它寫成字母i，就是拉丁語中imagini（相當(dāng)于英語中的image）“影像”一詞的首字母，它代表非真實(shí)、幻影的意思。
有了這個(gè)人造的、虛幻的數(shù)，上面那個(gè)復(fù)雜的一堆根號的式子就能計(jì)算下去了，而且算出來就是4。你可能會問其中的虛數(shù)去哪里了，很有意思的是，它們正負(fù)抵消了，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好的同學(xué)可以自己推導(dǎo)一下，算是留給你的思考題。
這件事你如果細(xì)想是很有意思的。如果我們真實(shí)的世界里有一個(gè)三次方程，比如給一些限制條件后計(jì)算一個(gè)長方體的尺寸，也就是解三次方程的問題，卡爾達(dá)諾等人找到了一個(gè)公式，可以計(jì)算出問題的答案，但是算到一半你就遇到一堵墻越不過去了，于是你引入一個(gè)不存在的工具，用了一下就翻過墻了。
這在哲學(xué)上其實(shí)很有意思，明明是現(xiàn)實(shí)世界的問題，而且在現(xiàn)實(shí)世界里也有答案，但是卻無法直接得到，非要發(fā)明一個(gè)不存在的東西作為橋梁。
怎么能夠形象地理解虛數(shù)這種抽象概念的作用呢？我們的數(shù)學(xué)課基本上不講，老師只是說，記住它的定義就好，回頭學(xué)生們就一頭霧水了。我通常用三個(gè)例子來形容它的作用。
一個(gè)是化學(xué)中的催化劑。我們知道，催化劑在化學(xué)反應(yīng)完成前后是不改變的，它只是起到一個(gè)媒介的作用，但是沒有它，化學(xué)反應(yīng)要么特別慢，要么干脆進(jìn)行不下去。
另一個(gè)例子不算太確切，但是好理解，就是傳話筒。我們經(jīng)?？吹竭@樣的現(xiàn)象，夫妻倆吵架后，誰也不愿意和對方說話，但是都清楚這個(gè)交流不能中斷，要繼續(xù)下去，于是就找孩子帶話，比如教孩子說：“去，和你媽說明天的家長會我去，她就不用去了。”孩子把這個(gè)意思傳遞后，又帶回一句話：“媽媽說，你要是去開家長會，她就先回家做飯了?！?/p>
這樣傳幾次話，可能夫妻間的問題就解決了。在這個(gè)過程中，夫妻間的問題不涉及到孩子，孩子在傳話時(shí)甚至不明白其中的含義，但是沒有這個(gè)局外的傳話筒，夫妻之間的問題可能就解決不了了。
最后一個(gè)例子是蟲洞。我們接下來就開一下腦洞。假如你和一個(gè)相愛的人在同一個(gè)宇宙中，但相隔幾十光年，你想對她說一句我愛你，但哪怕你搭載光速飛船去找她，她聽到的時(shí)候都已經(jīng)老了。
現(xiàn)在有一個(gè)蟲洞，你可以從中穿過去，在瞬間到達(dá)另一個(gè)平行宇宙中，然后再從另一個(gè)蟲洞穿回現(xiàn)在的宇宙，這也是瞬間的事情，這樣你就能很快到她身邊了。你們二人本來是在同一個(gè)宇宙中，但是卻要依賴另一個(gè)和你們無關(guān)的宇宙來回穿越。
虛數(shù)也是如此，在上面的式子中，我們把它創(chuàng)造出來，又把它正負(fù)相抵消，該得到實(shí)數(shù)的答案依然是實(shí)數(shù)的。從更廣義的角度講，很多數(shù)學(xué)工具都是如此，它們并非我們這個(gè)世界存在的東西，而是完全由邏輯虛構(gòu)出來的。但是我們現(xiàn)實(shí)世界的事情，卻要用這些虛構(gòu)的工具來解決。
那么虛數(shù)除了解三次方程還有什么用？它的用途可以歸結(jié)為三個(gè)層面。
第一個(gè)層面是對于數(shù)學(xué)本身的影響。引入虛數(shù)的概念后，數(shù)學(xué)的一些邏輯上可能的漏洞就被補(bǔ)上了。
