世界上沒有任何靠得住的權(quán)威，靠得住的只有自己的獨(dú)立判斷。
——安·蘭德
紐約棉花交易所保留了全美超過一個(gè)世紀(jì)的每日價(jià)格記錄，但它長久以來都是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家的噩夢(mèng)所在——無論他們?cè)趺磾[弄這些數(shù)字，都無法符合巴舍利耶的模型—價(jià)格的漲跌幅度太大。
巴舍利耶模型是什么鬼？
事后看來，這個(gè)故事的答案不光改變了金融市場(chǎng)的玩法，也深刻地改變了有關(guān)人生規(guī)劃的一整套算法。
早年，法國數(shù)學(xué)家路易·巴舍利耶（Louis Bachelier）在其博士論文《猜測(cè)理論》（the Theory of Speculation）曾論述了”隨機(jī)漫步”的概念。基于這個(gè)基本概念，具有高斯正態(tài)分布的價(jià)格變化與溫和隨機(jī)性的有效市場(chǎng)假設(shè)被提出。
有效市場(chǎng)一直被視為現(xiàn)代數(shù)理金融理論的基石。在所謂“投資組合”的領(lǐng)域里，商學(xué)院里全在學(xué)高斯分布——但諷刺的是，所有基于高斯分布的模型都敗下陣來。
棉花價(jià)格的問題，一直困擾著人類不得其解——這個(gè)問題得不到解決，似乎就意味著經(jīng)濟(jì)學(xué)還是一門比較落后的科學(xué)。人們不斷求索，直到千禧年的到來，似乎才找到了解題的密碼——而這，就是極端斯坦和平均斯坦之間不平凡的故事。
1
極端斯坦？平均斯坦？
平均斯坦和極端斯坦是塔勒布在《黑天鵝》當(dāng)中提出的概念：
先是平均斯坦，隨機(jī)選擇兩個(gè)人并假設(shè)兩人身高之和為4.1米，根據(jù)高斯分布（更確切地說是高斯單尾分布的特例），兩人的高度最有可能的組合是2.05米和2.05米——而不太可能是10厘米和4米。
再把目光轉(zhuǎn)向極端斯坦，隨機(jī)挑選兩個(gè)人，他們的財(cái)富總和為3600萬元——可以想象，兩個(gè)人最有可能的財(cái)富分配不是平均的每人1800萬元，而很可能是35999000元和1000元。
兩張可視化圖上，突出顯示了平均斯坦和極端斯坦之間的區(qū)別。
同樣是兩個(gè)世界里的兩個(gè)樣本，他們之間有什么不同么？
似乎，方差——是個(gè)不錯(cuò)的選擇，來衡量這種差異：在平均斯坦中，方差很小，而在極端斯坦中，方差很大。
在物理學(xué)領(lǐng)域，比如平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)的封閉物理世界里，方差往往和物體的溫度有關(guān)——這代表了實(shí)際的物理意義——這種物理映射意味著，在平均斯坦的世界里，人們的身高再極端——也不會(huì)逾越存在標(biāo)度率的物理法則。
按照牛頓冷卻定律，體表散失的熱量與皮膚表面積成正比，發(fā)熱量與體積成正比，因此小人們要攝入比我們大10倍的熱量的食物。小人們還有閱讀的煩惱——光的波長是固定的，眼睛最小分辨角的理論極限被瞳孔直徑限制死了，如果小人的明視距和我們一樣大，但書本卻小了10倍，這意味著他們的書上每行只能印三個(gè)字。因此，小人國世界不會(huì)成為現(xiàn)實(shí)。
巨人國的人也不輕松——他們的運(yùn)動(dòng)速度和加速度正比于身高，從而動(dòng)態(tài)負(fù)荷大于我們10倍，患有骨折（單位面積上承擔(dān)的動(dòng)態(tài)負(fù)荷）的風(fēng)險(xiǎn)是我們的100倍。同時(shí)，他們從高處跳下，重力（跟體積成正比）對(duì)他們的威脅由于空氣阻力（跟面積成正比）的影響，也比我們大10倍。
幾何相似的東西在物理上常常是不相似的，在身高的分布這件事情上，經(jīng)典物理學(xué)原理似乎只歡迎平均斯坦。
在極端斯坦的世界里，玩法卻變了——方差可能是無限的：
20%的人掌握了80%的財(cái)富，20%的人擁有80%的土地，對(duì)于方差無限的帕累托分布來說，可能有98%的觀測(cè)值都低于平均值。
這意味著，極端斯坦是一種開放性的系統(tǒng)，存在高度復(fù)雜的隨機(jī)行為。傳統(tǒng)的正態(tài)分布并不能合理地解釋極端斯坦世界里看似隨機(jī)的事件——復(fù)雜的全球金融市場(chǎng)動(dòng)蕩，全球氣候擾動(dòng)變化，城市人口分布，社會(huì)財(cái)富分配，都盡數(shù)落在這一范疇當(dāng)中。
于是，新的問題來了：如何理解并描繪這個(gè)方差為無限的系統(tǒng)呢？
于是，塔勒布出手并描繪了這樣一張雄心勃勃的表格——這個(gè)表格充滿了達(dá)芬奇，特斯拉甚至馮·諾伊曼身上才能看到的那份才情。在我看來，其現(xiàn)實(shí)意義絲毫不遜于羅杰·彭羅斯的那本奇書——《通向?qū)嵲谥贰?，可以看作是人類文明毀滅后，重建人類科技樹的圣?jīng)了。
不過，解釋這張圖表是一項(xiàng)超出大部分人認(rèn)知的艱巨任務(wù)，不如放到下一節(jié)單獨(dú)討論——在這里，我們更關(guān)心的是結(jié)論：
這張圖告訴我們：平均斯坦（黃色區(qū)域）和極端斯坦（白色區(qū)域），他們是兩個(gè)幾乎從不重疊的獨(dú)立領(lǐng)域。
在平均斯坦的世界里，要想讓不好的事情發(fā)生，它必須來自一系列不太可能發(fā)生的事件，而不是一個(gè)單一的事件；而在極端斯坦的世界里，毀滅更可能來自一個(gè)極端事件，而不是一系列糟糕的事件。
