在科普作品中，我們經(jīng)常聽到：物體的運(yùn)動(dòng)速度不能超過光速，隨著速度越來越接近于光速，物體的時(shí)間流逝會(huì)越來越慢，質(zhì)量會(huì)越來越大。這樣的說法背后隱藏著兩個(gè)公式，一個(gè)是時(shí)間膨脹公式，一個(gè)是質(zhì)量增加公式。這兩個(gè)公式怎樣以最簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)——初中數(shù)學(xué)知識(shí)、最直接的物理內(nèi)涵推導(dǎo)出來？

時(shí)間膨脹公式的推導(dǎo)

設(shè)想靜止的地面上，有一輛速度為v、直線運(yùn)動(dòng)的皮卡車，在卡車上站著一個(gè)人，手中握著一個(gè)手電筒，方向垂直朝上。相對(duì)論的核心思想是，將卡車作為手電光運(yùn)動(dòng)的參照物，手電光的速度，與以地面為參照物的手電光的速度是相同的。我們?cè)O(shè)光在卡車參照系上垂直向上前進(jìn)一段確定的距離，所耗費(fèi)的時(shí)間是t； 設(shè)這個(gè)事件在地面參照系上看來，耗費(fèi)的時(shí)間是t'。

在卡車參照系上，光向上前進(jìn)的距離為 ct，地面參照系上，光向上前進(jìn)的距離為ct'，卡車前進(jìn)的距離為vt。不同參照系上的距離，我們表示在一張圖上，就會(huì)發(fā)現(xiàn)卡車參照系上光走過的距離ct為圖中的斜線，而地面參照系的ct'、vt就是斜線ct在水平、垂直方向上的投影。

這里的物理內(nèi)涵是，在卡車參照系上，光垂直向上前進(jìn)了距離ct時(shí)，由于卡車自身前進(jìn)了距離vt，等價(jià)于光前進(jìn)的距離ct在地面參照系上為一條斜線。注意，這里僅指距離ct在地面參照系上相當(dāng)于一條斜線，并不是說手電光在地面參照系上的運(yùn)動(dòng)軌跡為斜向上的，實(shí)際上手電光在地面參照系上仍然是垂直向上的。通過向量分解出的水平、垂直距離就分別為ct'、vt。

這表明，卡車參照系上光的垂直向上的運(yùn)動(dòng)軌跡以向量分解的形式，生成了地面參照系上光垂直向上的運(yùn)動(dòng)軌跡和卡車在t時(shí)間里的運(yùn)動(dòng)軌跡。此時(shí)我們就可以用勾股定理得到下述關(guān)系式，并整理得到時(shí)間膨脹公式。

這就是說，在卡車參照系上，一個(gè)事件經(jīng)歷了時(shí)間t，此事件在地面參考系上看來，僅經(jīng)歷了時(shí)間t'，表現(xiàn)為時(shí)間變慢即時(shí)間膨脹。

質(zhì)量增加公式的推導(dǎo)

設(shè)卡車上有一個(gè)靜止小球，質(zhì)量在卡車上測(cè)量為m。這個(gè)小球相對(duì)于地面，在以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。由于小球前進(jìn)△x的距離，在卡車參考系上看來時(shí)間是△t，則地面參照系上，小球前進(jìn)△x的距離用了△t'的時(shí)間，△t'為膨脹后的時(shí)間。

小球的動(dòng)量，在地面參照系上就應(yīng)該為P=m（△x/△t'）。設(shè)β為時(shí)間膨脹的比例因子，我們可以將動(dòng)量寫成

P=m（△x/△t'）=m（△x/△t）（△t/△t'）=m（△x/△t）（1/β）=m/β（v），

由于小球在地面參照系上的速度為v，結(jié)合動(dòng)量公式P=MV，就能發(fā)現(xiàn)m/β就是地面上測(cè)量到的小球的質(zhì)量，因此我們得到質(zhì)量增加公式

可見，隨著速度的增加，物體的質(zhì)量會(huì)越來越大，速度趨向于光速時(shí)，質(zhì)量趨向于無窮大！

總結(jié)

通過全文簡(jiǎn)明的推導(dǎo)，我們領(lǐng)略到了愛因斯坦天才的思維方式。繼續(xù)通過質(zhì)量增加公式，還可簡(jiǎn)明導(dǎo)出質(zhì)能方程，有興趣的朋友可以去作者主頁閱讀那篇文章。