這里討論利用輸入圖像中像素的小鄰域來產(chǎn)生輸出圖像的方法，在信號(hào)處理中這種方法稱為濾波（filtering）。其中，最常用的是線性濾波：輸出像素是輸入鄰域像素的加權(quán)和。

1.相關(guān)算子（Correlation Operator)

       定義：

　　步驟：

        1）滑動(dòng)核，使其中心位于輸入圖像g的（i，j）像素上

        2）利用上式求和，得到輸出圖像的（i，j）像素值

        3）充分上面操縱，直到求出輸出圖像的所有像素值

　　例：

A = [17  24   1   8  15            h = [8   1   6
     23   5   7  14  16                     3   5   7
      4   6  13  20  22                     4   9   2]
     10  12  19  21   3           
     11  18  25   2   9]

計(jì)算輸出圖像的（2，4）元素=

Matlab 函數(shù)：imfilter(A,h)

2.卷積算子（Convolution)

定義：

 ，

 ，其中

　　 步驟：

        1）將核圍繞中心旋轉(zhuǎn)180度

        2）滑動(dòng)核，使其中心位于輸入圖像g的（i，j）像素上

        3）利用上式求和，得到輸出圖像的（i，j）像素值

        4）充分上面操縱，直到求出輸出圖像的所有像素值

       例：計(jì)算輸出圖像的（2，4）元素=

Matlab 函數(shù)：Matlab 函數(shù)：imfilter(A,h,'conv')% imfilter默認(rèn)是相關(guān)算子，因此當(dāng)進(jìn)行卷積計(jì)算時(shí)需要傳入?yún)?shù)'conv'

3.邊緣效應(yīng)

當(dāng)對(duì)圖像邊緣的進(jìn)行濾波時(shí)，核的一部分會(huì)位于圖像邊緣外面。

常用的策略包括：

1）使用常數(shù)填充：imfilter默認(rèn)用0填充，這會(huì)造成處理后的圖像邊緣是黑色的。

2）復(fù)制邊緣像素：I3 = imfilter(I,h,'replicate');

   

4.常用濾波

fspecial函數(shù)可以生成幾種定義好的濾波器的相關(guān)算子的核。

例：unsharp masking 濾波

?

1 2 3 4 5

I = imread('moon.tif'); h = fspecial('unsharp'); I2 = imfilter(I,h); imshow(I), title('Original Image') figure, imshow(I2), title('Filtered Image')

更復(fù)雜些的濾波算子一般是先利用高斯濾波來平滑，然后計(jì)算其1階和2階微分。由于它們?yōu)V除高頻和低頻，因此稱為帶通濾波器（band-pass filters）。

在介紹具體的帶通濾波器前，先介紹必備的圖像微分知識(shí)。

1 一階導(dǎo)數(shù)

連續(xù)函數(shù)，其微分可表達(dá)為

對(duì)于離散情況（圖像），其導(dǎo)數(shù)必須用差分方差來近似，有

1）前向差分的Matlab實(shí)現(xiàn)

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

function dimg = mipforwarddiff(img,direction) % MIPFORWARDDIFF     Finite difference calculations  % %   DIMG = MIPFORWARDDIFF(IMG,DIRECTION) % %  Calculates the forward-difference for a given direction %  IMG       : input image %  DIRECTION : 'dx' or 'dy' %  DIMG      : resultant image % %   See also MIPCENTRALDIFF MIPBACKWARDDIFF MIPSECONDDERIV %   MIPSECONDPARTIALDERIV    %   Omer Demirkaya, Musa Asyali, Prasana Shaoo, ... 9/1/06 %   Medical Image Processing Toolbox    imgPad = padarray(img,[1 1],'symmetric','both');%將原圖像的邊界擴(kuò)展 [row,col] = size(imgPad); dimg = zeros(row,col); switch (direction)    case 'dx',    dimg(:,1:col-1) = imgPad(:,2:col)-imgPad(:,1:col-1);%x方向差分計(jì)算， case 'dy',    dimg(1:row-1,:) = imgPad(2:row,:)-imgPad(1:row-1,:);  otherwise, disp('Direction is unknown'); end; dimg = dimg(2:end-1,2:end-1);

