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難倒整個議題委員會、四位數(shù)論專家，還有數(shù)學(xué)天才陶哲軒的傳奇奧數(shù)題目到底有多難？

撰文 | 史丹福狂想曲

玩過奧數(shù)或者其他數(shù)學(xué)競賽的朋友大概都會聽過”傳奇的第6題”。這條題目出自1988年國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（International Mathematical Olympiad，簡稱IMO）的第6題，是公認(rèn)的史上最精彩、也是最困難的其中一道競賽題目。

題目如下：

史上最難奧數(shù)題

1 傳奇的第6題

這題目究竟有多困難呢？ 我們先簡介一下IMO的題目來源，好讓大家對這比賽有更多的認(rèn)識。

IMO競賽是讓全世界不同國家的中學(xué)生參與的數(shù)學(xué)比賽，共有6道題目，比賽分兩天，每天做三題，總共時間為9小時。題目基本上都是證明類題目，每題值7分，共42分。試題大致上會分為簡單、中等與困難三個等級，第1與第4題屬簡單，第2與第5題屬中等，第3與第6題屬困難。題目由主辦國外的各參賽國提供，由主辦國組成擬題委員會，從提交題目中挑選候選題目。各國領(lǐng)隊先于隊員提前數(shù)天抵達(dá)，共同商議問題及官方答案。

話說當(dāng)年西德是奧數(shù)的超級強(qiáng)隊，曾經(jīng)于1982與1983年獲得總分第一。但之后幾年卻被蘇聯(lián)、羅馬尼亞及美國超越了，搶奪了第一的寶座。有人認(rèn)為也許是出于復(fù)仇心態(tài)，西德數(shù)學(xué)家就出了這道精心設(shè)計、極盡困難的題目。澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克議題委員會的六個成員都未能解決這道由西德數(shù)學(xué)家提供的問題，于是他們只好向主辦國澳大利亞的4位最好的數(shù)論專家求肋，委員會希望專家能于6小時內(nèi)解決問題，令人尷尬的是，專家經(jīng)過一輪苦戰(zhàn)都未能解出題目。于是，議題委員竟然夠勇氣把問題寄往國際數(shù)學(xué)奧林匹克委員會，不過他們特意在問題旁加上兩顆星，代表這是超難題目——也許難到不應(yīng)用作競賽題目。委員會作了長時間的考慮后，又竟然真的斗膽敢采用此題，結(jié)果這個題目就成了第29屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的第6題。

委員會有人覺得這可能會成為破紀(jì)錄的沒有選手解出的國際奧數(shù)問題。然而事實上結(jié)果卻并不是那么悲觀：雖然268名選手在這道題目上的平均得分只有0.6分，為IMO舉辦29年以來平均得分最低的一題，但這個難倒4位數(shù)論專家的題目，卻被11位中學(xué)生以7分滿分的成績解答出來。

陶哲軒被譽(yù)為當(dāng)今世上最出色的年輕數(shù)學(xué)家之一。他自小已是數(shù)學(xué)天才，于10歲、11歲及12歲參加了三次國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，分別得了銅獎、銀獎與金獎，是銅獎、銀獎與金獎的最年輕得獎紀(jì)錄保持者。他于16歲得到學(xué)士學(xué)位，21歲得到普林斯大學(xué)博士學(xué)位，并在24歲成了加州大學(xué)洛杉磯分校（University of California, Los Angeles，簡稱UCLA）數(shù)學(xué)系的終身教授，是該校史上最年輕的終身教授。 他于31歲獲得菲爾茲獎。菲爾茲獎是數(shù)學(xué)界最高的榮譽(yù)，由于諾貝爾獎不設(shè)數(shù)學(xué)獎，所以菲爾茲獎基本上就是等同于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎。

為何我突然花這么多的時間介紹陶哲軒呢？因為他參與了1988年的國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽并獲得金獎，他于頭5題都全取7分，最后的第6題卻只有1分。這條超級難題連當(dāng)今世上其中一位最出色的數(shù)學(xué)家都破解不了，令題目更添傳奇色彩。

