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【關(guān)于對角線對稱】

如圖，正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，且DM=1， N是AC邊上的一動點，則△DMN周長的最小值是________．

【分析】考慮DM為定值，故求△DMN周長最小值即求DN+MN最小值．點N為折點，作點D關(guān)于AC的對稱點，即點B，連接BN交AC于點N，此時△DMN周長最?。?/span>

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【假裝不存在的正方形】

（2019山東聊城）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），點C在邊AB上，且AC:CB=1:3，點D為OB的中點，點P為邊OA上的動點，當點P在OA上移動時，使四邊形PDBC周長最小的點P的坐標為（      ）

A．（2，2）            B．（5/2，5/2）

C．（8/3，8/3）      D．（3，3）

【分析】此處點P為折點，可以作點D關(guān)于折點P所在直線OA的對稱：

也可以作點C的對稱：

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【隱身的正方形】

（2017遼寧營口）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在BC上，BD=3，DC=1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為（      ）

A．4          B．5        C．6         D．7

【分析】作點C關(guān)于P點所在直線AB的對稱點C'，當C'、P、D共線時，PC+PD最小，最小值為5，故選B．

【等邊系列】

如圖，在等邊△ABC中，AB=6， N為AB上一點且BN=2AN， BC的高線AD交BC于點D，M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是___________．

【分析】M點為折點，作B點關(guān)于AD的對稱點，即C點，連接CN，即為所求的最小值．

過點C作AB垂線，利用勾股定理求得CN的長為2倍根號7．

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【隱身的等邊三角形】

如圖，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N為AB上一點且BN=2AN， M是AD上的動點，連結(jié)BM，MN，則BM+MN的最小值是________．

【分析】對稱點并不一定總是在已知圖形上．

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【角分線系列之點到點】

（2018山東濰坊）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠ACB，點F是AC的中點，點E是AD上的動點，則CE+EF的最小值為________．

【分析】此處E點為折點，可作點C關(guān)于AD的對稱，對稱點C'在AB上且在AB中點，化折線段CE+EF為C'E+EF，當C'、E、F共線時得最小值，C'E為CB的一半．

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【角分線系列之點到線】

（2018遼寧營口）如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是________．

【分析】此處M點為折點，作點N關(guān)于BD的對稱點，恰好在AB上，化折線CM+MN為CM+MN'．

因為M、N皆為動點，所以過點C作AB的垂線，可得最小值．

【菱形高】

（2018廣西貴港）如圖，在菱形ABCD中，AC為6倍根號2，BD=6，E是BC的中點，P、M分別是AC、AB上的動點，連接PE、PM，則PE+PM的最小值是____________．

【分析】此處P為折點，作點M關(guān)于AC的對稱點M'，恰好在AD上，化折線EP+PM為EP+PM'．

當E、P、M'共線時，EP+PM最小，最小值即為菱形的高，可用面積法：AC·BD=BC·EM'.

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【折點在邊上】

（2017山東菏澤）如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標為（-4,5），D是OB的中點，E是OC上的一點，當△ADE的周長最小時，點E的坐標是__________．

【分析】點E為折點，E是y軸上一點，作點D關(guān)于y軸的對稱點D'，連接AD，與y軸交點即為所求E點．

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【面積與折點】

（2019西藏）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，動點P滿足△APB的面積是矩形ABCD面積的三分之一，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為_________．

【分析】由△APB面積是矩形面積三分之一，可作出P點軌跡為直線MN（AM=BN=2），作點B關(guān)于MN的對稱點B'，化折線PA+PB為PA+PB'．

當A、P、B'共線時，取到最小值．

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【全等與對稱】

（2017江蘇南通）如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E、F、G、H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長的最小值為________．

【分析】考慮到四邊形EFGH是平行四邊形，即求EH+EF最小值，此處E為折點，作F關(guān)于AB對稱點F'，則BF'=BF=DH=CM，∴MF'=BC=5，MH=DC=10，∴HF'為5倍根號5，周長最小值為10倍根號5．