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第27期三角形的內(nèi)切圓

長(zhǎng)沙7喜 >《數(shù)理化生》

2016.05.30

關(guān)注

三

角形的內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形三邊的距離相等。

運(yùn)用于切線有關(guān)的性質(zhì)，可得到三角形內(nèi)切圓的很多性質(zhì)，下面我們借助幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)：

例1

⊙O內(nèi)切于△ ABC,切點(diǎn)分別是D.E.F.

已知∠ B=50°，∠C=60°，連接OE,OF,DE,DF,

則∠ EDF=_______.

解析：因?yàn)椤袿是△ ABC的內(nèi)切圓，連接OE,OF,則OE⊥AC,OF⊥AB,由∠ B=50°，∠C=60°，可得∠A=70°，則易得∠EOF=110°，則∠ EDF=55°.

題記：⊙O是△ ABC的內(nèi)切圓，連接圓心與切點(diǎn)，就有垂直的關(guān)系，進(jìn)而可求解本題。

例2

如圖，已知⊙O是三角形的內(nèi)切圓，∠ A=80°，求∠ BOC=________

解析：⊙O是△ ABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)是△ ABC三條角平分線的交點(diǎn)，如圖，

則BO平分∠ ABC,OC平分∠ ACB，

則

題記：⊙O是△ ABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)是△ ABC三條角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ BOC與∠ A的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，

例3

如圖，RT△ABC中，，AC=6，BC=8，則△ ABC 的內(nèi)切圓半徑為r=_______.

解析：⊙O是△ ABC的內(nèi)切圓，設(shè)切點(diǎn)分別為D,E,F，連接OD,OE,OF,則OD⊥BC,OF⊥AB,OE⊥AC,

由勾股定理可得AB=10.

方法一：連接OA,OB,OC,則OD,OE,OF,可分別看成△BOC, △AOC,△AOB的一條高，且OD=OE=OF=r,

方法二：易得四邊形ODEC為正方形，則CD=CE=OD=OE=r,如圖

則BD=6-r,AE=8-r,由切線長(zhǎng)定理可得BF=BD=6-r,AF=AE=8-r,而B(niǎo)F+AF=6-r+8-r=AB=10，r=1/2(6+8-10)=2.

題記：方法一利用了等面積建立等量關(guān)系，從而求出線段的長(zhǎng)，方法二借助切線長(zhǎng)定理，利用斜邊建立等量關(guān)系，兩種方法在直角三角形的前提下都可以推廣如下

在直角三角形ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a,b,c

利用方法一，連接OD,OE,OF,OA,OB,OC可得

利用方法二，如圖，

則CD=CE=OD=OE=r,則BD=a-r,AE=b-r,由切線長(zhǎng)定理可得BF=BD=a-r,AF=AE=b-r,而B(niǎo)F+AF=a-r+b-r=AB=c，

在同一個(gè)直角三角形中，我們得出了兩個(gè)關(guān)于內(nèi)切圓的半徑的表達(dá)式，實(shí)際上，對(duì)于第一個(gè)式子，分子分母同乘以（a+b-c）得，且而在直角三角形中，a2+b2=c2

綜上，我們得出了直角三角形的內(nèi)切圓半徑的計(jì)算公式，

在a,b為直角邊，c為斜邊的直角三角形中，內(nèi)切圓的半徑計(jì)算公式為

熟練掌握這個(gè)等量關(guān)系，可在有些計(jì)算過(guò)程中事半功倍。

練習(xí)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一正方形AOBC,反比例函數(shù)y=k/x經(jīng)過(guò)正方形AOBC的對(duì)角線的交點(diǎn)，半徑為（4-2√2）的圓內(nèi)切于△ ABC,則k的值為_(kāi)_______.

解析：如圖，而圖中圓是三角形ABC的內(nèi)切圓，則由內(nèi)切圓半徑與邊之間等量關(guān)系可得

1/2(AC+BC-AB)= 4-2√2,

AC+AC-√2AC= 2(4-2√2),

(2-√2)AC=8-4√2

AC=4，則正方形的對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)（2,2），k=4.

題記： △ ABC是直角三角形，四邊形OACB是正方形，想求k的值，只需要求出正方形的對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可.

中考直擊

(2015 湖州)如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，折痕為FG，點(diǎn)F，G分別在AD，BC上，連結(jié)OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半徑長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論不成立的是( )

A.CD+DF=4 B.CD-DF=2√3-3 C.BC+AB=2√3+4 D.BC-AB=2

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此題是圓的計(jì)算題，求面積最大值和線段長(zhǎng)，構(gòu)造特殊三角形是關(guān)鍵

初中數(shù)學(xué)勾股定理逆定理簡(jiǎn)答題專(zhuān)題訓(xùn)練含答案

設(shè)Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c 結(jié)論是：內(nèi)切圓半徑r＝(a＋b－c)/2

三角形垂心的性質(zhì)總結(jié)

第24講　與圓有關(guān)的位置關(guān)系

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