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1.依據(jù)：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是以定點(diǎn)為圓心定長(zhǎng)為半徑的圓。

2.應(yīng)用：

（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的長(zhǎng)。

簡(jiǎn)析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A為圓2為半徑的圓上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD=√15。

（2）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是          .　   　

簡(jiǎn)析：E為定點(diǎn)，EB′為定長(zhǎng)，B′點(diǎn)路徑為以E為圓心EB′為半徑的圓，作穿心線DE得最小值為2√10。

（3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為        .

簡(jiǎn)析：先確定A、B點(diǎn)的位置，因AC=2，所以C點(diǎn)在以A為圓心，2為半徑的圓上；因點(diǎn)O是點(diǎn)C以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度并1：√2縮小而得，所以把圓A旋轉(zhuǎn)45度再1：√2縮小即得O點(diǎn)路徑。如下圖，轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A到定圓F的最長(zhǎng)路徑，即AF FO=3√2。

此類問(wèn)題詳解參閱：

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從混沌到有序：線段最值問(wèn)題解法分類

1.依據(jù)：與一條定線的兩端夾角一定的動(dòng)點(diǎn)路徑是以定線為弦，定角為圓周角的弧。

2.應(yīng)用：

（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，點(diǎn)P是CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠APB=90°時(shí)求DP的長(zhǎng).　   　

簡(jiǎn)析：AB為定線，∠APB為定角（90°），P點(diǎn)路徑為以AB為弦（直徑）的弧，如下圖，易得DP為2或8。

（2）如圖，∠XOY = 45°，等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在OX、OY上移動(dòng)，AB = 2，那么OC的最大值為       .

簡(jiǎn)析：AB為定線，∠XOY為定角，O點(diǎn)路徑為以AB為弦所含圓周角為45°的弧，如下圖，轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)C到定圓M的最長(zhǎng)路徑，即CM MO=√3 1 √2。

相關(guān)閱讀：難點(diǎn)突破：動(dòng)點(diǎn)軌跡與路徑最值綜合題

（3）已知A（2，0），B（4，0）是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____．

簡(jiǎn)析：作ΔABC的處接圓M，當(dāng)∠ACB最大時(shí)，圓心角∠AMB最大，當(dāng)圓M半徑最小時(shí)∠AMB最大，即當(dāng)圓M與y軸相切時(shí)∠ACB最大。

如下圖，易得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2√2）或（0，-2√2）。

（4）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax^2-3ax-4a的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0, 2),交軸于點(diǎn)A、B，(A點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),頂點(diǎn)為D.

①求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B的坐標(biāo);

②將ΔABC沿直線BC對(duì)折,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A',試求A'的坐標(biāo);

③拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使∠BPC=∠BAC？若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析③：定線BC對(duì)定角∠BPC=∠BAC，則P點(diǎn)在以BC為弦的雙弧上（關(guān)于BC對(duì)稱），如下圖所示。

1.依據(jù)：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

2.應(yīng)用：

ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的長(zhǎng)?！?nbsp;  　

簡(jiǎn)析：作ΔABC的外接圓，如下圖，易得AD=7 5=12。

1.依據(jù)：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓（或一邊所對(duì)兩個(gè)角相等）。

2.應(yīng)用：

如圖，在矩形ABCD中， AB=6，AD=8，P、E分別是線段AC、BC上的點(diǎn)，四邊形PEFD為矩形，若AP=2，求CF的長(zhǎng)?！?nbsp;  　

簡(jiǎn)析：因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圓，如下圖，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD～ΔDCF，CF：AP＝CD：AD，得CF＝1.5。

1.如圖，圓O的半徑為5，A、B是圓上任意兩點(diǎn)，且AB=6，以為AB邊作正方形ABCD（點(diǎn)D、P在直線兩側(cè)），若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，則CD邊掃過(guò)的面積為_____ 。

簡(jiǎn)析：CD旋轉(zhuǎn)一周掃過(guò)的圖形可以用兩點(diǎn)確定，一是最遠(yuǎn)點(diǎn)距離為PC，二是最近點(diǎn)距離為P到直線CD的垂線段，從而確定兩個(gè)圓，CD即為兩圓之間的圓環(huán)，如下圖。

2.如圖，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，將ΔABC繞頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至ΔA'B'C的位置，則線段AB掃過(guò)區(qū)域的面積為_____。

簡(jiǎn)析：掃過(guò)的陰影部分旋轉(zhuǎn)拼合成如下圓心角為45度的扇環(huán)。

1.動(dòng)圓 定弦：依據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，知此弦為直徑時(shí)，圓最小。

如圖, △ABC中, ∠ABC＝90°, AB＝6, BC＝8, O為AC的中點(diǎn), 過(guò)O作OE⊥OF, OE、OF分別交射線AB、BC于E、F, 則EF的最小值為     . 

簡(jiǎn)析：圖中顯然O、E、F、B共圓，圓是動(dòng)的，但弦BO＝5，當(dāng)BO為直徑時(shí)最小，所以EF最小為5.

2.動(dòng)圓 定線：相切時(shí)為臨界值。

如圖, Rt△ABC中, ∠C＝90°, ∠ABC＝30°, AB＝6, 點(diǎn)D在AB邊上, 點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn) (不與點(diǎn)B、C重合), 且DA＝DE, 則AD的取值范圍是     。

簡(jiǎn)析：因DA=DE，可以D點(diǎn)為圓心以DA為半徑作圓，則圓D與BC相切時(shí)，半徑DE最小。E向B點(diǎn)移動(dòng)半徑增大直至D到B處（不含B點(diǎn)），得2≤AD<3。

3.動(dòng)弦 定角：圓中動(dòng)弦所對(duì)的角一定，則當(dāng)圓的直徑最小時(shí)此弦長(zhǎng)最小。

已知：△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，D、E分別為AB、AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D分別作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，過(guò)E作EH⊥AB于H，EI⊥BC于I，連FG、HI，

求證：FG與HI的最小值相等。

簡(jiǎn)析：可以看HI何時(shí)最小，因B、H、E、I共圓，且弦HI所對(duì)圓周角一定，所以當(dāng)此圓直徑最小時(shí)弦HI最小，即當(dāng)BE最小時(shí)，此時(shí)BE⊥AC，解△OHI可得HI的最小長(zhǎng)度。同樣可求FG的最小長(zhǎng)度。

此題可歸納一般結(jié)論：當(dāng)∠ABC=α，∠ACB=β，BC=m時(shí)，F(xiàn)G和HI的最小值均為m*sinα*sinβ。