2）中心差分的Matlab實(shí)現(xiàn)

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

function dimg = mipcentraldiff(img,direction) % MIPCENTRALDIFF     Finite difference calculations  % %   DIMG = MIPCENTRALDIFF(IMG,DIRECTION) % %  Calculates the central-difference for a given direction %  IMG       : input image %  DIRECTION : 'dx' or 'dy' %  DIMG      : resultant image % %   See also MIPFORWARDDIFF MIPBACKWARDDIFF MIPSECONDDERIV %   MIPSECONDPARTIALDERIV    %   Omer Demirkaya, Musa Asyali, Prasana Shaoo, ... 9/1/06 %   Medical Image Processing Toolbox    img = padarray(img,[1 1],'symmetric','both'); [row,col] = size(img); dimg = zeros(row,col); switch (direction)     case 'dx',         dimg(:,2:col-1) = (img(:,3:col)-img(:,1:col-2))/2;     case 'dy',         dimg(2:row-1,:) = (img(3:row,:)-img(1:row-2,:))/2;     otherwise,         disp('Direction is unknown'); end dimg = dimg(2:end-1,2:end-1);

?

1

實(shí)例：技術(shù)圖像x方向?qū)?shù)

?

1 2	I = imread('coins.png'); figure; imshow(I); Id = mipforwarddiff(I,'dx'); figure, imshow(Id);

    原圖像                                                   x方向1階導(dǎo)數(shù)

2 圖像梯度（Image Gradient）

圖像I的梯度定義為

Matlab函數(shù)

1）gradient：梯度計(jì)算

2）quiver：以箭頭形狀繪制梯度。注意放大下面最右側(cè)圖可看到箭頭，由于這里計(jì)算橫豎兩個(gè)方向的梯度，因此箭頭方向都是水平或垂直的。

實(shí)例：仍采用上面的原始圖像

?

1 2 3 4 5

I = double(imread('coins.png')); [dx,dy]=gradient(I); magnitudeI=sqrt(dx.^2+dy.^2); figure;imagesc(magnitudeI);colormap(gray);%梯度幅值 hold on;quiver(dx,dy);%疊加梯度方向

                         梯度幅值                                   梯度幅值+梯度方向

3 二階導(dǎo)數(shù)

對(duì)于一維函數(shù)，其二階導(dǎo)數(shù)

3.1 普拉斯算子（laplacian operator）

3.1.2 概念

拉普拉斯算子是n維歐式空間的一個(gè)二階微分算子。它定義為兩個(gè)梯度向量算子的內(nèi)積

其在二維空間上的公式為：    

對(duì)于1維離散情況，其二階導(dǎo)數(shù)變?yōu)槎A差分

1）首先，其一階差分為

2）因此，二階差分為

          

3）因此，1維拉普拉斯運(yùn)算可以通過1維卷積核

 實(shí)現(xiàn)

 

對(duì)于2維離散情況（圖像），拉普拉斯算子是2個(gè)維上二階差分的和（見式3.3），其公式為：

上式對(duì)應(yīng)的卷積核為

常用的拉普拉斯核有：

3.1.2 應(yīng)用

拉普拉斯算子會(huì)突出像素值快速變化的區(qū)域，因此常用于邊緣檢測(cè)。

Matlab里有兩個(gè)函數(shù)

1）del2

計(jì)算公式：

 ，

  

2）fspecial：圖像處理中一般利用Matlab函數(shù)fspecial

h = fspecial('laplacian', alpha) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator.
The parameter alpha controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default value for alpha is 0.2.

3.1.3 資源

http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gradient/node8.html （非常清晰的Laplacian Operator介紹，本文的主要參考）

http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/log.htm