隨著菲爾茲和阿貝爾獎雙料得主邁克爾·阿蒂亞爵士宣稱自己證明了黎曼猜想,黎曼的名字和他的世紀(jì)猜想再次回到公眾的討論之中。然而,黎曼,除了他的猜想,還有一些故事也是非常值得我們?nèi)チ私獾摹?/p>
黎曼,拍攝于1863年。圖片來源:sil.si
對于一個非數(shù)學(xué)專業(yè)的人而言,要問他所聽說過的偉大的數(shù)學(xué)家有哪些?我想很少會有人提到黎曼的名字。但是,如果換一種方式問他,是否聽過發(fā)明微積分的牛頓和創(chuàng)立相對論的愛因斯坦,我想大多數(shù)人應(yīng)該都會有所耳聞。
殊不知,當(dāng)今在物理、化學(xué)、經(jīng)濟學(xué)都密切相關(guān)的微積分計算和高大上的相對論,都離不開這個不怎么為人所知的偉大數(shù)學(xué)家——黎曼。
黎曼幾何
廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
如果說愛因斯坦的成功也是站在了巨人的肩膀之上,那么這個巨人可能就包括黎曼。
在一個世紀(jì)前,愛因斯坦在計算廣義相對論時,有些數(shù)學(xué)方面的難題難以解決。愛因斯坦在數(shù)學(xué)家朋友的幫助下,發(fā)現(xiàn)黎曼幾何的理論體系完美符合他的廣義相對論的問題情境,從而利用黎曼幾何學(xué)構(gòu)建了廣義相對論方程。
那么何為黎曼幾何呢?
我們最為熟悉的幾何當(dāng)然就是從中小學(xué)就開始接觸的歐式幾何,整個歐式幾何從我們?nèi)祟惖慕?jīng)驗和直覺出發(fā),建立在五大幾何公理體系之上(比如過兩點有且只有一條直線,線段可以無限延長等等)。而第五條公理,也就是平行公理,引起了眾多數(shù)學(xué)家的關(guān)注。
第五公理。圖片來源:Wikimedia Commons
高斯、羅巴切夫斯基等都認(rèn)為平行公理同其他四條公理相較而言,顯得有些奇怪,無法用其他的公理來證明對或錯。隨后,羅巴切夫斯基重新定義了一種新的平行公理代替了歐幾里得平行公理,建立了羅氏幾何(也叫雙曲幾何)。
羅氏幾何。圖片來源:Wikimedia Commons
繼羅氏幾何后,德國數(shù)學(xué)家黎曼在1854年又提出了既不是歐氏幾何也不是羅氏幾何的新的非歐幾何——黎曼幾何(也稱橢圓幾何)[1-3]。黎曼幾何中規(guī)定,在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有交點,所以在黎曼幾何學(xué)中不存在我們所熟知的平行線。并且黎曼幾何還約定直線有界但能無限延長。
看到這里,是不是發(fā)現(xiàn)黎曼幾何的一些特征已經(jīng)與廣義相對論的模型相似?[7,8]沒錯,它就是廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)??!大名鼎鼎的愛因斯坦的大名鼎鼎的廣義相對論就好像是黎曼幾何的一道應(yīng)用題。
廣義相對論。圖片來源:Wikimedia Commons
黎曼積分
微積分首次具有了嚴(yán)謹(jǐn)精確的定義
我們都熟知微積分是牛頓和萊布尼茨發(fā)明的,我們今天利用微積分計算一塊區(qū)域的面積、計算發(fā)動機的功率、計算空氣動力、計算磁場強度等等,無時無處不滲透著微積分。然而,我們所學(xué)到的微積分與牛頓和萊布尼茨在發(fā)明微積分的時期是完全不同的。
牛頓采用了流數(shù)法,萊布尼茨采用了數(shù)列階差,而且微積分的記號形式也更為簡潔,這兩種方法都可以得到正確的積分結(jié)果,但是都缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)[4,5,10]。正是黎曼在柯西等一些分析學(xué)數(shù)學(xué)大師的研究基礎(chǔ)上,建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈⒎e分理論基礎(chǔ)。
