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【本講教育信息】 一. 教學內(nèi)容： 機械能考點例析（二）
問題12：會解機械能守恒定律與動量守恒定律的綜合問題。 若系統(tǒng)的機械能和動量均守恒，則可利用動量守恒定律和機械能守恒定律求解相關問題。 [例19] 如圖18所示，長為L的輕繩，一端用輕環(huán)套在光滑的橫桿上（輕繩和輕桿的質(zhì)量都不計），另一端連接一質(zhì)量為m的小球，開始時，將系球的繩子繃緊并轉(zhuǎn)到與橫桿平行的位置，然后輕輕放手，當繩子與橫桿成θ時，小球速度在水平方向的分量大小是多少？豎直方向的分量大小是多少？
分析與解：對于輕環(huán)、小球構成的系統(tǒng)，在水平方向上不受外力作用，所以在水平方向動量守恒。又由于輕環(huán)的質(zhì)量不計，在水平方向的動量恒為零，所以小球的動量在水平方向的分量恒為零，小球速度在水平方向的分量為零。 又因為輕環(huán)、小球構成的系統(tǒng)的機械能守恒，所以mgLsinθ=mVy2/2 即Vy=
[例20] 如圖19，長木板ab的b端固定一檔板，木板連同檔板的質(zhì)量為M=4.0kg，a、b間的距離S=2.0m。木板位于光滑水平面上。在木板a端有一小物塊，其質(zhì)量m=1.0kg，小物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ=0.10，它們都處于靜止狀態(tài)?，F(xiàn)令小物塊以初速V0=4m/s沿木板向前滑動，直到和檔板相撞。碰撞后，小物塊恰好回到a端而不脫離木板。求碰撞過程中損失的機械能。
分析與解：設木塊和物塊最后共同的速度為V，由動量守恒定律： 設全過程損失的機械能為E，則有： 在全過程中因摩擦而生熱Q=2μmgS，則據(jù)能量守恒可得在碰撞過程中損失的機械能為：E1=E－Q=2.4J。
問題13：會解機械能守恒定律與繩連問題的綜合問題。 若系統(tǒng)內(nèi)的物體通過不可伸長的細繩相連接，系統(tǒng)的機械能守恒，但只根據(jù)機械能守恒定律不能解決問題，必須求出繩連物體的速度關聯(lián)式，才能解答相應的問題。 [例21] 在水平光滑細桿上穿著A、B兩個剛性小球，兩球間距離為L，用兩根長度同為L的不可伸長的輕繩與C球連接（如圖20所示），開始時三球靜止二繩伸直，然后同時釋放三球。已知A、B、C三球質(zhì)量相等，試求A、B二球速度V的大小與C球到細桿的距離h之間的關系。
分析與解：此題的關鍵是要找到任一位置時，A、B球的速度和C球的速度之間的關系。在如圖21所示位置，BC繩與豎直方向成 由機械能守恒定律，可得：mg（h－ 又因為tg2 由以上各式可得：VB=
問題14：會解機械能守恒定律與面接觸問題的綜合問題。 若系統(tǒng)內(nèi)的物體相互接觸，且各接觸面光滑，則系統(tǒng)的機械能守恒，但只有求出面接觸物體間的速度關聯(lián)式才能解答相應問題。 [例22] 如圖22所示，將楔木塊放在光滑水平面上靠墻邊處并用手固定，然后在木塊和墻面之間放入一個小球，球的下緣離地面高度為H，木塊的傾角為
分析與解：此題的關鍵是要找到球著地時小球和木塊的速度的關系。因為小球和木塊總是相互接觸的，所以小球的速度V1和木塊 的速度V2在垂直于接觸面的方向上的投影相等，即：V1cos 由機械能守恒定律可得：mgH=mv12/2+mv22/2 由上述二式可求得：V1= 問題15：會用功能關系分析解答相關問題。 [例23] 如圖23所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零。小球下降階段下列說法中正確的是（ ） A. 在B位置小球動能最大 B. 在C位置小球動能最大 C. 從A→C位置小球重力勢能的減少大于小球動能的增加 D. 從A→D位置小球重力勢能的減少等于彈簧彈性勢能的增加
分析與解：小球動能的增加用合外力做功來量度，A→C小球受的合力一直向下，對小球做正功，使動能增加；C→D小球受的合力一直向上，對小球做負功，使動能減小，所以B正確。從A→C小球重力勢能的減少等于小球動能的增加和彈性勢能之和，所以C正確。A、D兩位置動能均為零，重力做的正功等于彈力做的負功，所以D正確。選B、C、D。
[例24] 物體以150J的初動能從某斜面的底端沿斜面向上作勻減速運動，當它到達某點P時，其動能減少了100J時，機械能減少了30J，物體繼續(xù)上升到最高位置后又返回到原出發(fā)點，其動能等于 。 分析與解：雖然我們對斜面的情況一無所知，但是物體從斜面一底點P與從點P到最高點，這兩階段的動能減少量和機械能損失量是成比例的，設物體從點P到最高點過程中，損失的機械能為E，則100/30=（150－100）/E，由此得E=15J，所以物體從斜底到達斜面頂一共損失機械能45J，那么它從斜面頂回到出發(fā)點機械能也損失這么多，于是在全過程中損失的機械能90J，回到出發(fā)點時的動能為60J。
