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縱觀2020年宿遷中考數(shù)學(xué)卷，難度不大，但考題內(nèi)涵豐富.本文主要就其中三道把關(guān)題展開(kāi)探究：（本文筆者研究了一兩月有余，尤其是對(duì)所謂“三大結(jié)構(gòu)”展開(kāi)深入研究，期望對(duì)大家有所啟示?。?/strong>
（宿遷老鄉(xiāng)題，倍感親切?。。。?/strong>
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反思：“見(jiàn)直角，造一線三直角”，這是垂直處理的常見(jiàn)策略.本題中，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)引起了點(diǎn)Q′的運(yùn)動(dòng)，從而引發(fā)線段OQ′長(zhǎng)度的變化，在這個(gè)變化過(guò)程中存在著一些函數(shù)關(guān)系.方法一主動(dòng)設(shè)出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)（t）作為自變量，將目標(biāo)線段OQ′（的平方）作為函數(shù)值（因變量），借助“一線三直角”全等基本形，巧建函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求最值.這種函數(shù)建模的方法是動(dòng)態(tài)最值類(lèi)問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解題策略.
值得一提的是，此法看似只針對(duì)圖示位置，其實(shí)對(duì)于點(diǎn)Q所在直線y＝－1/2x＋2的任意位置都同理可求，這也體現(xiàn)出類(lèi)比思想，數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一之美.
反思：同方法一，這里仍先采取“見(jiàn)直角，造一線三直角”的垂直處理策略，然后主動(dòng)設(shè)元，利用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出點(diǎn)Q′的坐標(biāo)，不同的是，方法二利用所謂解析法求得目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)Q′所在的函數(shù)解析式，再利用其圖像與x軸相交所成的銳角及交點(diǎn)，結(jié)合“斜化直”策略獲解.另外，還涉及到直線與x軸相交所成銳角α與直線解析式中一次項(xiàng)系數(shù)k之間的關(guān)系（tanα＝│k│），即高中所謂斜率的幾何意義.這種解析化思想是平面直角坐標(biāo)系中一種常見(jiàn)的解題策略.
反思：主動(dòng)點(diǎn)Q繞定點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到點(diǎn)Q′，而“點(diǎn)動(dòng)成線”，基于所謂“瓜豆原理”分析可知，點(diǎn)Q′的軌跡可由點(diǎn)Q的軌跡（即直線y＝－1/2x＋2）繞定點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而來(lái)，故其軌跡仍是一條直線.這里先尋找點(diǎn)Q的一個(gè)特殊的確定位置（即定點(diǎn)Q1），將其繞定點(diǎn)P作相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)全等基本形（即“手拉手”結(jié)構(gòu)）推得定角進(jìn)得定線，順利獲解.“瓜豆原理”是此類(lèi)主從聯(lián)動(dòng)最值問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解題策略，其應(yīng)用過(guò)程不妨巧記為“兩點(diǎn)打包，旋轉(zhuǎn)成雙；定角定線，軌跡自現(xiàn)”.
反思：此法依然借助“瓜豆原理”輕松判斷點(diǎn)Q′在直線上運(yùn)動(dòng)，然后尋找點(diǎn)Q的兩個(gè)特殊的確定位置（即定點(diǎn)Q1與定點(diǎn)Q2），將其繞定點(diǎn)P作相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)Q′的兩個(gè)確定位置，從而確定點(diǎn)Q′所在的直線解析式.
反思：此法先借助圖形變換分析主從動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，再結(jié)合逆向思維，將目標(biāo)線段（即OQ′） 反向旋轉(zhuǎn)，從而實(shí)現(xiàn)最值轉(zhuǎn)化（即OQ′的最值轉(zhuǎn)化為O′Q的最值），變?yōu)槌Ｒ?guī)的“點(diǎn)線最值”問(wèn)題，最后利用“斜化直”策略獲解，這是解決主從聯(lián)動(dòng)最值問(wèn)題的又一“殺手锏”，其最大優(yōu)勢(shì)在于無(wú)需尋找目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)（即點(diǎn)Q′）的運(yùn)動(dòng)軌跡，大大簡(jiǎn)化了思維量與計(jì)算量，不妨稱(chēng)為“反向瓜豆”.
