寫在前面
在上一講《八上第九講 關(guān)于等腰三角形分割的探究》中，我們主要研究了等腰三角形的分割問題．但是在寫完之余，參考了其他同行的文章，以及同事的講法，自我感覺還是太過繁瑣，尤其是在設(shè)x求解時，并未做最優(yōu)化的選擇．因此，這一講，用盡可能最簡潔的方法再寫一遍，以圖為主，希望對同學(xué)們有幫助．
一．分割等腰三角形
例1
過等腰三角形的頂點作一條直線，若分割成的兩個較小的三角形也是等腰三角形，求原等腰三角形的頂角度數(shù)．
分析
1）從頂角頂點A分割．
為了計算簡便，可設(shè)未被分割的底角為x．
共九種情況，由于AB≠AD，AD≠AC，故舍去其中的五種，剩下四種可能．列表如下：
2) AB=BD
我們?nèi)糇⒁獾揭粋€很重要的結(jié)論，即“底角不能為直角和鈍角”，可減少討論次數(shù)．即∠ADB只能為銳角，∠ADC為鈍角，要使△ADC為等腰三角形，只能使AD＝DC．
分析
2）從底角頂點B分割．
為了計算簡便，可設(shè)未被分割的頂角為x．
也是九種情況，由于AB≠AD，BD≠DC（此時D與A重合），故舍去其中的五種，剩下四種可能．列表如下：
2）AB＝BD
我們依舊不能忘掉剛才的重要結(jié)論“底角不能為直角和鈍角”，則∠ADB為銳角，∠BDC為鈍角，要使△BDC為等腰三角形，只能使BD＝DC．而這在之前即已排除，所以不用考慮．
二．分割不等邊三角形
例2
如果過一個不等邊三角形頂點A的直線可以將△ABC分割成2個等腰三角形，試探究原三角形中兩個角之間的最簡數(shù)量關(guān)系．
分析與解答
顯然，我們可以只考慮從過其中一個頂點A分割，這里不存在要舍去的情況，故九種可能都要討論．
為了計算簡便，我們可以設(shè)其中被分割出的等腰三角形中的最小底角為x．
（1）AB＝AD
不能忘掉剛才的重要結(jié)論“底角不能為直角和鈍角”，則∠ADB為銳角，∠ADC為鈍角，要使△ADC為等腰三角形，只能使AD＝DC．
分析與解答
（2）AD＝BD
三種情況皆需討論．
分析與解答
（3）AB＝BD
不能忘掉剛才的重要結(jié)論“底角不能為直角和鈍角”，則∠ADB為銳角，∠ADC為鈍角，要使△ADC為等腰三角形，只能使AD＝DC．
綜上，我們可以發(fā)現(xiàn)，只需滿足3種情況：
1、是直角三角形．
2、有一角是另一角的2倍．
3、有一角是另一角的3倍．
三．任意不等邊三角形如何分割？
我們知道了可以分割的條件，還需知道
如何分割？
從哪個角分割？
能從最小的角分割嗎？
假設(shè)三角形中最小角為x，x有什么范圍？
因此，探究還未結(jié)束．
問與答
1）
問：能從最小角分割嗎？
答：不能．如圖，設(shè)∠ACB為最小角，則∠2＜∠1＋∠B，即∠2＜∠ADC，又因為∠2＜∠A，所以△ADC不是等腰三角形，不符題意．
問與答
2）
問：三種情況各從哪個角分割？最小角的范圍是多少？
答：
1、是直角三角形．
顯然，從直角頂點分割，作斜邊上的中線．
2、有一角是另一角的2倍．
以上例子存在有∠B＝2∠C，或∠C＝2∠B，但都是從第三個角∠BAC分割的，這是為什么呢？
我們可以舉反例證明，不妨以∠B＝2∠C為例，
如上圖，若從∠ABC處分割，則要使△BAD為等腰三角形，∠BAD只能為x或2x，此時，△ABC為等腰三角形，不符題意，所以不能．
要求最小角的范圍，∠C必須小于第三角∠BAC．
∠BAC＝180－3x，
x＜180－3x，
x＜45．
問與答
3、有一角是另一角的3倍．
以上例子存在有∠BAC＝3∠B，或∠BAC＝3∠C，恰好都是從∠BAC分割的，這是為什么呢？我們也可以舉反例證明，不妨以∠BAC＝3∠B為例
如圖，若從∠ACB處分割，則要使△CAD為等腰三角形，∠ACD只能為2x或3x，當(dāng)∠ACD＝2x，此時，△ABC又為等腰三角形，當(dāng)∠ACD＝3x，此時，△ABC又為直角三角形，均不符題意，所以都不能．
要求最小角的范圍，∠C必須小于第三角∠BCA．
∠BCA＝180－4x，
x＜180－4x，
x＜36．
小結(jié)：
綜上，對于任意的不等邊三角形，要分割成2個等腰三角形，需滿足以下要求：
1）不能從最小的角分割．
2）若是直角三角形，從直角頂點分割，作斜邊上的中線．
3）若有一角是另一角的2倍，且最小角小于45°，從第三角分割．
4）若有一角是另一角的3倍，且最小角小于36°，從這個3倍角分割．
附：第九講思考題答案
（2014·無錫）已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫_______條．
END
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