對(duì)于保險(xiǎn)行業(yè)來說，損失更希望來自多個(gè)不那么極端的事件，而不是單個(gè)的極端事件，也就是說，保險(xiǎn)業(yè)只能在平均斯坦的世界里發(fā)揮作用——如果有災(zāi)難的風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司永遠(yuǎn)都不會(huì)起草一份無上限的保險(xiǎn)合同。
在極端斯坦里，遠(yuǎn)離分布中心的極端事件起著非常大的作用——這就是那個(gè)耳熟能詳?shù)碾[喻——黑天鵝。（黑天鵝通常被誤解的一點(diǎn)在于，他并不“更頻繁”地出現(xiàn)——黑天鵝只是更重要。）
在平均斯坦中，當(dāng)考慮中的樣本變大時(shí)，沒有一個(gè)新的觀察樣本可以真正地改變統(tǒng)計(jì)結(jié)果。在極端斯坦中，由于黑天鵝的存在，尾巴（罕見的事件）對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果發(fā)揮了不成比例的作用。
繼續(xù)推演，我們可以再加入一點(diǎn)代數(shù)和統(tǒng)計(jì)的表達(dá)：
假設(shè)存在一個(gè)大的偏差X。
在平均斯坦中，連續(xù)兩次抽樣高于X的概率大于一次抽樣高于2X的概率。
在極端斯坦中，一次抽樣大于2X的概率大于連續(xù)兩次抽樣大于X的概率。
對(duì)于平均斯坦來說，K越大，偏離尾部的位置越多，就意味著事件越有可能來自于偏差K的兩次獨(dú)立實(shí)現(xiàn)，而不是來自偏差為2K的單個(gè)事件——而極端斯坦正相反。
如果再加入一些數(shù)字，我們甚至能夠作出更進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)判斷了：
假定超過3個(gè)sigma的概率是0.00135，兩個(gè)3-sigma事件發(fā)生的概率為1.8 * 10^-6。假定超過6個(gè)sigma（2X 3sigma）的概率是9.86 * 10^-10。
那么，兩個(gè)3西格瑪事件發(fā)生的概率比一個(gè)6西格瑪事件發(fā)生的概率要高得多——這意味著，這個(gè)實(shí)例更可能來自平均斯坦的世界——而不是極端斯坦。
到此打住吧，以上的一系列理論都可以說是相當(dāng)學(xué)術(shù)的，該適可而止了——否則這篇文章就會(huì)變成徹底的數(shù)字災(zāi)難。來看一個(gè)活生生的例子：
新冠流感在2019年大流行之前是未知的。在其大范圍爆發(fā)之前，對(duì)于可能發(fā)生的死亡人數(shù)是很難預(yù)測(cè)的——只能查看過去流行病歷史數(shù)據(jù)來估計(jì)可能發(fā)生的死亡：
黑死?。涸斐?0-60％的歐洲人口喪生。
西班牙流感：占世界人口的3–5％。
1968年流感：估計(jì)有100萬人死亡。
當(dāng)然，新病毒并不少見，卻并不總是導(dǎo)致如此驚人的死亡人數(shù)。核心問題是，這些疾病，包括新冠病毒，導(dǎo)致的死亡人數(shù)變化很大——按照我們的判斷標(biāo)準(zhǔn)，他們必定來自極端斯坦的世界。事實(shí)是，這些流行病的確在相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)讓死亡的人數(shù)增加了幾個(gè)數(shù)量級(jí)。
如果你再考慮由心臟病造成的死亡：2020年的死亡人數(shù)會(huì)是2019年的兩倍嗎？
顯然，這是不可能的。實(shí)際上，心臟病死亡人數(shù)一直呈稀疏分布——它來自平均斯坦。
而埃博拉病毒，拿來與其它病毒放在一起來比較——?jiǎng)t是《經(jīng)濟(jì)學(xué)人》犯下的一個(gè)低級(jí)錯(cuò)誤。專家們引用所謂的“經(jīng)驗(yàn)”數(shù)據(jù)告訴我們：當(dāng)2016年只有兩名美國人死于埃博拉時(shí)，我們過分擔(dān)心埃博拉是多余的——可《經(jīng)濟(jì)學(xué)人》是否想過，如果我們?cè)趫?bào)紙上看到有10億人突然死亡，那么他們死于埃博拉的可能性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于吸煙、糖尿病或車禍的可能性？
這里的教訓(xùn)是，當(dāng)不同現(xiàn)象背后的機(jī)制相差很大時(shí)，就不宜在來自兩個(gè)世界的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（平均斯坦和極端斯坦）之間進(jìn)行比較，這樣做不是好的統(tǒng)計(jì)學(xué)實(shí)踐——但可悲的是，在大數(shù)據(jù)時(shí)代，這種情況發(fā)生的越來越多。
對(duì)比美國死亡原因以及Google搜索記錄，和媒體報(bào)道，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，癌癥、心臟病和老年癡呆癥這些平均斯坦主義的老年病，并沒有得到年輕人和中年人的重視。而相反，極端斯坦主義世界里的自殺，謀殺，恐怖主義的影響力卻被急劇放大了。
比爾·蓋茨曾說：”恐懼扭曲了我們對(duì)事實(shí)的洞察“。
但他的結(jié)論卻是錯(cuò)的，真相恰恰相反——正是因?yàn)榭植乐髁x所引起的過分關(guān)注，從而使其發(fā)生的概率處于低位。只有放松警惕，才可能讓恐怖主義從極端斯坦落入平均斯坦，使其失控。這同樣適用于兇殺案：恐懼導(dǎo)致安全。