比如說，在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，X^2+1=0是無解的，這樣一來，有的多項(xiàng)式方程有解，有的無解，數(shù)學(xué)就不完美了。引入一個(gè)虛擬的概念，虛數(shù)i，就讓所有的方程都變得有解了。更漂亮的是，引入虛數(shù)的概念后，所有的一元N次方程都會有N個(gè)解，沒有例外。
第二個(gè)層面是作為工具的作用。有了虛數(shù)之后，很多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，可以用簡單的方法解決，這就如同前面介紹的三次方程的解法問題。這個(gè)問題雖然引出了虛數(shù)的概念，但是并不是它最大的用途。虛數(shù)作為數(shù)學(xué)工具最大的用途，可能是便于將直角坐標(biāo)變成極坐標(biāo)。
關(guān)于這兩種坐標(biāo)我們后面還會講，簡單地講，在飛行、航海等場景里，極坐標(biāo)更方便使用，比如我們說往兩點(diǎn)鐘的方向飛行20公里，這就是極坐標(biāo)的描述方式。在極坐標(biāo)的計(jì)算中，如果只用實(shí)數(shù)，非常復(fù)雜，如果引入虛數(shù)，就極為簡單。
第三個(gè)層面是應(yīng)用層面。量子力學(xué)、相對論、信號處理、流體力學(xué)和控制系統(tǒng)的發(fā)展都離不開虛數(shù)。
通過虛數(shù)這個(gè)例子，我首先想說的是，人類可能是唯一一個(gè)能夠構(gòu)想出不存在的事物的物種，這個(gè)能力對我們來講非常重要。在我們生活的世界里，存在著大量的構(gòu)想出來的東西。比如早期的人類要靠宗教崇拜團(tuán)結(jié)起來，雖然最后一起去打仗，去探險(xiǎn)的都是人，但是要沒有宗教，人和人直接溝通，達(dá)不到團(tuán)結(jié)的目的。
今天雖然大家不太需要宗教了，但是很多虛擬的概念已經(jīng)深入我們?nèi)诵?，比如法律、有限公司、法人團(tuán)體等概念便是如此，它們在自然界中并不存在，只是人們腦子里構(gòu)建出的概念，但是如果沒有它們，這個(gè)社會就運(yùn)行不下去。當(dāng)我們習(xí)慣于使用這些虛構(gòu)的概念后，就會把它們真實(shí)化，感覺和真的一樣。
為了讓大家更好地理解這一點(diǎn)，我們不妨看一個(gè)法律學(xué)的概念——法人。
在早期的羅馬法中，提出了法律主體的概念，它最初只涉及到自由人，后來因?yàn)橐幚斫?jīng)濟(jì)糾紛，就把一些機(jī)構(gòu)看成是法律的主體，當(dāng)作人一樣看待，這就是法人概念的來源。這些法人，其實(shí)就相當(dāng)于數(shù)學(xué)中所說的虛數(shù)的概念。
我們今天和一個(gè)公司打官司，其實(shí)在打官司的過程中接觸到的還是人，但是你不會去告里面某個(gè)具體的人，而是針對這個(gè)虛構(gòu)出的組織。當(dāng)你打贏這個(gè)官司后，是里面具體的人執(zhí)行對你的賠償，但是你拿到的賠償卻是法人這個(gè)機(jī)構(gòu)給你的。這就如同解方程時(shí)，我們需要借助于虛數(shù)，得到實(shí)數(shù)的解一樣。
今天，衡量一個(gè)人認(rèn)知水平的一個(gè)方法，就是看他接受虛擬概念的能力有多強(qiáng)，如果他只停留在看得見摸得著的東西，這個(gè)人的水平就不是很高。我們經(jīng)常說那些只知道買房置地，收藏奢侈品的人是土財(cái)主，其實(shí)也是這個(gè)道理。