五種解法相較而言，方法一與方法五最為簡(jiǎn)便，其最大優(yōu)勢(shì)都在于無(wú)需確定點(diǎn)Q′的運(yùn)動(dòng)軌跡，前者以算代證，思維量最少，后者反向旋轉(zhuǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的“點(diǎn)線距離”最值問(wèn)題；方法二涉及的解析思想是平面直角坐標(biāo)系中最通用的解題思想方法；方法三與方法四是基于圖形變換下的主從聯(lián)動(dòng)分析策略，即所謂“瓜豆原理”，它是一類(lèi)最值問(wèn)題的通用解法.“一題多解，一題多思，一題多變，一題多聯(lián)”，這樣的解題方式是提高解題技能的有效方法.
反思：此法的優(yōu)勢(shì)仍在于無(wú)需確定點(diǎn)Q′的運(yùn)動(dòng)軌跡，一次簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)，再加一個(gè)“手拉手”全等結(jié)構(gòu)的識(shí)別，將問(wèn)題輕松轉(zhuǎn)化為常規(guī)的“將軍飲馬”模型.這種反向旋轉(zhuǎn)策略是此類(lèi)最值問(wèn)題最簡(jiǎn)捷的通法，值得認(rèn)真琢磨.
反思：同原來(lái)的問(wèn)題，這里雖看似只針對(duì)圖示位置進(jìn)行求解，但其實(shí)對(duì)于點(diǎn)Q所在直線y＝－1/2x＋2的任意位置都同理可求，體現(xiàn)了方法與結(jié)論的統(tǒng)一性.該變式涉及到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)引起的面積最值問(wèn)題，上述確定點(diǎn)Q′的運(yùn)動(dòng)軌跡方法不再適用，必須回歸最基本的函數(shù)建模法，由此看來(lái)，函數(shù)建模才是最通用的解法，無(wú)論對(duì)于線段最值問(wèn)題，還是對(duì)于面積最值問(wèn)題都是普適的，這也是函數(shù)思想之所以是最重要的數(shù)學(xué)思想方法的原因之一.
一題多聯(lián)，運(yùn)用關(guān)聯(lián)的視角看問(wèn)題，發(fā)揮聯(lián)想的機(jī)制來(lái)解題，變式2與2019年無(wú)錫中考填空壓軸題如出一轍，請(qǐng)看下面兩道類(lèi)題：
反思：以上兩道類(lèi)題仍是垂直處理與函數(shù)建模結(jié)合的典例，需要巧妙地構(gòu)造“一線三直角”全等三角形，主動(dòng)設(shè)元，建立二次函數(shù)求最值.事實(shí)上，這種函數(shù)建模的意識(shí)在中考?jí)狠S題中的應(yīng)用極其廣泛，有時(shí)候還比較隱蔽，需要考生具體較強(qiáng)的分析能力以及一定的主動(dòng)設(shè)元能力，譬如2020年江蘇揚(yáng)州中考最后兩道壓軸題等（限于篇幅，不再呈現(xiàn)）.
平時(shí)解題中，唯有發(fā)揮這種題組功能或問(wèn)題串效應(yīng)，方能大大提高解題技能，提升思維品質(zhì)，在中考戰(zhàn)場(chǎng)上立于不敗之地.
反思：這里先由“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓”來(lái)判斷目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓弧，進(jìn)一步判斷出目標(biāo)線段PQ所掃過(guò)的圖形，最后結(jié)合扇形的面積公式獲解.