就像在新冠疫情到來后，即便不需要政府強(qiáng)力干預(yù)，死亡也能夠讓大家認(rèn)清群體免疫的后果并開始主動(dòng)自我隔離一樣——恐懼是積極的。
如果這張圖能說明什么的話——它恰好證明了相比無知專家的理論（媒體報(bào)道或者比爾蓋茨的經(jīng)驗(yàn)主義解釋），普通人的理性（Google搜索記錄）是一個(gè)更好的極端斯坦風(fēng)險(xiǎn)檢測(cè)器。
2
塔勒布的地圖
在塔勒布的圖表上，左下角是最保守的一類退化分布（Degenerate）——這種分布如同白開水一樣平淡，只有一種可能的結(jié)果：沒有任何隨機(jī)性。
在它上面緊挨著的，是伯努利分布（Bernoulli）——它只非此即彼兩個(gè)可能的結(jié)果，而不存在更多選擇。
再上面是兩個(gè)高斯分布——支持正負(fù)無窮大的自然高斯和通過增加隨機(jī)游走得到的高斯——它們是完全不同的物種，因?yàn)橐粋€(gè)可以傳遞無窮大，而另一個(gè)不能（除非漸近）。
高斯正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)的貴賓，經(jīng)典的中心極限定理特別指出，在一般條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和是近似正態(tài)分布的。
中心極限定理，被認(rèn)為是(非正式地)概率論中的首席定理，它支撐著和置信區(qū)間相關(guān)的T檢驗(yàn)和假設(shè)檢驗(yàn)的計(jì)算公式和相關(guān)理論——如果沒有這個(gè)定理，之后的推導(dǎo)公式都是不成立的。
然后，在高斯分布之上的是次指數(shù)類的分布，這些分布不是我們后面要提及的冪律類分布的成員。值得注意的是，次指數(shù)分布當(dāng)中有一個(gè)異類——對(duì)數(shù)正態(tài)分布。在低方差時(shí)，它是細(xì)尾的；在高方差時(shí)，它的行為類似于非常厚的尾。
次指數(shù)類中的成員不滿足所謂的Cramer條件——Cramer條件意味著隨機(jī)變量的指數(shù)期望是存在的。
以上諸多領(lǐng)域，均被統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)核心定律所掌控——這就是大數(shù)定律LLN。
大數(shù)定律是指：在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律。通俗地說，這個(gè)定理就是，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。偶然中包含著某種必然。
現(xiàn)代概率論奠基人柯爾莫戈羅夫說對(duì)大數(shù)定律的闡述是：
比如拋擲硬幣，是一個(gè)隨機(jī)過程，只要硬幣重心是均衡的，按照大數(shù)定律，正反面出現(xiàn)的平均數(shù)應(yīng)該是相等的，都被賦予了50%的概率。大量隨機(jī)事件的組合會(huì)帶來規(guī)律性。
再向外圍拓展，大數(shù)定理LLN將日漸式微，而中心極限定理CLT將開始發(fā)揮更大的作用——我們開始遇到收斂的問題——這就是所謂的冪律分布出場(chǎng)的最佳時(shí)機(jī)——至此，我們離開了平均斯坦的國界，進(jìn)入極端斯坦的領(lǐng)地。
值得注意的是，大數(shù)定律在極端斯坦(比如帕累托80-20分布)中工作，相比平均斯坦（比如高斯分布）而言，要低效得多，也就是說，頻率接近概率的時(shí)間被拉長。
雖然平均斯坦國里的大數(shù)定理讓頻率始終趨近于概率，但在極端斯坦國里——這并非永恒真理。不幸的是，金融學(xué)里幾乎所有的技術(shù)分析依賴的基礎(chǔ)，都是基于頻率趨近于概率的假設(shè)。金融學(xué)里的工具設(shè)計(jì)得太美輪美奐了，技術(shù)體系如此地復(fù)雜，讓幾乎所有人都忘卻了這個(gè)基礎(chǔ)假設(shè)，沒有人能夠在腦子里直觀地理解這個(gè)極端斯坦國里根本性的邏輯謬誤——過去的頻率不代表未來的概率。
頻率只是觀察到的歷史，概率是我們想要建立的模型。從頻率到概率是從特殊到一般的轉(zhuǎn)變，就是歸納法的思維。
由于極端斯坦里大數(shù)定律收斂的緩慢性，過去的過去與過去的未來并不相似。同樣，今天的過去與今天的未來也不相似。
蘇格拉底是人
蘇格拉底會(huì)死
凡人皆有一死
古希臘的亞里士多德在的《前分析篇》（Prior Analytics）首次記載了這個(gè)三段論的形式，來解釋歸納推理。這個(gè)推理當(dāng)中隱含了平均斯坦世界里一條重要的事實(shí)——連續(xù)性假設(shè)。
西方在感恩節(jié)吃火雞，感恩節(jié)前的每一天早上九點(diǎn)鐘喂火雞，火雞感到很幸福，因?yàn)橛腥嗽敢庖恢别B(yǎng)它，直到感恩節(jié)的那一天，所有的歷史經(jīng)驗(yàn)都化為烏有，它被宰了，跟所有的歷史經(jīng)驗(yàn)都不一樣。
太陽每天都從東方升起，水總是向低處流淌，連續(xù)性假設(shè)意味著一切規(guī)律都能穩(wěn)定和永久地運(yùn)行，不會(huì)有小概率的意外事件發(fā)生打破這個(gè)規(guī)則——這就是歸納法運(yùn)作的前提。
而一旦有人將歸納法思維引入極端斯坦的世界，災(zāi)難就必定會(huì)降臨。在心理學(xué)領(lǐng)域，心理學(xué)家言必稱的“風(fēng)險(xiǎn)校準(zhǔn)”和“概率校準(zhǔn)”，往往會(huì)陷入這個(gè)誤區(qū)。