史上最難奧數(shù)題

當(dāng)年12歲的陶哲軒獲得1988年國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金獎。| 來源：國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽網(wǎng)站

有一位參賽者，保加利亞選手Emanouil Atanassov卻得到了該題的特別獎。特別獎的得獎?wù)弑仨氁靡环N非常漂亮、精彩獨到的方法解題，答案比標(biāo)準(zhǔn)答案更精彩，常常也更簡潔，才有機(jī)會得獎，可以說是比得到滿分更困難。而他用到的方法叫“韋達(dá)跳躍”（Vieta jumping）。筆者找不到文獻(xiàn)記載中，在這道奧數(shù)問題出現(xiàn)以前有沒有人用過此方法解數(shù)學(xué)題，不過可以肯定的是，這方法在該屆IMO之后變得聲名大噪，現(xiàn)今已是參加數(shù)學(xué)比賽者訓(xùn)練時必定會學(xué)到的技巧。

2 韋達(dá)跳躍

“韋達(dá)跳躍”的概念其實都只是來自高中數(shù)學(xué)，沒有什么高深的，只不過是利用了極盡巧妙的方法，把初等數(shù)學(xué)的威力發(fā)揮得淋漓盡致而已。這技巧牽涉到兩個重要數(shù)學(xué)知識：一是韋達(dá)定理（Vieta’s theorem），一是無窮遞降法（method of infinite descent）。

韋達(dá)定理其實就是二次方程中根的和與積及系數(shù)的關(guān)系：

史上最難奧數(shù)題

這應(yīng)該是DSE（香港中學(xué)文憑考試）高中數(shù)學(xué)第一課的內(nèi)容，是廣為人知的（雖然課程沒有用到韋達(dá)定理這個很專業(yè)的名稱）。

至于無窮遞降法則是一種反證法，用的是“沒有最小，只有更小”的概念。如果我們假設(shè)，一方程式如果有一正整數(shù)解，那么應(yīng)該有一最小的解。然后我們再證明“如果有一解，必有另一個更小的解”，也就是說“沒有最小，只有更小”，這與方程式有最小解互相矛盾。唯一的可能性就是我們的假設(shè)出錯，方程式根本上沒有解。

史上最難奧數(shù)題

3 破解難題

言歸正傳，我們就試試用這種方法解開傳奇的第6題吧！

史上最難奧數(shù)題

史上最難奧數(shù)題

史上最難奧數(shù)題

史上最難奧數(shù)題

史上最難奧數(shù)題

史上最難奧數(shù)題

史上最難奧數(shù)題

這個題目令“韋達(dá)跳躍”聲名大噪，現(xiàn)在不少數(shù)學(xué)競賽的書籍，甚至是大學(xué)的教科書都會用這“傳奇的第6題”為例子，所以以現(xiàn)今的標(biāo)準(zhǔn)來看這題目不算太困難。如果現(xiàn)在的IMO再出一道有關(guān)“韋達(dá)跳躍”的數(shù)論題目，參加者們也大概會有不錯的成績。不過它在當(dāng)年難倒整個議題委員會、四位數(shù)論專家、數(shù)學(xué)天才陶哲軒及很多數(shù)學(xué)好手，稱這傳奇題目為史上最難的奧數(shù)題目絕不為過。

后 記

by 文小剛

史上最難奧數(shù)題

史上最難奧數(shù)題

具體實驗又給我們帶來新的問題，讓我們可以繼續(xù)探索。如何理解這第3類看似不規(guī)則的解，有興趣的讀者接下來可以進(jìn)一步考慮，看能不能系統(tǒng)地構(gòu)造出所有的解。

本文除“后記”外轉(zhuǎn)載自博客“史丹福狂想曲”，原文題目為“史上最難的奧數(shù)題目”，原文鏈接https://drstanford.blogspot.com/2020/02/blog-post.html 。

想要繼續(xù)挑戰(zhàn)嗎？1988年國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的完整試題在這里：

https://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1988

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