[例25] 一傳送帶裝置示意圖如圖24，其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時是水平的，經(jīng)過BC區(qū)域時變?yōu)閳A弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫出），經(jīng)過CD區(qū)域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切。現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經(jīng)傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h。穩(wěn)定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L。每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經(jīng)相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經(jīng)BC段時的微小滑動）。已知在一段相當長的時間T內(nèi)，共運送小貨箱的數(shù)目為N。這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦。求電動機的平均輸出功率P。
分析與解：以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為v0，在水平段運輸?shù)倪^程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速運動，設這段路程為s，所用時間為t，加速度為a，則對小箱有 用f表示小箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小箱做功為
傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功 兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量 可見，在小箱加速運動過程中，小箱獲得的動能與發(fā)熱量相等。 T時間內(nèi)，電動機輸出的功為： 此功用于增加小箱的動能、勢能以及克服摩擦力發(fā)熱，即
已知相鄰兩小箱的距離為L，所以 聯(lián)立⑦⑧⑨⑩，得
二. 警示易錯試題 典型錯誤之一：錯誤認為“人做功的計算”與“某個具體力做功的計算”相同。 人做的功就是人體消耗化學能的量度，不少學生錯誤認為只是人對其它物體作用力所做的功。 [例26] 質(zhì)量為m1、m2的兩物體，靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的人站在m1上用恒力F拉繩子，經(jīng)過一段時間后，兩物體的速度大小分別為V1和V2，位移分別為S1和S2，如圖25所示。則這段時間內(nèi)此人所做的功的大小等于（ ） A. FS2 B. F（S1+S2） C.
錯解：人所做的功等于拉力F對物體m2所做的功W=F·S2，由動能定理可得： 分析糾錯：根據(jù)能量守恒可知，人通過做功消耗的化學能將全部轉(zhuǎn)化為物體m1和m2的動能以及人的動能。所以人做的功的大小等于
即B、C兩選項正確。
典型錯誤之二：混淆注意“相對位移”與“絕對位移”。 功的計算公式中，S為力的作用點移動的位移，它是一個相對量，與參照物選取有關，通常都取地球為參照物，這一點也是學生常常忽視的，致使發(fā)生錯誤。 [例27] 小物塊位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上（如圖26所示） ，從地面上看，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力（ ） A. 垂直于接觸面，做功為零 B. 垂直于接觸面，做功不為零 C. 不垂直于接觸面，做功不為零 D. 不垂于接觸面，做功不為零
錯解：斜面對小物塊的作用力垂直于接觸面，作用力與物體的位移垂直，故做功為零。即A選項正確。 分析糾錯：小物塊A在下滑過程中和斜面之間有一對相互作用力F和F'，如圖27所示。如果把斜面B固定在水平桌面上，物體A的位移方向和彈力方向垂直，這時斜面對物塊A不做功。但此題告訴的條件是斜劈放在光滑的水平面上，可以自由滑動。此時彈力方向仍然垂直于斜面，但是物塊A的位移方向卻是從初位置指向終末位置。如圖27所示，彈力和位移方向不再垂直而是成一鈍角，所以彈力對小物塊A做負功，即B選項正確。
典型錯誤之三：混淆“桿的彈力方向”與“繩的彈力方向”。 繩的彈力是一定沿繩的方向的，而桿的彈力不一定沿桿的方向。所以當物體的速度與桿垂直時，桿的彈力可以對物體做功。 [例28] 如圖28所示，在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質(zhì)量均為m的小球，桿可繞無摩擦的軸O轉(zhuǎn)動，使桿從水平位置無初速釋放擺下。求當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，輕桿對A、B兩球分別做了多少功?