當(dāng)然，兩個(gè)斯坦的交鋒，不會(huì)是一帆風(fēng)順的——另一個(gè)區(qū)別在于，當(dāng)觀測(cè)值n增加時(shí)，中心區(qū)的分布也也不盡相同：極端斯坦不會(huì)像平均斯坦那樣容易被壓縮——在極端斯坦里，你需要一個(gè)大的多的樣本，才能更快地壓低中心區(qū)的峰值。
繼續(xù)拓展，就來到了尾指數(shù)（尾指數(shù)越低，尾部的分布就越胖）a小于等于3的超三次分布。在這里，大數(shù)定律和中心極限定理在理論上都適用，他們暫時(shí)達(dá)成了戰(zhàn)時(shí)平衡。
在極端斯坦的領(lǐng)地上，有這樣一種直覺：比如在帕累托分布下，假設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量。對(duì)于足夠大的X，超過2X的概率除以超過X的概率與超過4X的概率除以超過2X的概率沒有區(qū)別，以此類推。此屬性稱為“可擴(kuò)展性” Scalability。
1600萬元和800萬元的人口比例，與200萬元和100萬元的人口比例相同。這個(gè)恒定的不平等在任何尺度下都存在——雖然這個(gè)分布通常沒有均值和標(biāo)準(zhǔn)差，但通過Scalability來描述，卻很容易被理解。這是極端斯塔的顯著特點(diǎn)。
金融市場(chǎng)，是極端斯坦的游樂場(chǎng)。在這里，急劇的價(jià)格改變被詩意的芒德布羅稱作“諾亞效應(yīng)”，因?yàn)閮r(jià)格的急劇改變類似于《圣經(jīng)》中諾亞的故事所描述的洪水。諾亞存活下來為將來臨的洪水做準(zhǔn)備，神的忠告使他建造一艘足夠堅(jiān)固的船。洪水來了又走，如同市場(chǎng)崩盤。
劇烈的波動(dòng)還有另外一種形態(tài)，也是《圣經(jīng)》里談到的：法老夢(mèng)到七只肥牛在地上吃草，而七只瘦牛浮出尼羅河并吃掉了那七只肥牛。
約瑟認(rèn)為法老的夢(mèng)是一種預(yù)言，七個(gè)荒年接在七個(gè)豐年之后，這類似于金融市場(chǎng)上升周期之后緊接著下降周期。這被稱為“約瑟效應(yīng)”。暗示了市場(chǎng)波動(dòng)在某種程度上互相依存（市場(chǎng)具有長期記憶），這種長期依賴性偏離了布朗運(yùn)動(dòng)的“隨機(jī)漫步”預(yù)測(cè)——因?yàn)樵谝粋€(gè)方向上的漂移將持續(xù)一段時(shí)間。
于是，分形幾何之父芒德布羅主張，交易時(shí)間的混合行為模式可以由多重分形來構(gòu)建。
分形是一個(gè)模式，模式的部分反映出整體，只是按比例縮小而已。模式的某些部分快速萎縮，其它部分則緩慢萎縮，多重分形擁有包含尾部的分布，這個(gè)分布遵循冪律分布。更重要的是，它同時(shí)蘊(yùn)含了諾亞效應(yīng)（急劇地不連續(xù)變化）和約瑟效應(yīng)（長期趨勢(shì)）。
這個(gè)工具已經(jīng)成功地模擬了實(shí)際數(shù)據(jù)。針對(duì)特定貨幣市場(chǎng)出現(xiàn)的價(jià)格變動(dòng)，正如模型所預(yù)測(cè)的，波動(dòng)性聚集成串，聚集中的聚集現(xiàn)實(shí)了多重分形模式。價(jià)格變動(dòng)的劇烈，交易時(shí)間過得更快，價(jià)格圖形更加遲緩時(shí)，市場(chǎng)交易時(shí)間也過得更慢。
再然后，是尾指數(shù)a＜2的分布，被稱之為萊維穩(wěn)定非高斯分布——在這里，紐約棉花交易所的價(jià)格和統(tǒng)計(jì)學(xué)宣告和解——這一切都伊始于1963年，芒德布羅德的論文《特定投機(jī)性價(jià)格的變動(dòng)》，強(qiáng)調(diào)了冪律分布的重要性。
人類在這里已經(jīng)開始迷茫——因?yàn)榉讲畹母拍钜呀?jīng)開始消退。對(duì)于1＜a＜2的萊維穩(wěn)定非高斯分布而言，沒有了方差，但仍然存在平均絕對(duì)偏差（即取絕對(duì)值的平均方差）的概念。
于是，通過方差的方法來分析夏普比率，必然會(huì)遭遇滑鐵盧。如果研究者有什么令人驚喜的發(fā)現(xiàn)的話——不如說這個(gè)案例可以被視為一個(gè)完美的反面教材。至今，夏普比率，貝塔系數(shù)仍被當(dāng)作重要的金融工具錯(cuò)誤地使用——這么做似乎只有一個(gè)理由——人們對(duì)數(shù)字很著迷。
在金融市場(chǎng)里，極端斯坦的哲學(xué)還帶來了一個(gè)推論：期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)永遠(yuǎn)不會(huì)通過動(dòng)態(tài)對(duì)沖來減輕。對(duì)于非金融人士來說，這個(gè)論斷太技術(shù)性了，顯得枯燥無趣。
核心在于，布萊克-斯科爾斯（期權(quán)定價(jià)）公式偏離中心所需的指數(shù)衰減，需要套用次指數(shù)類之外的分布——即極端斯坦。
但在這么做的同時(shí)，人們往往忽略了，古典經(jīng)濟(jì)理論里的B-S布萊克—斯科爾斯期權(quán)定價(jià)公式，是一個(gè)修正的物理學(xué)熱方程的一個(gè)數(shù)學(xué)解——它只是被形式化地使用，其包含的特殊類型的微分和隨機(jī)方程，卻沒有任何物理意義，只是一種淺顯無用的類比。
分形理論同樣如此，所有的模型最終都敗下陣來。至今，期權(quán)定價(jià)公式是唯一堪用的經(jīng)濟(jì)學(xué)公式。
