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修訂 | 拓廣思維，讓數(shù)學(xué)不再高冷

遇見數(shù)學(xué) >《待分類》

2020.10.31

關(guān)注

2019.8.7 對1處公式修訂了錯誤, 刪除了第2題的第3種解法, 感謝 @方豪老師指正.

作者秋然然，四川省內(nèi)江市第六中學(xué)。本文參與遇見數(shù)學(xué)＃數(shù)學(xué)蒲公英＃第2次征文活動，參與鏈接請點(diǎn)擊這里.

★ 提示: 如果文中數(shù)字/公式顯示較大, 請點(diǎn)擊右上角中"刷新"即可恢復(fù)正常.

在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，把每道題思路都學(xué)會是我們每個人都應(yīng)該做到的，而在做的過程中我們能否突破常規(guī)，用自己的思路，自己的經(jīng)驗(yàn)，自己的知識為數(shù)學(xué)題打開另一條“路”？

“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也。” 《論語·述而》

舉一反三，在數(shù)學(xué)上即為“推廣”，在我們做題中這種舉一反三的思想固然重要，但是在這過程中，我們很容易就形成了思維定勢。

思維定勢，也稱慣性思維，它是由一定的心理活動所形成的準(zhǔn)備狀態(tài)，對以后的感知、記憶、思維、情感等心理活動和行為活動起正向的或反向的推動作用。

▌怎樣創(chuàng)新？
在數(shù)學(xué)史上的創(chuàng)新有許許多多：

對數(shù)的發(fā)明
虛數(shù)的創(chuàng)造
非歐幾何
矩陣代數(shù)
微積分
......

還有一些創(chuàng)新出來的方法與結(jié)論：

均值不等式

(

，但且僅當(dāng)

時取等)

對數(shù)均值不等式

對數(shù)均值不等式可以說是在均值不等式上的一個創(chuàng)新，在此基礎(chǔ)上，不僅可以為我們解題帶來便捷，而且在近幾年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題也算一個秒殺技巧吧。

在我們做題過程中不僅要做到做一題會十題，還要做到通過換一種思路來一題多解，即創(chuàng)新，換個思路想問題。

有個經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)；把六只蜜蜂和同樣多的蒼蠅裝進(jìn)一個玻璃瓶中，然后將瓶子平放，讓瓶底朝著窗戶。結(jié)果發(fā)生了什么情況？蜜蜂不停地想在瓶底上找到出口，一直到它們力竭而餓死；而蒼蠅則會在不到兩分鐘之內(nèi)，穿過另一端的瓶頸逃逸一空。由于蜜蜂基于出口就在光亮處的思維方式，想當(dāng)然地設(shè)定了出口的方位，并且不停地重復(fù)著這種合乎邏輯的行動。可以說，正是由于這種思維定勢，它們才沒有能走出囚室。而那些蒼蠅則對所謂的邏輯毫不留意，全然沒有對亮光的定勢，而是四下亂飛，終于走出了囚室，

我們在做題的時候，就如“蜜蜂”一樣，只會根據(jù)“陽光”找“出口”，從而困在“瓶子”里，但如果我們像“蒼蠅”一樣，不局限于“陽光”，從多個方面尋找“出口”，才能走出困境。

接下來我們來看兩到例題，體驗(yàn)創(chuàng)新的簡便。

▌射球問題
一足球場長60米，寬40米，球門長10米，在窄邊正中間假設(shè)一名球員在下邊線上射球，假設(shè)無其他干擾，問在何處射球最佳？

首先我們根據(jù)實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)換問題：

其實(shí)題目就是問我們動點(diǎn)

在何處時

最大。

▌三角函數(shù)？平面幾何？
對于一名普通高中生來說，看到這道題的第一想法就是用一個函數(shù)來表示

，便有了以下標(biāo)準(zhǔn)的解法：

設(shè)

然后用均值不等式便可求出其最值：

根據(jù)其單調(diào)性可知即

時，角度最大。此時

，即

時成立。

這樣的方法應(yīng)該是每個高中老師所教授的方法，而且老師希望每位同學(xué)都要學(xué)會。但是從宏觀角度來看，這本是一道幾何題，卻用代數(shù)的方法解決了，那此題是否能換一個思路，用幾何的方法解決呢？

稍微涉獵廣泛一點(diǎn)的同學(xué)就會了解到一個定理叫米勒定理。

首先介紹一下米勒定理：
在點(diǎn)

運(yùn)動過程中，

會在

的外接圓與

相切時最大

其證明也很簡潔，以下是此新方案所引用的定理證明：

證明：當(dāng)

的外接圓與

相切于點(diǎn)

時，在

上任取異于

的一點(diǎn)，因?yàn)?nbsp;

是圓周角，

是圓外角，所以

，則

最大。

由此可見此題還可用平面幾定理進(jìn)行作答：
∵ 相切
∴ 根據(jù)切割線定理有：

由定理便可直接得到

時射門最佳。

由米勒定理得到的解答可謂是無腦秒殺，但是在當(dāng)代高中數(shù)學(xué)教育中，平面幾何并不是高考所要求學(xué)的類容，所以大多數(shù)老師并不會講這種方法，畢竟高中教學(xué)必須以高考為宗旨。這也使得許許多多的創(chuàng)新方案被老師所教的定勢思維所遏制。

我們再來看一道看似簡單實(shí)則很難的比較大小的題

▌?wù)l大誰?。?/span>
比較大?。?1)

和

(2)

和

第一道題感覺應(yīng)該要構(gòu)造一個函數(shù)

剛好可以把題目中的兩個數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化成

和

的大小比較，通過去計(jì)算

的導(dǎo)函數(shù)并令其等于 0 便可計(jì)算出

的極值點(diǎn)，便可算出其單調(diào)區(qū)間。

?

顯然可以得出

▌創(chuàng)新難，不創(chuàng)新更難！
我們來看看第二道題：