一個(gè)題目的解決絕非是研究的終點(diǎn)，而應(yīng)該恰恰是研究的起點(diǎn).若就題論題，本題已然獲解，但若充分聯(lián)想，本題的價(jià)值必定會(huì)更大化，且看以下變式：
反思：此類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題，讓目標(biāo)動(dòng)點(diǎn)（如點(diǎn)P或點(diǎn)Q）位于某些特殊的位置上（如角平分線、共線等），便可編出系列定值問(wèn)題.這里限制一個(gè)共線位置（即P、Q、C共線），巧識(shí)“角平分線（折疊）＋平行（矩形）→等腰”結(jié)構(gòu)，結(jié)合勾股定理輕松獲解.
“小題怡情”，這樣小巧的變式及編題訓(xùn)練可以大大提升學(xué)生的思維活性，一定程度上提升學(xué)生解題甚至編題技能.
反思：此類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題很容易與存在性問(wèn)題關(guān)聯(lián)（如等腰三角形、直角三角形、平行四邊形存在性），其解題要領(lǐng)是運(yùn)用軌跡思想，判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，結(jié)合分類(lèi)討論思想，畫(huà)出符合題意的各類(lèi)圖形，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.事實(shí)上，當(dāng)畫(huà)出符合題意的各種情形圖時(shí)，動(dòng)態(tài)問(wèn)題也就變成了如同變式1的定值問(wèn)題.
再看下面的等腰問(wèn)題：
反思：此“兩定一動(dòng)”型等腰三角形存在性問(wèn)題可借助所謂“兩圓一線”法，借助“軌跡定位”精準(zhǔn)畫(huà)圖，作出符合題意的情形圖，然后導(dǎo)邊導(dǎo)角進(jìn)行求解.該變式因數(shù)據(jù)的特殊性，導(dǎo)致符合題意的等腰三角形只有兩種，且其中一種恰為等邊三角形.解題中往往需要抓住這樣的“特殊性”，“特事特辦”.
反思：“動(dòng)中有靜，變化中有不變量；動(dòng)中有變，變化中自然有最值”，此類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題經(jīng)常與最值掛鉤，可改編成各種最值問(wèn)題.該變式通過(guò)面積與線段的轉(zhuǎn)化，衍變?yōu)槌Ｒ?guī)的“線圓距離”問(wèn)題.再看下面的最值變式：
反思：該變式的解題關(guān)鍵仍是軌跡思想，即通過(guò)判斷點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)確定相切之最值狀態(tài).這種軌跡意識(shí)是解決最值問(wèn)題的一大通法，可巧記為“眼中有動(dòng)點(diǎn)，心中找路徑”.
一題多變，一題多思，這樣的解題、思題方式是提升解題能力的重要途徑，值得深思并逐步形成這樣的解題習(xí)慣，成績(jī)的提高必水到渠成.
反思：本題設(shè)問(wèn)層層遞進(jìn)，步步為營(yíng)，充分展示了命題的藝術(shù)，解題人理應(yīng)沿著命題人的思路拾級(jí)而下，方能類(lèi)比探究出相應(yīng)的解題思路.從識(shí)別“一線三直角”到構(gòu)造“一線三直角”，再到構(gòu)造“一線三等角”（含“一線三鈍角”及“一線三銳角”），這種由“識(shí)別”到“構(gòu)造”基本圖形是實(shí)現(xiàn)幾何思維能力質(zhì)的飛躍之關(guān)鍵.作為學(xué)生要有自我培養(yǎng)從“識(shí)別”基本圖形到“構(gòu)造”基本圖形的基本意識(shí)，這樣的學(xué)習(xí)方式必然也會(huì)事半功倍.
思維無(wú)極限！這道宿遷中考?jí)狠S題的價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是僅僅得到參考答案，在其基礎(chǔ)上，若能充分聯(lián)想，有機(jī)變式，還會(huì)有更加寬廣的思維空間！
在未學(xué)相似知識(shí)之前（八年級(jí)），本題還可作如下全等改編：
反思：相似與全等是一般化與特殊化的經(jīng)典案例，該全等變式體現(xiàn)了其與相似的共通屬性，這種類(lèi)比探究是問(wèn)題解決的一種重要方式.全等適合于八年級(jí)（蘇科版）學(xué)生，相似適合于九年級(jí)（蘇科版）學(xué)生，從全等到相似，從相似到全等，也是一種所謂“長(zhǎng)周期”學(xué)習(xí)的體現(xiàn).對(duì)于同一個(gè)或同一類(lèi)圖形結(jié)構(gòu)，不同學(xué)習(xí)階段的學(xué)生理應(yīng)有不同層次的認(rèn)知能力，這本身也是學(xué)習(xí)的價(jià)值之所在.