當(dāng)尾指數(shù)a<1的時(shí)候，更可怕的事情發(fā)生了：連平均數(shù)都不存在了。這塊法外之地有一個(gè)晦澀的名字：Fuhgetaboudit。
如果你不小心看到了這個(gè)詞，記住，什么都不要做，直接回家睡覺。
3
路徑依賴
長期依賴性會(huì)發(fā)生在金融數(shù)據(jù)中，這不光與物理世界的復(fù)雜性有關(guān)，也有人類心理的復(fù)雜性參與其中，體現(xiàn)了他們對(duì)將發(fā)生或不發(fā)生的事物的變化的預(yù)期和估計(jì)。
在這種相互關(guān)聯(lián)的復(fù)雜世界里，遙遠(yuǎn)過去的事件持續(xù)回聲到現(xiàn)在——1987年的事件也許不是巧合，經(jīng)歷1929年大蕭條的金融家都不再到場(chǎng)，他們的智慧被普遍遺忘，于是2008的崩盤爆發(fā)了，這就是那種回聲的潛在解釋之一。
在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，另一個(gè)重要的誤區(qū)是混淆了時(shí)間概率（路徑相關(guān)）和集合概率（路徑無關(guān)）的概念。一旦用錯(cuò)了方法，就會(huì)陷入絕境。
從事風(fēng)險(xiǎn)工程研究的塔勒布很擅長區(qū)別這一類謬誤，首先讓我們來看什么是集合概率。
假設(shè)有100人隨機(jī)去賭場(chǎng)賭博，即便第28個(gè)賭徒賠光了，它對(duì)第29個(gè)賭徒也不會(huì)產(chǎn)生任何影響。所以，這里可以采用大數(shù)定律計(jì)算賭場(chǎng)的回報(bào)率，當(dāng)100個(gè)賭博都完成了賭博，我們對(duì)這個(gè)賭場(chǎng)的勝率就有了基本的判斷?？梢?，集合概率仍符合平均斯坦的世界觀。
而當(dāng)集合概率應(yīng)用到獨(dú)立個(gè)體身上時(shí)，問題就來了——它不起作用了。
因?yàn)槿绻氵B續(xù)贏了27天，卻在第28天賠光，那么，就沒有第29天了。
這就是面對(duì)新冠病毒肆虐，我們所面對(duì)的現(xiàn)狀。在這種情況下，你的生存預(yù)期收益是……不能被計(jì)算的。當(dāng)全人類都面臨群體免疫的威脅時(shí)，個(gè)人的死亡有點(diǎn)宿命論的味道了。
如果你還記得上一節(jié)沒有被充分被解釋的Cramer條件的話，你就會(huì)理解，為什么保險(xiǎn)行業(yè)不能在所謂的“Cramer條件”之外運(yùn)作——因?yàn)檫@一條件會(huì)忽視第28天的破產(chǎn)。
被視為現(xiàn)代投資組合管理理論的典范CAPM理論重視α回報(bào)（預(yù)期回報(bào)和實(shí)際回報(bào)的差異），如果一個(gè)公司實(shí)現(xiàn)了α回報(bào)，那么這個(gè)公司的運(yùn)作一定有出彩的地方，投資者就愿意出錢雇經(jīng)理人來做投資管理。但集合概率在個(gè)人體驗(yàn)上的失敗告訴我們一件重要的事情：沒有一個(gè)個(gè)人投資者能夠在市場(chǎng)上獲得阿爾法回報(bào)。
這就是路徑依賴的時(shí)間概率的影響——如果我先熨襯衫，然后再洗，我得到的結(jié)果與我洗襯衫再熨的結(jié)果大不相同——有趣的是，量子力學(xué)當(dāng)中也有這樣的非對(duì)易性（對(duì)易，是一種互換性的學(xué)術(shù)表達(dá)）特點(diǎn)。
巧合的是，正如平均斯坦世界里的集合概率（對(duì)易性）和極端斯坦世界里時(shí)間概率（非對(duì)易性）對(duì)立一樣，量子力學(xué)（非對(duì)易性）與經(jīng)典牛頓力學(xué)（對(duì)易性）之間也是水火不容的存在。
時(shí)間概率和集合概率是完全不一樣的——遵從時(shí)間概率就像在玩俄羅斯輪盤賭。
心理學(xué)文獻(xiàn)中的概率校準(zhǔn)，就故意混淆了集合概率和時(shí)間概率——X軸表示預(yù)報(bào)員的估計(jì)概率，Y軸表示實(shí)際實(shí)現(xiàn)的概率。如果氣象預(yù)報(bào)員預(yù)測(cè)30%的降雨概率，而降雨發(fā)生的時(shí)間為30%，則認(rèn)為它們是“校準(zhǔn)的”——在統(tǒng)計(jì)學(xué)家看來，這個(gè)錯(cuò)誤幾乎是不可原諒的。
時(shí)間概率最大的特點(diǎn)，就在于時(shí)間維度上的遍歷性，遍歷性意味著對(duì)集合概率的分析轉(zhuǎn)化為時(shí)間概率的分析——如果你不知疲倦玩俄羅斯輪盤賭，你將不會(huì)隨著經(jīng)驗(yàn)和技巧的提升獲得更高的預(yù)期收益，并成為輪盤賭世界冠軍。正相反——你將會(huì)面對(duì)一件更加確定和可怕的事情：死亡。
在新冠病毒這件事情上，我們所面對(duì)的是極端斯坦的挑戰(zhàn)——但這種挑戰(zhàn)來自遍歷性的時(shí)間概率，而不是極端斯坦的“黑天鵝”屬性——畢竟，冠狀病毒并非新鮮事物，每一年N1H1肆虐的時(shí)候，人類就該被充分動(dòng)員，面對(duì)新冠病毒的挑戰(zhàn)，不能拿無知當(dāng)作借口——當(dāng)然，這是題外話了。
值得注意的是，在時(shí)間概率前提下，回歸曲線也變了樣子。
在”極端斯坦國”里，人們更傾向于畫出右圖當(dāng)中的那條試圖適應(yīng)大偏差的回歸線——它雖然把每一個(gè)已知的小偏差弄錯(cuò)了，但卻能夠保護(hù)我們不受未知的大偏差的影響——在這里，錯(cuò)過大偏差的結(jié)果可能是致命的——就像輪盤賭一樣。