其次，虛數(shù)的出現(xiàn)，標(biāo)志著人類對數(shù)這個(gè)概念認(rèn)識的進(jìn)步，特別是從形象思維到抽象思維的進(jìn)步。
人類早期認(rèn)識的數(shù)字都是正整數(shù)，1，2，3，4……因?yàn)榇蠹医佑|到的周圍的世界就是這樣實(shí)實(shí)在在一個(gè)又一個(gè)的東西。事實(shí)上除了古印度，其他文明在早期數(shù)字中都沒有零這個(gè)數(shù)，因?yàn)榱氵@個(gè)概念比較抽象，人類從有數(shù)字開始花了幾千年才搞明白。
接下來有了數(shù)字就要做運(yùn)算，兩個(gè)自然數(shù)相加或者相乘，結(jié)果還是自然數(shù)。但是，到做減法和除法時(shí)就出現(xiàn)了問題，因?yàn)?-3=？，2/3=？在自然數(shù)中找不到。于是人們就發(fā)明了負(fù)數(shù)和分?jǐn)?shù)（就是有理數(shù)）的概念。這兩個(gè)概念就比自然數(shù)要抽象一些了。
很多人覺得數(shù)學(xué)越到后來越難學(xué)，就是沒有能突破抽象思維的瓶頸。有了正負(fù)的概念，有了分?jǐn)?shù)的概念，就形成了有理數(shù)的概念，加減乘除和乘方五種運(yùn)算就都沒有問題了。自從畢達(dá)哥拉斯定理被發(fā)現(xiàn)，人類就不得不面對開方這件事，就不得不定義出無理數(shù)。
再往后，又因?yàn)橐獙ω?fù)數(shù)開方，便發(fā)明了虛數(shù)的概念。實(shí)數(shù)和虛數(shù)合在一起，就形成了復(fù)數(shù)。我把人類認(rèn)識數(shù)的過程用一張圖表示出來，它是從中心往四周擴(kuò)散的：
那么復(fù)數(shù)有什么用呢？為什么要搞出這么一個(gè)在現(xiàn)實(shí)世界中完全不存在的概念呢？僅僅是為了讓開方運(yùn)算變得完備么？當(dāng)然不是。復(fù)數(shù)是一個(gè)非常強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，使用這個(gè)建立在現(xiàn)實(shí)生活中所不具備的事實(shí)的基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)工具，可以解決很多現(xiàn)實(shí)世界里的問題。
這句話可能聽起來有點(diǎn)繞口，換一種方式講是這樣的，復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)在現(xiàn)實(shí)世界里并不存在，但是建立在不存在基礎(chǔ)上的工具，卻能解決實(shí)際問題。
比如我們使用的三相交流電是實(shí)實(shí)在在地存在的，它里面的很多問題，用復(fù)數(shù)這個(gè)工具解決，要比用實(shí)數(shù)加上三角函數(shù)解決起來容易得多。實(shí)際上，涉及到電磁波的幾乎所有問題，都需要使用復(fù)數(shù)這個(gè)工具來解決。
對于今天的內(nèi)容，你如果體會到像虛數(shù)這樣媒介工具的作用，以及通過數(shù)字的擴(kuò)展歷史，體會到人類認(rèn)知升級的過程，就算是掌握精髓了。
下一講，我們再繼續(xù)突破認(rèn)知，去理解無限的世界。歡迎你把文章分享到自己的家長群，幫助家長朋友們重新理解數(shù)學(xué)，幫孩子把數(shù)學(xué)變得更容易。我們下一講再見?！獏擒姟稊?shù)學(xué)通識五十講》
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