事實(shí)上，本題涉及的模型可謂“來(lái)頭巨大”，聯(lián)系頗廣，這得從經(jīng)典的“婆羅摩笈多定理”（又稱(chēng)“布拉美古塔定理”或“卜拉美古塔定理”，可百度搜索之）說(shuō)起：
反思：可以看出，所謂“婆羅摩笈多定理及其推論”，僅僅是圓與直角三角形中兩個(gè)基本模型的應(yīng)用，即直角三角形中斜邊上的中線及高線模型.但該結(jié)論涉及的垂直到平分（或平分到垂直）極其有趣，這與宿遷倒二中考?jí)狠S題的結(jié)論有異曲同工之妙.
再回到宿遷這道中考題涉及的模型中來(lái)，先談熟為人知的“手拉手模型”：
反思：以上兩圖是典型的“手拉手”結(jié)構(gòu)，必存在“SAS”全等基本形，結(jié)合“8字形”導(dǎo)角，可說(shuō)明對(duì)應(yīng)線段BD與CE垂直且相等，最后借助角平分線的判定定理，通過(guò)作“雙垂線”，利用全等法或面積法證得角平分線AF.
“站得高，方能望得遠(yuǎn)”，從圖形變換的視角來(lái)看，點(diǎn)B由點(diǎn)C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)D由點(diǎn)E繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，故線段BD也必由對(duì)應(yīng)線段CE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，從而B(niǎo)D與CE必垂直且相等.另外，對(duì)角平分線AF的證明，從全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等來(lái)看，AG與AH必相等.這樣的話，以上結(jié)論均被秒殺.
反思：從“共頂點(diǎn)雙等腰直角三角形”到“共頂點(diǎn)雙等邊三角形”，圖形結(jié)構(gòu)本質(zhì)相同，結(jié)論相近，方法相仿，類(lèi)比探究味濃.從“不重疊”到“重疊型”結(jié)構(gòu)，再次體現(xiàn)圖形變化但結(jié)論、方法統(tǒng)一不變之思想.
反思：一般化與特殊化是研究問(wèn)題的一般路徑，由特殊到一般，往往能揭示問(wèn)題本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律；由一般到特殊，往往能突出特性，發(fā)現(xiàn)一些特殊規(guī)律或特殊解法.以上從等腰直角三角形到等邊三角形，再到更一般的等腰三角形，是全等一般化的研究路徑.若繼續(xù)繼續(xù)一般化，該模型還可以過(guò)渡到相似之路.
反思：從全等到相似是圖形結(jié)構(gòu)認(rèn)知能力的一種提升，從對(duì)應(yīng)邊相等到對(duì)應(yīng)邊成比例是轉(zhuǎn)化思想的進(jìn)一步體現(xiàn).這里還借助四點(diǎn)共圓進(jìn)行導(dǎo)角，使得證明過(guò)程更加簡(jiǎn)捷，且共圓法對(duì)于上述的全等結(jié)構(gòu)依然適用，也是此類(lèi)問(wèn)題處理的一種通法.當(dāng)然，共圓法在初中階段略有超綱之嫌，可借助“對(duì)頂相似必成對(duì)”來(lái)避開(kāi).
反思：這是更一般意義上的“手拉手”相似結(jié)構(gòu)，△ADE可看作由△ABC繞點(diǎn)A先旋轉(zhuǎn)后位似（放縮）而來(lái)，與此同時(shí)，△ACE可看作由△ABD繞點(diǎn)A先旋轉(zhuǎn)后位似（放縮）而來(lái)，可簡(jiǎn)記為“旋轉(zhuǎn)相似必成對(duì)”.進(jìn)一步地，AF也由角平分線變?yōu)榱烁话阋饬x下的定角分線.并且，前述的四點(diǎn)共圓（或“對(duì)頂相似必成對(duì)”）結(jié)構(gòu)在上圖中仍存在.