要知道，最小平方法回歸背后的邏輯是高斯-馬爾可夫定理，它明確要求一個(gè)高斯分布（顯然，它來自平均斯坦國），以允許通過諸多點(diǎn)的線是唯一的。如果放棄這一前提，進(jìn)入極端斯坦，顯然偏差的斜率并不是唯一的。
這意味著，在極端斯坦的世界里做回歸運(yùn)算，為了使樣本具有更多的信息性，所需的數(shù)據(jù)的數(shù)量級(jí)要比平均斯坦世界里需要的樣本數(shù)量的數(shù)量級(jí)要多得多！
于是，我們看到，對(duì)于一個(gè)等價(jià)的萊維穩(wěn)態(tài)分布，在平均值附近得到誤差下降的觀測(cè)值的話，對(duì)于帕累托80/20分布來說，需要比高斯分布多至少10^11個(gè)觀察數(shù)據(jù)！
既然認(rèn)識(shí)到了極端斯坦的威力，在最終輪盤賭游戲破產(chǎn)之前，就要積極制定預(yù)防性措施，通過深度統(tǒng)計(jì)特性的識(shí)別和理性決策來解決生存的問題。
凱利公式是時(shí)間遍歷性的完美探索之一——投資就像一場(chǎng)賭博，獲勝的公式=獲勝概率*操作次數(shù)*參與倉位。
當(dāng)賠率高（市場(chǎng)景氣）的時(shí)候，即便勝率不高，也能夠擺脫遍歷性帶來的風(fēng)險(xiǎn)。
當(dāng)賠率低（市場(chǎng)不景氣）的時(shí)候，則需要一個(gè)較高的勝率，你才能戰(zhàn)勝遍歷性。
最終的啟示是：在不可預(yù)知的環(huán)境下，贏得勝利的唯一法則就是“不賭”——除非你真正地了解賭博，通過不斷窄化自己的選擇來駕馭遍歷性。
在平均斯坦的世界里，錯(cuò)誤是非致命的，但在極端斯坦的世界里，錯(cuò)誤將意味著終結(jié)。每一個(gè)成功生存下來的冒險(xiǎn)者都必須明白這一點(diǎn)。
沃倫·巴菲特明白這一點(diǎn)，高盛明白這一點(diǎn)。他們不想要小風(fēng)險(xiǎn)，他們想要零風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)檫@是公司生存和不生存超過二十年，三十年，一百年的區(qū)別。
于是，如何認(rèn)識(shí)遍歷性的挑戰(zhàn)并為我所用變成優(yōu)勢(shì)就變得至關(guān)重要了。
4
概率與回報(bào)
現(xiàn)實(shí)世界中，人們很少關(guān)注概率，而是回報(bào)——人們不是以概率來支付報(bào)酬的，而是以金錢（或生存等）來支付的。
塔勒布認(rèn)為，概率用來給出預(yù)測(cè)并作出決定，并不靠譜。尤其在極端斯坦國，概率并不是顯性呈現(xiàn)的——只有滿足Cramer條件，在平均斯坦國里，原始概率才有意義。
好的決策，在于識(shí)別回報(bào)是否大于風(fēng)險(xiǎn)（學(xué)術(shù)一點(diǎn)，這可以類比為凸的回報(bào)，盡管兩者在數(shù)學(xué)表達(dá)上不盡相同），風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的這種非對(duì)稱性比概率本身重要的多（我們將稍后討論這一點(diǎn)）。
如果成本很低，一個(gè)人可能會(huì)經(jīng)常犯錯(cuò)，只要他是凸的回報(bào)就值得一搏（即，當(dāng)一個(gè)人是對(duì)的時(shí)候，會(huì)有很大的收益）。
因此，在極端斯坦國，人們不需要擔(dān)心概率，而是更應(yīng)該關(guān)注回報(bào)本身。
俗話說的好：回報(bào)淹沒了概率。
這樣看來，概率世界里最優(yōu)的生存解恰恰是反概率的。生活是關(guān)于回報(bào)本身的，而不是有關(guān)概率和預(yù)測(cè)。
關(guān)注回報(bào)，意味著我們要拋棄概率，長久地生活在極端斯坦國。
但做到這一點(diǎn)并不容易。難度在于：
1.我們不會(huì)直接觀察到概率分布，我們觀察到的是實(shí)例。
2.概率分布不能告訴我們某個(gè)實(shí)例是否屬于這個(gè)分布。
3.需要尾部（極端）實(shí)例來判斷，這個(gè)實(shí)例更可能屬于哪類分布。
在左圖里有一個(gè)個(gè)看似退化分布的圖形，這里沒有隨機(jī)性，只有一根棍子。
如果看到了一個(gè)沒有隨機(jī)性的分布，我們不能說它不是隨機(jī)的——也許觀測(cè)的樣本不足。我們不能說沒有黑天鵝。
好了，在右面的圖形里，加入一個(gè)新的觀測(cè)，這意味著加入了隨機(jī)性。我們幾乎可以立即斷定地說：它不是“非隨機(jī)”的——這就是西方消極經(jīng)驗(yàn)主義者慣用的陳詞濫調(diào)。既然看到了一只黑天鵝，“沒有黑天鵝”的說法就不成立了。
隨著信息的增加，我們就會(huì)排除一些選項(xiàng)。左面的圖形可以在右面的圖形里隱藏。但反過來卻不成立。很難證明一個(gè)分布是平均斯坦，但卻很容易排除平均斯坦——只需要一個(gè)反例。
這就像是說，一個(gè)罪犯假扮一個(gè)誠實(shí)的人，要比誠實(shí)的人假扮罪犯容易得多。
極端斯坦人很容易混進(jìn)平均斯坦國，但平均斯坦國的人卻很容易在極端斯坦國被舉報(bào)。
這個(gè)排除平均斯坦（而不是極端斯坦）的自然偏好是一件很有意思的事情，如此看來，上帝還是偏好風(fēng)險(xiǎn)的。
