幾何五大模型
一、五大模型簡(jiǎn)介
（1）等積變換模型
1、等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；
2、兩個(gè)三角形高相等，面積之比等于底之比，如圖①所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；
3、兩個(gè)三角形底相等，面積在之比等于高之比，如圖②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；
4、在一組平行線之間的等積變形，如圖③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，
則可知直線AB平行于CD。
例、如圖，三角形ABC的面積是24，D、E、F分別是BC、AC、AD的中點(diǎn)，求三角形DEF的面積。
（2）鳥頭（共角）定理模型
1、兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫共角三角形；
2、共角三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。
如圖下圖三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上或AB、AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)
則有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE）
我們現(xiàn)在以互補(bǔ)為例來(lái)簡(jiǎn)單證明一下共角定理！
如圖連接BE，根據(jù)等積變化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC
，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。
例、如圖在ΔABC中，D在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，
△ADE的面積為12平方厘米，求ΔABC的面積。
（3）蝴蝶模型
1、梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)
例、如圖，梯形ABCD，AB與CD平行，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，已知△AOB、△BOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面積。
2、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：
例、如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的長(zhǎng)度是DO長(zhǎng)度的幾倍。
蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑，通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。
（4）相似模型
1、相似三角形：形狀相同,大小不相等的兩個(gè)三角形相似；
2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相
交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
3、相似三角形性質(zhì)：
①相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)邊）的比等于相似比；
②相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；
③相似三角形面積的比等于相似比的平方。
相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對(duì)平行線！
例、如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的長(zhǎng)度是多少？
（5）燕尾模型
由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴，所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性質(zhì)：
S[sub]△ABG[/sub]：S[sub]△ACG[/sub]=S[sub]△BGE[/sub]：S[sub]△CGE[/sub]=BE：CE
S[sub]△BGA[/sub]：S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△GAF[/sub]：S[sub]△GCF[/sub]=AF：CF
S[sub]△AGC[/sub]：S[sub]△BGC[/sub]=S[sub]△AGD[/sub]：S[sub]△BGD[/sub]=AD：BD
例、如圖，E、D分別在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD與BE交于點(diǎn)F，四邊形DFEC的面積等于22平方厘米，求三角形ABC的面積。
二、五大模型經(jīng)典例題詳解
（1）等積變換模型
例1、圖中的E、F、G分別是正方形ABCD三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是12，那么陰影部分的面積是多少？
例2、如圖所示，Q、E、P、M分別為直角梯形ABCD兩邊AB、CD上的點(diǎn)，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求陰影部分三角形PQM的面積。
（2）鳥頭（共角）定理模型
例1、如圖所示，平行四邊形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四邊形ABCD的面積為2，求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比。
例2、如圖所示，△ABC的面積為1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求△FGS的面積。
（3）蝴蝶模型
例1、如圖，正六邊形面積為1，那么陰影部分面積為多少？
例2、如圖，長(zhǎng)方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，求余下的四邊形OFBC的面積。
例3、如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10厘米，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，求三角形BDG的面積。
（4）相似模型
例1、如圖，正方形的面積為1，E、F分別為AB、BD的中點(diǎn)，GC=1/3FC,求陰影部分的面積。
例2、如圖，長(zhǎng)方形ABCD，E為AD的中點(diǎn)，AF與BD、BE分別交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E點(diǎn)，交AF于O點(diǎn)，已知AH=5,HF=3,求AG的長(zhǎng)。
（5）燕尾模型
例1、如圖，正方形ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求四邊形BGHF的面積。
例2、如圖，在△ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面積是陰影△GHI面積的幾倍？
例3、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F是BC的三等分點(diǎn)，若△ABC的面積是1，求四邊形CDMF的面積。
三、鞏固練習(xí)
1、如圖，在角MON的兩邊上分別有A、C、E、B、D、F六個(gè)點(diǎn)，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面積都等于1，求△DCF的面積。
2、如下圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果△ADE的面積為4平方厘米，求三角形CDF的面積。
3、如下圖，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四邊形DGFE面積占三角形ABC的幾分之幾？
4、如圖，四邊形EFGH的面積是66平方米，EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA，求四邊形ABCD的面積。
5、邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF，求三角形AGE的面積。
6、如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形ADG的面積為11，三角形BCH的面積為23，求四邊形EGFH的面積。
7、如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米?，F(xiàn)在要把它加工成一個(gè)正方形零件，是正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？
8、如圖，已知正方形ABCD的面積為120平方厘米，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，求四邊形BGHF的面積。
9、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是12厘米，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，AF與CE交于點(diǎn)G，求四邊形AGCD的面積。
10、如圖，在四邊形ABCD中，AB=3BE、AD=3AF，四邊形AEOF的面積是12，求平行四邊形BODC的面積。
