我是中考數(shù)學當百薈，我來回答。

對初中生而言，乘法公式分兩類：平方公式和立方公式。其中常用的是平方公式，現(xiàn)行《課標》中已經(jīng)把立方公式不做要求了。平方公式包括：平方差公式和完全平方公式，立方公式包括：完全立方公式、立方和、立方差公式等。它們的推導主要有兩種方式：代數(shù)法和幾何法，兩種方式相互印證，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。代數(shù)方法，主要運用整體思想和分配律，幾何方法，主要運用圖形的等（面）積變換。

01--乘法公式

平方公式

平方差

(a-b)(a+b)=a2-b2

完全平方公式

(a-b)2=a2+b2-2ab

(a+b)2=a2+b2+2ab

立方公式

立方差

(a-b)(a2+b2+ab)=a^3-b^3

立方和

(a+b)(a2+b2-ab)=a^3+b^3

完全立方公式

(a-b)^3=a^3-3a2b+3ab2-b^3

(a+b)^3=a^3+3a2b+3ab2+b^3

02--乘法公式的推導

乘法公式是初中階段務必掌握的基礎內(nèi)容，也是重點。對初學者而言，乘法公式太多了，容易犯死記硬背的大忌。死記硬背絕對是最后的選擇，除非不能理解，學習沒有章法（可想而知，死記硬背者，在公式運用階段的那種痛苦和不堪狀）。因而學習乘法公式必須弄清楚公式的來龍去脈，掌握公式的推導，推導包括代數(shù)法和幾何法。理解了，你就會發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，理解了，你就會巧妙記憶，將公式歸類，在此基礎上，你就會發(fā)現(xiàn)原來公式并不需要那么多，4個夠了，甚至1個（分配律）足矣!

乘法公式的代數(shù)法推導，主要依據(jù)初中七年級所學的多項式乘法法則，追根溯源，初中所學的多項式的乘法法則，是小學所學乘法對加法分配律而來。乘法公式的幾何法解釋除了印證代數(shù)法推導的合理解釋外，更重要的是其中涉及的數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合。

公式的推導

1.平方差公式

(a-b)(a+b)=a2-b2

兩數(shù)差與兩數(shù)和的積等于這兩數(shù)的平方差。

代數(shù)法推導

(a-b)(a+b)

=()(a+b)

=()a+()b

=(a-b)a+(a-b)b

=a2-ab+ab-b2

=a2-b2

將第一個括號（a-b)視為一個整體，這個整體本文用（）表示，利用分配律，分配給第二個括號中的a，b。再次利用分配律，然后合并同類項，即得結(jié)果。以下公式的推導都是這種思路。

幾何解釋：如下圖1，圖2

圖1是從邊長為a的正方形中剪去一角（邊長為b的正方形），圖2由圖1變化而來：將圖1缺口處的矩形（長寬分別為a-b和b）剪下，然后放置到圖2中的位置，拼成一個長寬分別為a+b和a-b的矩形。在這個過程中，圖2和圖1中的黃色部分的面積是相等的（等積變換）。

圖2中黃色部分面積

=(a-b)(a+b)

圖1中黃色部分面積

=a2-b2

∵圖2和圖1中的黃色部分的面積是相等

∴(a-b)(a+b)=a2-b2

圖3是圖1到圖2的動畫演示

---圖3---

2.完全平方公式

(a+b)2=a2+b2+2ab

兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和與這兩數(shù)積的2倍的和。

代數(shù)法推導

(a+b)2

=(a+b)(a+b)

=()(a+b)

=()a+()b

=(a+b)a+(a+b)b

=a2+ab+b2+ab

=a2+b2+2ab

幾何解釋:如下圖4和圖5

圖4是邊長為a+b的正方形，圖2由圖1變化而來：從圖1的正方形，垂直切兩刀，將原來的正方形分成4塊：兩個正方形，兩個一樣的矩形。在這個過程中，圖4和圖5的總面積是相等的（等積變換）。

圖4中正方形的面積=(a+b)2

圖5大正方形的面積

=a2+b2+2ab

∵圖4和圖5的總面積是相等

∴(a+b)2=a2+b2+2ab

即

兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和與這兩數(shù)積的2倍的和。

特別地，

(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+(-b)2+2a(-b)=a2+b2-2ab

3.兩數(shù)和的立方公式

兩數(shù)和的立方公式，可以利用完全平方公式推導出來。

(a+b)^3

=(a+b)(a+b)2

=(a+b)(a2+b2+2ab)

=()a2+()b2+()2ab

=(a+b)a2+(a+b)b2+(a+b)2ab

=a^3+a2b+ab2+b^3+2a2b+2ab2

=a^3+3a2b+3ab2+b^3

特別地，

(a-b)^3

=[a+(-b)]^3

=a^3+3a2(-b)+3a(-b)2+(-b)^3

=a^3-3a2b+3ab2-b^3

4.立方差、立方和公式

立方差、立方和公式利用整體思想和分配律直接（仿平方差公式完成，留待感興趣者自己完成），過程略去。

立方差公式

(a-b)(a2+b2+ab)=a^3-b^3

立方和公式

(a+b)(a2+b2-ab)=a^3+b^3

03--關(guān)于乘法公式的理解

對乘法公式的理解可以分為三個層次：

1.文字含義和字母表示

2.整體思想

3.公式變形

4.公式之間的聯(lián)系

理解的不同層次，決定后續(xù)階段對乘法公式靈活運用的程度，這也反映了學習能力的不同水平。

比如，

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2

可以理解為：和與差之積=平方差

完全平方公式：

(a+b)2=a2+b2+2ab

和平方=平方和+積的2倍

(a-b)2=a2+b2-2ab

差平方=平方和-積的2倍

公式變形：

a2+b2=(a+b)2-2ab

a2+b2=(a-b)2+2ab

公式之間的聯(lián)系：

(a+b)2-(a-b)2=4ab

關(guān)于公式中a，b的含義：公式中a，b雖然表面意思是兩個“任意數(shù)”，其實它們不止是表示“任意數(shù)”，還表示“任意代數(shù)式”，這正是整體思想的體現(xiàn)，也是在后續(xù)運用最重要的一點。

比如，平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中，如果把a，b分別理解為x+y與x-y，則

a+b=2x，a-b=2y，

a2=(x+y)2，b2=(x-y)2，

因而4xy=(x+y)2-(x-y)2，

這樣，又從平方差公式中，推導出兩個完全平方公式之間的聯(lián)系：兩數(shù)和的平方比兩數(shù)差的平方多4倍的兩數(shù)之積。

又比如，如果把(a+b)2=a2+b2+2ab中的a理解為x+y，則又可以推導出三數(shù)的和平方公式

(x+y+b)2

=(x+y)2+b2+2(x+y)b

=x2+y2+2xy+b2+2xb+2yb

=x2+y2+b2+2xy+2xb+2yb

04--結(jié)語

乘法公式是初中代數(shù)中最重要的公式，它們也是后續(xù)內(nèi)容，比如代數(shù)式求值，代數(shù)式變形，分解因式，解方程，二次函數(shù)等諸多內(nèi)容的基礎?？梢院敛豢鋸埖卣f，如果乘法公式不掌握好，后面的學習將寸步難行。同時公乘法式本身含義深刻，形式靈活多變。因此，在乘法公式的推導過程中，抓住整體思想和分配律，并用圖形的等積變換加以解釋。在公式的理解中重點從四個層次加以提升，特別要強調(diào)一句的是“整體思想”，在公式的理解和運用方面是重中之重，這一點尤其重要！