錯解：由于桿的彈力總垂直于小球的運動方向，所以輕桿對A、B兩球均不做功。 分析糾錯：設當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，A球和B球的速度分別為VA和VB。如果把輕桿、地球、兩個小球構成的系統(tǒng)作為研究對象，那么由于桿和小球的相互作用力做功總和等于零，故系統(tǒng)機械能守恒。若取B的最低點為零重力勢能參考平面，可得： 2mgL= 又因A球?qū)?/span>B球在各個時刻對應的角速度相同，故VB＝2VA 由以上二式得： 根據(jù)動能定理，可解出桿對A、B做的功。對于A有WA+mgL/2= 所以WA=－
典型錯誤之四：混淆作用力做功與反作用力做功的不同。 作用力和反作用是兩個分別作用在不同物體上的力，因此作用力的功和反作用力的功沒有直接關系。作用力可以對物體做正功、負功或不做功，反作用力也同樣可以對物體做正功、負功或不做功。 [例29] 下列是一些說法： ① 一質(zhì)點受兩個力作用且處于平衡狀態(tài)（靜止或勻速），這兩個力在同一段時間內(nèi)的沖量一定相同 ② 一質(zhì)點受兩個力作用且處于平衡狀態(tài)（靜止或勻速），這兩個力在同一段時間內(nèi)做的功或者都為零，或者大小相等符號相反 ③ 在同樣的時間內(nèi)，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正負號一定相反 ④ 在同樣的時間內(nèi)，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正負號也不一定相反 以上說法正確的是（ ） A. ①② B. ①③② C. ②③ D. ②④ 錯解：認為“在同樣的時間內(nèi)，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正負號一定相反”而錯選B。 分析糾錯：說法①不正確，因為處于平衡狀態(tài)時，兩個力大小相等方向相反，在同一段時間內(nèi)沖量大小相等，但方向相反。由恒力做功的知識可知，說法②正確。關于作用力和反作用力的功要認識到它們是作用在兩個物體上，兩個物體的位移可能不同，所以功可能不同，說法③不正確，說法④正確。正確選項是D。
典型錯誤之五：忽視機械能的瞬時損失。 [例30] 一質(zhì)量為m的質(zhì)點，系于長為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點，假定繩是不可伸長的、柔軟且無彈性的。今把質(zhì)點從O點的正上方離O點的距離為 （1）輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為多少？ （2）當質(zhì)點到達O點的正下方時，繩對質(zhì)點的拉力為多大？
錯解：很多同學在求解這道題時，對全過程進行整體思維，設質(zhì)點到達O點的正下方時速度為V，根據(jù)能量守恒定律可得： 根據(jù)向心力公式得： 分析糾錯：上述解法是錯誤的。這些同學對物理過程沒有弄清楚，忽視了在繩被拉直瞬時過程中機械能的瞬時損失。其實質(zhì)點的運動可分為三個過程： 第一過程：質(zhì)點做平拋運動。設繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為 聯(lián)立解得 第二過程：繩繃直過程。繩棚直時，繩剛好水平，如圖30所示.由于繩不可伸長，故繩繃直時，V0損失，質(zhì)點僅有速度V⊥，且 第三過程：小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動。設質(zhì)點到達O點正下方時，速度為V′，根據(jù)機械能守恒守律有： 設此時繩對質(zhì)點的拉力為T，則
【模擬試題】 1. 物體M放在光滑水平地面上，其上固定有一個光滑的定滑輪，一根輕繩一端固定在墻上，水平地跨過定滑輪后與水平方向成 A. C.
2. 如下圖所示，物體A和B與地面摩擦系數(shù)相同，A和B質(zhì)量也相同，在力F作用下，一起沿水平地面向右運動s米，以下說法正確的是（ ） A. 摩擦力對A、B所做的功相同 B. F對A所做的功與A對B所做的功相同 C. A受合外力對A所做的功與B所受合外力對B所做的功相同 D. 以上說法都不對
3. 如下圖所示，圖中ABCD是一條長軌道，其中AB段是傾角為 A. C.
4. 如下圖所示小物塊位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，從地面上看，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力（ ） A. 垂直于接觸面，做功為零 B. 垂直于接觸面，做功不為零 C. 不垂直于接觸面，做功為零 D. 不垂直于接觸面，做功不為零
5. 如下圖所示。質(zhì)量為M的木塊靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的子彈以水平速度v在下面兩種情況下?lián)糁心緣K，并最終停在木塊中，第一次木塊被事先固定住，子彈在木塊中鉆入深度為 A. C.