我們只需要利用觀察到的數(shù)據(jù)，不斷排除掉不可能的潛在分布選項(xiàng)——如果看到了一個(gè)20sigma的實(shí)例，就可以排除掉一系列平均斯坦家族里的分布。
現(xiàn)實(shí)是，我們更容易高估尾部指數(shù)（較低的意味著較胖的尾部）。阿根廷股市在2019年8月12日出現(xiàn)的黑天鵝事件直接將尾指數(shù)alpha從4.35修正為2.48，如果沒有這個(gè)極端數(shù)值，則需要更多的時(shí)間才能修正模型。
正如我們所看到的，極端斯坦里的分布并沒有偏離均值很多，但偶爾出現(xiàn)很大的偏差的話，我們就可以排除平均斯坦——我們只能通過排除法認(rèn)定它是極端斯坦而已，但卻不能嚴(yán)格證明它不是平均斯坦——這是典型的黑天鵝問題。
這是一個(gè)完美的開端。
既然來到了極端斯坦，事情就變得簡單了：新的研究重點(diǎn)將是如何檢測(cè)和測(cè)量凹凸性（風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)的關(guān)系）——這比平均斯坦里的概率分析可要簡單多了。
利用凸凹性賺錢的鼻祖，叫做泰勒斯，亞里士多德記錄了泰勒斯的故事，他利用的是一小筆資金通過期權(quán)的方式租下了大量的榨油機(jī)，從而為自己的收益創(chuàng)造了一個(gè)有利的凸性（上凹下凸）機(jī)會(huì)：
狡猾的新冠病毒也為自己制造了凸的有利機(jī)會(huì)：感染病毒的無癥狀的攜帶者也能夠傳播病毒，不但讓傳統(tǒng)的溫度檢測(cè)措施形同虛設(shè)，也大大提高了病毒的傳播性。
與凸的機(jī)會(huì)相反，所有脆弱的東西都呈現(xiàn)出一種凹（上凸下凹）性，這種凹型與做空期權(quán)的收益相似——它必須隨著強(qiáng)度的增加而加速，直至崩潰。如果我跳10米，我會(huì)比跳1米受傷10倍以上。
凹和凸的比喻，代表了事物的兩面，讓我們不由得嚴(yán)肅思索對(duì)稱這件事情。
在物理學(xué)里，人們喜歡對(duì)稱：鏡像對(duì)稱，轉(zhuǎn)動(dòng)平移，標(biāo)度對(duì)稱，時(shí)間平移反演，置換對(duì)稱性，聯(lián)合變換對(duì)稱性，因果關(guān)系對(duì)稱性，電磁學(xué)對(duì)稱性原理，CP守恒，CPT對(duì)稱性，乃至于打破對(duì)稱的分子生物手性，對(duì)稱性自發(fā)破缺等等。
但在極端斯坦的領(lǐng)地里卻不然——這里充滿了不對(duì)稱性的風(fēng)險(xiǎn)和機(jī)會(huì)。
這就好像總是維護(hù)自己行動(dòng)正義的人，大多是不正義和脆弱的。那些經(jīng)歷苦難并在苦難中讓心靈變得更加強(qiáng)大的人，愈發(fā)堅(jiān)不可摧。
非對(duì)稱性充滿了極端斯坦，究其根源，卻跟非線性有很大的關(guān)聯(lián)——正是因?yàn)榉蔷€性，才產(chǎn)生了各種凹凸的性質(zhì)。
在經(jīng)濟(jì)學(xué)的歷史上，馮·諾依曼是一個(gè)不得不提的人物。作為20世紀(jì)幾乎所有科學(xué)領(lǐng)域（程序控制計(jì)算機(jī)，自動(dòng)機(jī)理論，量子力學(xué)等）發(fā)展的中心人物。
他還發(fā)明了博弈論工具用來建立觀點(diǎn)。發(fā)展了經(jīng)濟(jì)福利理論的觀念，認(rèn)為沒有人可以在不損及他人福利下而增進(jìn)自身的福利，這種利潤的分配被稱為帕累托最優(yōu)。馮諾依曼對(duì)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)交叉學(xué)科的數(shù)學(xué)模型非常感興趣，而所有這些卓著的發(fā)展都是基于線性模型的。
但是，利用馮·諾依曼提出的線性模型做長期預(yù)測(cè)往往會(huì)失敗，他的失敗并非是單純數(shù)學(xué)推演的原因，問題在于像流體和氣候以及經(jīng)濟(jì)學(xué)這類事物，其運(yùn)行規(guī)律與馮·諾依曼的線性模型存在極大的差異。
博弈論是一個(gè)精密的數(shù)學(xué)理論，它的失敗也埋藏在它關(guān)于社會(huì)的典型線性假設(shè)上，因此在方法論匱乏的那個(gè)年代，其思想在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用顯著地被高估了。
此后經(jīng)濟(jì)學(xué)思想史上也不斷上演類似的故事，比如卡萊斯基模型，漢森-薩繆爾森模型都是線性的，無法解釋經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域里振蕩的發(fā)生原因——為了自圓其說，只能將這種波動(dòng)歸因于外生的沖擊——這種沖擊自然也是線性的。
經(jīng)濟(jì)學(xué)家們天真地認(rèn)為，穩(wěn)定均衡就像是一個(gè)錨點(diǎn)，但這個(gè)錨點(diǎn)并不固定——而是永不重復(fù)的運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)也不是隨機(jī)游蕩，而是有界的運(yùn)動(dòng)，是一種動(dòng)態(tài)的均衡。
直到數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，建立起非線性系統(tǒng)的模型，才打破了這個(gè)封閉的認(rèn)知。
數(shù)學(xué)家門利用數(shù)學(xué)的方法甚至可以模擬出蝴蝶效應(yīng)！
