有一個男孩叫小角（角平分線），他對于住在他隔壁的小平（平行線）傾慕已久，最近都在想盡辦法接近小平。忽然有一天，小角在上學(xué)路上偶遇到了小平，然后他們就開始了他們的第一次的相遇…
第一次相遇
我們第一次接觸到平行線和角平分線是在我們初一的時候，我們了解到角平分線定義就是角平分線會平分該角，得到角度的等量關(guān)系，而我們在平行線的性質(zhì)里面也會學(xué)到，兩直線平行，我們會得到角度的數(shù)量關(guān)系，那么通過等量代換，我們能獲得許多角度的等量關(guān)系。
如圖，由AD∥BC得∠2=∠3；由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3.
對于角平分線+平行線的模型，它的基本題目形態(tài)就是題目中會給出平行或一眼看出平行線的判定條件，以及給出角平分線。它的基本解題思路就是將相等的角度都找出來之后進行等量代換，并且在進行角度的等量代換的過程中，就會為解題提供更多的“隱藏條件”。
例一：
已知AB∥CD，直線EF分別交于直線AB，CD于點E，F(xiàn)，F(xiàn)G平分∠CFE且交AB于點G，若∠BEF=70°，則∠AGF=___________。
【考點】平行線的性質(zhì)
【解答】證明：
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠CFG，∠EFC=∠BEF=70°，
∵FG平分∠CEF，
∴∠EFG=∠CFG=35°，
∴∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠EFG=35°，
∴∠AGF=145°．
小角和小平都漸漸長大，在成長的過程中，小平搬離了原本的小區(qū)，小角與小平就再也沒有相遇過了。直到某一天，小角一如既往地在公交車站等車上班的時候，在車站遇到了一個和小平長得非常相似的姑娘，小角的內(nèi)心忽然激動了起來，便走上去想確認一下是否曾經(jīng)的小平。
第二次相遇
我們在初二，就會開始學(xué)習(xí)到平行線進階的知識點——平行四邊形，平行四邊形本身就自帶許多的性質(zhì)，涉及到邊、角、對角線。這時，在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的基礎(chǔ)上，我們就開始能夠通過角度對邊的長度進行數(shù)量關(guān)系的分析，而在我們角平分線+平行線的模型概念中，也開始引入了等腰三角形去對邊長進行推理與分析。
如圖，由AD∥BC得∠2=∠3；由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3，則△ABD是等腰三角形，AB=AD.
此時，我們除了需要進行角度數(shù)量關(guān)系的討論，對于線段的數(shù)量關(guān)系也會進行討論，進一步地我們可以對三角形周長或者面積去進行計算。并且對于角平分線、平行線、等腰三角形這三個條件，我們不難發(fā)現(xiàn)是可以知二推一，題目中給出其中任意兩個條件，都能夠通過角度等量代換推得第三個。
例二：
如圖，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB，OE∥AC，若BC=15cm，則△ODE的周長為___________.
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)
【解答】
解：∵OD∥AB
∴∠ABO=∠BOD
∵OB平分∠ABC
∴∠ABO=∠OBD
∴∠ABO=∠BOD
∴BD=OD
則同理可得CE=OE
∴△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+EC=15cm．
故答案為15cm．
果不其然，小角在巴士站遇到的就是小平，多年未見好友重逢，想聊的很多，但是因為時間關(guān)系，小角和小平只是互加了微信。在之后小角和小平經(jīng)常進行聯(lián)系，小角認為自己內(nèi)心依舊傾慕著小平，找到一天終于向小平坦白了心聲！小平給小角提了一個難題，表示如果小角解決了就答應(yīng)他。
小角開始努力地解決這道難題，但是發(fā)現(xiàn)沒有頭緒，所以發(fā)出來進行了求助。
例三：
如圖，已知AD是△ABC的角平分線，四邊形MBEF是平行四邊形．求證：AF=BM
【考點】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)
【解答】證明：
∵四邊形MBEF是平行四邊形，
∴BM∥EF，BM=EF，
∴∠1=∠AEF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠AEF，
∴AF=FE，
∴AF=BM．
小角終于將這道難題解開，與小平獲得了圓滿的結(jié)局。
在很久以后的某一天，小平問起“那道難題你是怎么解開的呢？”，小角看著遠方唱道，“I have 角平分線，I have平行線，Ah~等腰三角形！”
同步練習(xí)
練習(xí)一：
如圖，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于點O，過O作EF∥BC交AB、AC于E、F. 試說明BE+CF=EF．
練習(xí)二：
如圖，已知E是AB上的點，AD∥BC，AD平分∠EAC，試判定∠B與∠C的大小關(guān)系，并說明理由．
練習(xí)三：
如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線BE交AD于E點，AB=3，ED=1，則平行四邊形ABCD的周長是___________。
練習(xí)四：
如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的角平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F，則DE=___________cm
練習(xí)五：
如圖，A、B是圓O上的兩點，且AB的長度小于圓O的直徑，直線l與AB垂于點D且與圓O相切于點C．
求證：AC為∠OAD的角平分線.
END
作者：袁蕾
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