以上各模型均可形象地稱(chēng)為“手拉手”結(jié)構(gòu)，下面研究“腳蹬腳”結(jié)構(gòu)：
反思：此法通過(guò)對(duì)稱(chēng)策略巧構(gòu)中位線模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ?jiàn)的“手拉手”結(jié)構(gòu)，輕松獲解，妙不可言.由此看來(lái)，圖3－33中的兩個(gè)小的等腰直角三角形（即△ABC與△ADE）可看作圖3－34中的兩個(gè)大的等腰直角三角形（即△AC′C與△AEE′）沿著斜邊上的高線“半分”而來(lái)，兩者之間有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，故可補(bǔ)形還原來(lái)解決.
反思：“見(jiàn)中點(diǎn)，思倍長(zhǎng)中線”，這是中點(diǎn)常見(jiàn)的處理策略之一，然后導(dǎo)邊導(dǎo)角，結(jié)合全等解決問(wèn)題.在導(dǎo)角的過(guò)程中用到了一個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論，即“兩邊分別互相垂直（或平行）的角相等或互補(bǔ)（∠PED＝∠BAD）”，這個(gè)小結(jié)論在一些導(dǎo)角問(wèn)題中常起意想不到之效.
倍長(zhǎng)中線后容易出現(xiàn)平行四邊形，本題還可有如下精彩結(jié)論：
該結(jié)論，同上證明△PED≌△BAD（SAS）即可，但已知兩個(gè)等腰直角三角形外加一個(gè)平行四邊形，結(jié)論又見(jiàn)一個(gè)等腰直角三角形，更顯有趣.更有趣的是，其逆命題仍然成立，具體如下：
而且，這種從“倍長(zhǎng)中線”到“平行四邊形”的結(jié)論轉(zhuǎn)化在后續(xù)系列結(jié)論中仍然適用.
反思：“見(jiàn)中點(diǎn)，取中點(diǎn)，構(gòu)中位線”，這是中點(diǎn)的又一種常見(jiàn)處理策略，然后導(dǎo)邊導(dǎo)角，結(jié)合全等解決問(wèn)題.在導(dǎo)角的過(guò)程中仍涉及上述常用結(jié)論——“兩邊分別互相垂直（或平行）的角相等或互補(bǔ)（∠BMF＝∠FND）”.
反思：“見(jiàn)一個(gè)等腰直角三角形，再造一個(gè)等腰直角三角形，構(gòu)共直角頂點(diǎn)雙等腰直角三角形”，這是旋轉(zhuǎn)全等構(gòu)造常見(jiàn)的思路，然后導(dǎo)邊導(dǎo)角證明全等，發(fā)現(xiàn)正方形BPDF是解題的關(guān)鍵.
反思：“見(jiàn)直角，造一線三直角”是垂直處理的常見(jiàn)策略之一，此法還涉及梯形的中位線模型（現(xiàn)行蘇科版教材已刪除），該結(jié)論可通過(guò)連接EG或過(guò)點(diǎn)E作CG的垂線段，轉(zhuǎn)化為三角形的中位線加以證明，然后導(dǎo)邊導(dǎo)角，順利證明等腰Rt△BDF，從而解決問(wèn)題.
從圖形結(jié)構(gòu)上理解幾何模型，不同的結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)不同的幾何構(gòu)造，這種從結(jié)構(gòu)上構(gòu)造幾何模型的認(rèn)知能大大提升解題能力.以上提供的六種證法都是基于不同的圖形結(jié)構(gòu)認(rèn)知得到的不同構(gòu)造法，這些方法是處理此類(lèi)問(wèn)題的一些通法，對(duì)于后續(xù)“重疊型”以及“一般化”等變式問(wèn)題大多適用.
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