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一、冪的運(yùn)算

1. 同底數(shù)冪的乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

即：a^m·aⁿ=a^m+n<>n>（m，n為正整數(shù)）

2. 冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

即：(a^m)ⁿ=a^mn  （m，n為正整數(shù)）

3. 積的乘方：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。

即：(ab)ⁿ=aⁿbⁿ （n為正整數(shù)）

4. 同底數(shù)冪的除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

即：a^m÷aⁿ=a^m-n 

<>n>（m、n是正整數(shù)且m＞n,a≠0）二、整式的乘法運(yùn)算1. 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。3. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。三、整式的除法運(yùn)算1. 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對(duì)于只在被除式中含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。2. 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。四、常用乘法公式：1. 平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差即：(a+b)(a-b)=a2-b22. 完全平方公式：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。即：(a±b)2=a2±2ab+b2  

一、因式分解

1. 因式分解的概念：

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

2. 因式分解與整式乘法的關(guān)系：

因式分解與整式乘法都是整式變形，兩者互為逆變形。因式分解是將“和差”的形式化為“積”的形式，而整式乘法是將“積”化為“和差”的形式。

注：分解因式必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式的因式都不能再分解為止，即分解因式要徹底。

3. 公因式：

多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的公共因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。

系數(shù)——取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

字母——取各項(xiàng)都含有的字母；

指數(shù)——取相同字母的最低次冪。

例如：多項(xiàng)式 pa+pb+pc 中因式 p 即為多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。

二、因式分解的方法

因式分解的方法在初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法。

1. 定義：

如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

2. 基本步驟：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并確定另一個(gè)因式：

①找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；

②提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；

③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

如：am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)

口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。

1. 定義：

如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來(lái)把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。

2. 平方差公式：

兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，這個(gè)公式就是平方差公式。即：

a²－b²＝(a＋b)(a－b)

3. 完全平方公式：

兩個(gè)數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或者差）的平方。即：

a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²

a²－2ab＋b²＝(a－b)²

注意：

① 項(xiàng)數(shù)為三項(xiàng)；有兩項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的的平方和，這兩項(xiàng)的符號(hào)相同；有一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍。

② 當(dāng)多項(xiàng)式中有公因式時(shí)，應(yīng)該先提出公因式，再用公式分解。

③ 完全平方公式中的a、b可表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式。這里只要將多項(xiàng)式看成一個(gè)整體就可以了。

④ 分解因式，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。

如果把一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組并提取公因式后它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以用分組分解法來(lái)分解因式。

例如 am+an+bm+bn，這四項(xiàng)中沒(méi)有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式。

所以原式= (am+an) + (bm+bn) = a(m+n) + b(m+n)

再看，這兩項(xiàng)還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以原式= (am+an)+(bm+bn) = a(m+n)+b(m+n) = (m+n)(a+b)

這種利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法。

1. 定義：

對(duì)于x²+px+q型的式子，如果q能分解為數(shù)a，b的積，且有a+b=p時(shí)(即a與b和是一次項(xiàng)的系數(shù))，那么x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)；

或?qū)τ?span>kx²+mx+n型的式子，如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx²+mx+n=(ax+c)(bx+d)，這種分解因式的方法叫做十字相乘法。

2. 具體方法：

十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。

3. 特點(diǎn)：

①二次項(xiàng)系數(shù)是1；

②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；

③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。

4. 基本步驟：

①把二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別分解因數(shù)；

②嘗試十字圖，使經(jīng)過(guò)十字交叉線相乘后所得的數(shù)的和為一次項(xiàng)系數(shù)；

③確定合適的十字圖并寫出因式分解的結(jié)果；

④檢驗(yàn)。

例如：把6x²+13x+6分解因式

所以，原式=(2x+3)(3x+2)