上幾天在嵌入式微系統(tǒng)（msOS）群內(nèi)，網(wǎng)友“南方的風”在咨詢信號系統(tǒng)問題，涉及到離散傅立葉變換復(fù)數(shù)問題。我因為之前寫過“看得懂的傅立葉變換”，大家希望我解答一下。
說實在，我雖然對于傅立葉變換的物理意義比較了解，也能自己根據(jù)自己的感性理解可以推導出公式，但對于復(fù)雜的一些比如離散傅立葉等，卻沒有仔細分析過，因為用不著。
群內(nèi)大部分網(wǎng)友都認為這個東西，就是一頓數(shù)學的推導，用matlab套用公式做幾個例子就差不多了，至于很詳細的，尤其是感性的理解，完全沒有。
對于他的問題，我無法直接回答，但是，關(guān)于傅立葉變換本身不復(fù)雜，但引入了復(fù)數(shù)之后，因為大家對復(fù)數(shù)的物理意義都不懂，最后都是屬于理性的公式推導，但最后的結(jié)果的物理意義是什么，大家卻都不明白，只知道一堆的數(shù)學公式，這個是一種本末導致，所以我認為有必要先搞明白復(fù)數(shù)的物理意義，只有看得懂復(fù)數(shù)，有它的感性認識，那么基于它的推理才可能有感性，深刻的認識。
對于復(fù)數(shù)，長期困擾著我，無法理解，因為老師從來沒有跟我們解釋過它的物理意義，只是把結(jié)果告訴我們，讓我們死記硬背。對于一個無法理解的東西而又想要去理解，最好的辦法是溯源，去了解它的歷史：
復(fù)數(shù)，最早是在解一元三次方程的時候引入的，當時解一元三次方程，很難解，引入了一個符號設(shè)為J，J * J = -1,可以比較容易的解了這個方程，但帶J的那個解，不被大家認可。這是虛數(shù)第一次出現(xiàn)，但到了后來，高次解之后，大家發(fā)現(xiàn)，J越來越繞不開，并且有規(guī)律，N次方程，就有N個包含帶J的解，于是大家認識到一點，一個高次方程，要想解它的解，最佳的捷徑就是從J入手，到了高斯時期，高斯對這個J進行了研究，那個時候是笛卡爾坐標系，但他第一個把J引入坐標系，于是出來了復(fù)數(shù)坐標系，但他的物理意義是什么呢？他把這個物理意義跟平面坐標的矢量四則運算結(jié)合起來，若J * J = -1，恰好滿足一個平面坐標的矢量四則運算，那個時候他意識到，J真實存在。
J的物理意義就是表示另外一個坐標軸，他是一個坐標軸符號，為了區(qū)別X軸，引入Y軸，那么必須要用符號標記，所以J是坐標Y軸的符號，這就是它的物理意義，于是就有了a+bJ。
有了復(fù)平面其實就是用一個數(shù)來表征一個平面數(shù)據(jù)，而J只是一個符號，那么這個符號的四則運算肯定不同于數(shù)字運算邏輯，假如符號運算邏輯跟數(shù)字運算邏輯等價，是不可以理解的，那么這樣下，J * J = -1,這個就可以理解了，J * J = 1反而不能理解，因為這個J是符號，這個是符號的四則運算邏輯，它必須要跟數(shù)字的運算邏輯不同，甚至相反。而現(xiàn)在恰恰相反，滿足了我們的實際需要，這樣數(shù)學進入了平面時代。
那個時候三角函數(shù)發(fā)明了，并且非常興起，而三角函數(shù)是典型的平面坐標體系，于是大家想到了用復(fù)平面來表征三角函數(shù)，這個里面，歐拉做了最大的貢獻，那就是歐拉公式:e^iπ+1=0。它把數(shù)的基本邏輯搞明白了，出來了完美的公式，而后期的傅立葉變換，大家也開始引入了正交復(fù)平面坐標系來表征一維信號，發(fā)現(xiàn)得到了一個完美統(tǒng)一的表達方式：把一維信號，用二維正交復(fù)平面坐標系來描述，這個相對于常規(guī)的，一維信號，用三角函數(shù)正交坐標系描述，在形式上更統(tǒng)一。但是，我們?nèi)说乃季S，一直停留在一維上，希望一維的信號，用一維的另外一個信號來表征，三角函數(shù)正交系（普通傅立葉變換）的表達都讓很多人暈乎了，何況還是的正交復(fù)平面二維坐標系，這個就導致了理解上的難度。其次，我們的教育，虛數(shù)是在高中時期引入的，那個時候老師根本不明白虛數(shù)的意義，到了大學，我們往往把結(jié)果當成了真理來運用，不去溯源而忘乎了復(fù)數(shù)的歷史起源，可以說，復(fù)數(shù)的起源，是很多初期數(shù)學家困惑的東西，就如同量子理論一樣，
大家都在不停的否定中，被迫承認，后來發(fā)現(xiàn)好處，尤其形式上的完美統(tǒng)一，最后，反而進入了自我循環(huán)的獨立體系，卻最后忘記了它的物理意義，任何東西，必須要有物理意義，拋棄物理意義，只是推導，那只需要計算機就可以了，不需要人。
復(fù)數(shù)的引入，最大的價值，讓我們的思維開闊了，可以引入N維度的思維，這個在實際中有很多應(yīng)用，而基于這種思維的應(yīng)用，一般可以做一些高、精、尖的產(chǎn)品，以避免同質(zhì)化競爭。
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