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（2017江蘇南通）我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點．過三角形內(nèi)心的一條直線與兩邊相交，兩交點之間的線段把這個三角形分成兩個圖形，若有一個圖形與原三角形相似，則把這條線段叫做這個三角形的“內(nèi)似線”．

       （1）等邊三角形的“內(nèi)似線”的條數(shù)為__________；

       （2）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求證：BD是△ABC的“內(nèi)似線”．

       （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，E，F分別在邊AC，BC上，且EF是△ABC的“內(nèi)似線”，求EF的長．

（重要說明：從9月9日開始，不定期發(fā)布多篇（最多8篇）文章，可依次點擊“標(biāo)題”閱讀相應(yīng)的文章。如果您想學(xué)習(xí)幾何畫板制作課件，請詳細(xì)閱讀文章末尾的說明.）

【圖文解析】

（1）簡析：因原三角形是等邊三角形，所以被兩交點之間的線段所劃分的兩個圖形中必須有一個是等邊三角形，才能滿足條件，因此過內(nèi)心與三邊平行的線段即可滿足條件，如下圖示，因此答案選3.

（2）如下圖示，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，不難得到△BDC和△ABC中的兩個內(nèi)角相等，從而得到△BDC∽△ABC，同時也不難得到BD平分∠ABC，因此BD是△ABC的“內(nèi)似線”．

       說明：本題圖形是課本中的一道例題，原題是求△ABC的三個內(nèi)角度數(shù)（此三角形可稱為黃金三角形，由題中所設(shè)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求出各內(nèi)角的度數(shù)為36⁰，72⁰，72⁰）.

（3）先畫出符合題意的圖形，顯然有兩種情況，如下圖示：

       其實這兩種情況，答案相同，原因是：

       可以通過全等證明，也可以直接利用角平分線的對稱性（因I是內(nèi)心）說明。

       因此，只需求第一種情況中的EF的長，就可以直接通過證明說明第二情況的E’F’的長。作為解析試題，本文也分析第二種情況的一般求法。

       先求出內(nèi)切圓的半徑（設(shè)為r）.

       顯然(4－r)+(3－r)＝5，解得r=1

       或：

       因S_△AIC+ S_△AIB+ S_△BIC＝S_{△ABC，}由面積公式得：(3＋4＋5)·r＝×3×4，解得：r=1.

       下面解析第一種情況：

       情況一的EF的求法多種，現(xiàn)在詳細(xì)分析其中的常用的三種，其他方法大同小異，這里略去：

       法一：如下圖示，

       由∠1＝∠A得：sin∠1＝sin∠A，根據(jù)三角函數(shù)的定義得：r/EI=3/5，得到EI＝5/3×r=5/3.同理FI＝5/4，所以EF＝EI+FI＝…＝35/12.

       法二：先由sinA=1/AE=3/5得到AE＝5/3，所以CE＝4-5/3＝7/3，因此EF＝CE/cos∠1＝CE/cos∠A＝…＝.

       法三：如下圖示，先求出Rt△ABC的斜邊AB上的高CD＝2.4，再利用EF∥AB，得到△CEF∽△CAB，根據(jù)“兩相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比”，又得到：EF/5＝1.4/2.4，…….

       情況二，如下圖示，類似上述的解法一：

       由∠1＝∠B得：sin∠1＝sin∠B，根據(jù)三角函數(shù)的定義得：r/E’I=4/5，得到E’I＝5/4×r=5/4.同理F’I＝5/3，所以E’F’＝E’I+F’I＝…＝35/12.

【反思】本題從題干（基本圖）到結(jié)論，再解法思路、技巧都是最常見的，此類題目往往有多種類似的解法，其中靈活運用三角函數(shù)的定義解題，往往會給書寫帶來方便.