6. 兩個物體的質(zhì)量為 A. 1∶4，2∶1 B. 4∶1，1∶2 C. 1∶4，1∶2 D. 2∶1，4∶1 7. 如下圖所示，質(zhì)量為m的物體被用細繩牽引著在光滑水平面上做勻速圓周運動，當拉力為F時轉(zhuǎn)動半徑為R。當外力增大到8F時，物體仍做勻速圓周運動，其轉(zhuǎn)動半徑為R/2。在此過程中外力對物體所做的功為（ ） A.
8. 如下圖所示，是一個半球形的碗，直徑AD為水平，C是最低點，B是AC弧的中點。一個小物體的質(zhì)量是m，它與碗的摩擦系數(shù)是 A. C.
9. 質(zhì)量相同的兩個擺球A和B，其擺線長度不同， A. 它們的機械能 B. 它們的動能 C. 它們的加速度 D. 它們對擺線拉力
10. 關于滑動摩擦力的以下幾種說法，你認為哪種是正確的（ ） ① 摩擦力總是與物體的運動方向相反；② 摩擦力總是使物體的機械能減小；③ 摩擦力總是阻礙物體之間的相對運動；④ 一個物體所受的滑動摩擦力有可能與物體運動方向相同，也可能相反。⑤ 滑動摩擦肯定能生熱，使物體內(nèi)能增加。 A. ②、③和⑤是正確的 B. ③、④和⑤是正確的 C. 只有②和⑤是正確的 D. ①和②是不正確的 11. 在光滑的水平地面上靜置一個質(zhì)量為M傾角為 A. 在斜劈起動t秒內(nèi)，推力F對斜劈做的功是 B. 在斜劈起動t秒內(nèi)，斜劈對物塊的彈力所做的功是 C. 在斜劈起動t秒內(nèi)，斜劈對物塊的彈力與物塊所受重力的合力所做功的平均功率是 D. 在斜劈起動t秒末，合力對斜劈的即時功率為
12. 倔強系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，下端拴掛一個質(zhì)量為m的小球，靜止時，球距地面h（h遠小于彈簧總長）。用手拉球，使球著地，球靜止時放手，則（ ） A. 球上升所達到的最大高度為h B. 球上升到最大高度的過程中，彈性勢能始終減少 C. 球的速度最大時，球距地面高為h D. 球的最大加速度為kh / m 13. 如下圖所示，均勻長直木板長為L=40厘米，放在水平桌面上，它的一端與桌邊相齊，木板質(zhì)量2千克，與桌面間滑動摩擦系數(shù)為0.2，今用水平推力F將其推下桌子，則水平推力至少做功 焦。
14. 如下圖所示，一物體放在一傾角為
15. 一輛汽車發(fā)動機輸出額定功率為40千瓦，在水平長直公路上行駛時，所受運動阻力為2× 16. 細線一端固定于O點，另一端系一個質(zhì)量為m的小球，使球在豎直平面上做圓周運動，周期一定，每當小球在最高點時線的張力為 17. 一個質(zhì)量為m的物體從斜面的頂端沿粗糙的斜面做勻加速運動，初動能為零，經(jīng)過t秒后滑到斜面底端，此時動能為 18. 如下圖所示，光滑的水平面上有一個靜止的小車，小車上有一條軌道，軌道由一段四分之一圓弧和一段水平部分組成。圓弧半徑是R，小物塊A由圓弧軌道的最高點從靜止開始下滑，軌道的圓弧部分是光滑的，水平部分與物體間滑動摩擦系數(shù)是
19. 如下圖所示，質(zhì)量M=0.8千克的小車靜止在光滑的水平面上，左端A緊靠豎直墻。在車上左端水平固定著一只彈簧，彈簧右端放一個質(zhì)量m=0.2千克的滑塊，車的上表面AC部分為光滑水平面，CB部分為粗糙水平面，CB長l=1 米，與滑塊的摩擦系數(shù) （1）滑塊釋放后，第一次離開彈簧時的速度。 （2）滑塊停在車上的位置離B端多遠。
【試題答案】 1. C 2. C 3. C 4. B 5. C 6. C 7. C 8. D 9. ACD 10. BD 11. ABCD 12. CD 13. 0.8 14. 17. 19.（1）5m/s；（2）距B端0.5米處。 |
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