全新的數(shù)學(xué)工具讓運(yùn)行的每一條軌跡都嚴(yán)格地被方程決定了，但其長期卻是無法計(jì)算和預(yù)測(cè)的。這個(gè)高度不穩(wěn)定的行為由一個(gè)完全沒有任何外生沖擊的內(nèi)生系統(tǒng)生成。與外生沖擊的線性模型相比，這是一個(gè)典型的內(nèi)生非線性系統(tǒng)。
這就像太陽的活動(dòng)會(huì)影響到農(nóng)業(yè)，旅游甚至燃料價(jià)格的波動(dòng)和變化，市場(chǎng)也會(huì)受到循環(huán)經(jīng)濟(jì)周期的影響。一個(gè)受到外部沖擊力影響的內(nèi)生非線性系統(tǒng)，被認(rèn)為是更加精準(zhǔn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。
有趣的是，這個(gè)模型并不是新生事物，它已經(jīng)在物理學(xué)領(lǐng)域里廣為熟知并應(yīng)用了很多年。
這個(gè)產(chǎn)生了偉大催化作用的數(shù)學(xué)模型就是受迫振子：鐘擺在振蕩時(shí)，如果周期性地受到外力的影響，因?yàn)闈u增的振幅，振蕩的阻尼的存在，其結(jié)果很可能是無法預(yù)測(cè)的?，F(xiàn)代物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)變得更加統(tǒng)一了——受迫振子的非線性動(dòng)力學(xué)可以聯(lián)系到冪律——即極端斯坦。這是一個(gè)極其有利的工具，來分析無法預(yù)期的隨機(jī)性時(shí)間序列。
以此出發(fā)，國際貿(mào)易模型，商業(yè)周期模型，相互依賴市場(chǎng)模型相繼被創(chuàng)造出來。
從此，世界的運(yùn)行原則逐漸被非線性（凸凹性）認(rèn)知所統(tǒng)治，極端斯坦也借勢(shì)開疆拓土生根發(fā)芽。
在這片肥沃的土地上，極端斯坦再次回到塔勒布的懷抱，并向世人宣告：
如果你擁有有利的不對(duì)稱性（凸性），從長遠(yuǎn)來看，你會(huì)做的非常棒，在不確定的環(huán)境下表現(xiàn)將優(yōu)于平均數(shù)。不確定性越強(qiáng)，可選擇的作用越大，你的表現(xiàn)就越好。
這個(gè)屬性對(duì)于個(gè)人的人生來說非常重要。
5
人生算法
人生有很多算法，難的是找到最適合自己的那一個(gè)。
概率統(tǒng)計(jì)拋開了數(shù)學(xué)中的「確定性」，以「不確定性」的視角看待世界，并且做出了「量化不確定性」的壯志，這種氣魄，真的不是其它數(shù)學(xué)分支所能夠比擬的。
這套人生算法啟發(fā)于塔勒布，在追隨者的努力下，它也不斷發(fā)展壯大。
它起于統(tǒng)計(jì)學(xué)，卻遠(yuǎn)離了概率本身，將核心關(guān)注點(diǎn)引向了凸優(yōu)化，沒人知道最后終點(diǎn)將指向哪里，唯愿每一個(gè)信奉它的人都能夠探索和實(shí)踐終身，找到歸宿。
它的核心邏輯只有簡單的三步：
找到極端斯坦
遠(yuǎn)離遍歷性災(zāi)難
尋找凸性機(jī)會(huì)
雖然這里列舉了很多物理學(xué)，金融學(xué)，流行病學(xué)，心理學(xué)的例子，但這并不是說其它領(lǐng)域不適用。正相反，統(tǒng)計(jì)學(xué)比我們想象的要強(qiáng)大的多。
在社會(huì)中，并不存在「給你一個(gè)因?yàn)椋€我一個(gè)所以」的確定性。一切社會(huì)規(guī)律，都需要概率統(tǒng)計(jì)來挖掘。而這正是找到極端斯坦，遠(yuǎn)離或善用遍歷性災(zāi)難的核心工具。
人們普遍認(rèn)為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是關(guān)于從數(shù)據(jù)中提取某些模式的感覺，但這很有可能犯錯(cuò)。提取模式很容易，難的是如何利用嘗試和實(shí)踐過濾掉數(shù)據(jù)里的垃圾。
而三板斧的每一斧都是一個(gè)窄化自己選擇的機(jī)會(huì)。這種窄化并不過度地削減每個(gè)人的自由。正相反，它讓人們從嘈雜的噪音當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)能夠與自己產(chǎn)生共鳴的事物，從而提升自己的生存質(zhì)量。
如果你從事朝九晚五的工作并希望早日實(shí)現(xiàn)財(cái)務(wù)自由的話，你的選項(xiàng)包括但不限于拿出業(yè)余時(shí)間開辟第二戰(zhàn)場(chǎng)，比如從事一些Scalable的職業(yè)，比如成為藝術(shù)家，作家，做主播，帶貨，教育行業(yè)，等等通過賣“數(shù)字拷貝”維生，而不是“按件計(jì)費(fèi)”的苦力工種；或者在金融市場(chǎng)里自由搏殺，把三板斧運(yùn)用得熟能生巧，跟巴菲特一樣充分利用遍歷性和凸性機(jī)會(huì)攫取超額回報(bào)。
不管是哪一種選擇，先把自己變成“極端斯坦人”——只有這樣，你才能夠有機(jī)會(huì)尋找珍寶一樣的“凸性機(jī)會(huì)”。而不是在平均斯坦國里研究枯燥的概率，等待所謂的“運(yùn)氣”。
只有這樣，Serendipity，意外發(fā)現(xiàn)珍奇美好事物的能力才會(huì)降臨到你的身上。
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