時至今日,黎曼積分仍然是科學(xué)研究中用到的最廣的一套微積分理論。直到數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一些奇異的函數(shù)難以用黎曼積分來求解,才相繼出現(xiàn)了黎曼-斯蒂爾杰斯積分和勒貝格積分[6,10]。
曲線圍繞圖形的面積。圖片來源:Wikimedia Commons
哥廷根大學(xué)
黎曼的母校,近代歐洲數(shù)學(xué)的搖籃
哥廷根是一個只有十幾萬人口的德國小鎮(zhèn)。而哥廷根大學(xué),一個小眾的學(xué)校名字,相較于牛津、劍橋、哈佛、耶魯來說,可能幾乎沒有什么人聽說過,就像沒有多少人聽說過黎曼的名字一樣。但是,歷史無法掩蓋它昔日耀眼奪目的光芒。那是一個風(fēng)云際會、百花齊放的哥廷根時代。[9]
它的輝煌始于數(shù)學(xué)奇才高斯,在此之后,黎曼、狄利克雷、雅可比和菲利克斯·克萊因相繼涌現(xiàn),眾星云集,在數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域,包括代數(shù)、幾何和分析領(lǐng)域做出了巨大的貢獻。一直到大衛(wèi)·希爾伯特,德國哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派進入了全盛時期。
除此之外,哥廷根大學(xué)在物理學(xué)領(lǐng)域也毫不遜色,著名的物理學(xué)家包括普朗克、赫茲、海德堡、費米、泡利和奧本海默等等。據(jù)統(tǒng)計,前后共有46名諾貝爾獎得主,或在此讀書或教學(xué)??峙率澜缟虾茈y再找到一個城市,能有如此偉大的學(xué)術(shù)榮耀。
數(shù)學(xué)猜想
那些被證實和沒有被證實的
數(shù)學(xué)猜想
數(shù)學(xué)家常常以猜想的形式提出問題,這些猜想可能對人類科技的發(fā)展沒有直接的影響,但是在證實猜想的過程中,所迸發(fā)出的新方法和新思路卻給數(shù)學(xué)的科學(xué)帶了重要的作用。也許,這也算是數(shù)學(xué)猜想神秘而迷人的一個方面吧。
最有名的數(shù)學(xué)猜想恐怕非哥巴赫猜想莫屬了,除此之外還有四色猜想和費馬猜想。其中費馬猜想于1994年由英國數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯完成證明,因此不再稱為猜想,而稱為費馬大定理。四色猜想由美國數(shù)學(xué)家阿佩爾和哈肯借助計算機完成,從而被稱為四色定理。哥德巴赫猜想至今還沒有完成證明,目前最好的結(jié)果還是我國數(shù)學(xué)家陳景潤取得的。
除了這三個之外,最著名的要數(shù)德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特的世紀(jì)之問了。他在19世紀(jì)和20世紀(jì)之交的1900年世界數(shù)學(xué)家大會上提出了23個數(shù)學(xué)問題,這被譽為當(dāng)時數(shù)學(xué)的頂峰。黎曼猜想便是其中之一,時至今日,絕大多數(shù)已經(jīng)經(jīng)過無數(shù)數(shù)學(xué)家前赴后繼的研究得以證實。
每個攻克這些數(shù)學(xué)難題的人都被看作是學(xué)術(shù)造詣的巔峰,載入史冊。那些沒有被證明的猜想,依然像珠穆朗瑪峰一樣矗立在遠(yuǎn)方,激勵著無數(shù)的勇敢者去攀登去征服。
也許,數(shù)學(xué)家確實不像其他領(lǐng)域的大師和那樣能夠吸引更多的眼球和聚光燈,但是不可否認(rèn),數(shù)學(xué)家依然是人類智慧星空上閃亮的星,他們發(fā)出的光芒雖然從來不是最耀眼的,但是往往每次都指引著人類科學(xué)前進的方向。
作者名片
排版:小爽
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