位似圖形的定義
1.定義：如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比也稱為位似比.
溫馨提示：(1)位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
(2)兩個位似圖形的位似中心可能位于圖形的內(nèi)部、外部、邊上或頂點上；
(3)兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè).
2.常見模型：
3.性質(zhì)：(1)位似圖形的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；
(2)位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點；
(3)位似圖形的對應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且比相等；
(4)位似圖形是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì).
注意：(1)位似圖形中任意兩對對應(yīng)點的連線的交點就是位似中心；
(2)一對對應(yīng)邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似.
4.位似圖形的畫法：(1)確定位似中心；
(2)分別過位似中心和原圖的各關(guān)鍵點作直線；
(3)根據(jù)相似比，找出所作位似圖形的對應(yīng)點；
(4)按原圖連接各點，得到放大或縮小的圖形.
注意事項：(1)符合條件的位似圖形往往不唯一；
(2)作出的位似圖形一般有兩種情況，一是各對應(yīng)點在位似中心的同側(cè)，二是各對應(yīng)點在位似中心的兩側(cè)；
(3)作位似圖形時，要注意相似比的順序性.
5.位似變換與坐標(biāo)：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原
圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x,y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為(kx,ky)或(-kx,-ky).
6.“一線三等角”在相似三角形中的應(yīng)用素養(yǎng)解讀：邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).
所謂“一線三等角”是指在一條直線上出現(xiàn)了三個角相等，在這樣的模型中，存在相似三角形.若出現(xiàn)了邊相等的條件，相似就轉(zhuǎn)化為全等.
經(jīng)典例題集錦：
1.如圖，在?ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點,連接AE并延長,交DC于點F，則S△DEF∶S△AOB的值為?( )
?A.1/3? B.1/5? C.1/6? D.1/11?
2.如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別是BC、AC、AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于?( )
?A.1∶3 B.2∶3 C.√3∶2 D.√3∶3
3.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，BC=6，AB=7，點P是線段BA上的一個動點，連接PC、PD.若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P有?( )
?A.5個 B.4個 C.3個 D.2個
4.如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD∶BD=2∶1，點F在AC上，AF∶FC=1∶2，連接BF，交DE于點G，那么DG∶GE等于?( )
?A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.2∶5
5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為1/3，點A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點的坐標(biāo)為?( )
?A.(3,2) B.(3,1) C.(2,2) D.(4,2)
6.已知CD為Rt△ABC斜邊上的中線，E、F分別是AC、BC中點，則CD與EF關(guān)系是( )
A.EF＞CD B.EF=CD C.EF＜CD D.不能確定
7.如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從B點出發(fā)，在BC上移動至點C停止.即PA=x，點D到直線PA的距離DE為y，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是 ?( )
?A.y=12x B.y=12/x ?C.y=3/4x D.y=3/4x
8.如圖，在△ABC中，點、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，則線段CD的長為?( )
A.2√3? B.3√2? C.2√6? D.5
9.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2 cm，D為BC的中點，若動點E以1 cm/s的速度從A點出發(fā)，沿著A→B的方向運動，設(shè)E點的運動時間為t s(0≤t<4)，連接DE，當(dāng)以B、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，t的值為( )
?A.2 B.2.5或3.5 C.2或3.5 D.2或2.5
10.如圖，在?ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE，CE，BD，CE和BD相交于點F，若△BEF的面積為1，則?ABCD的面積為?( )
?A.8 B.10 C.12 D.16
以下內(nèi)容為付費內(nèi)容34%
11.如圖，已知點F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點E，連接CF并延長，交AB于點D，過點F作FG∥BC，交AC于點G.設(shè)△EFG、四邊形FBCG的面積分別為S1,S2，則S1∶S2= .
12.如圖，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點.若點P是二次函數(shù)y=-x2+3x的圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點，且以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點P的坐標(biāo)為 .
13.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN中，∠MPN=90°，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當(dāng)PE=2PF時，AP= .
14.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，E是AB的中點，P在射線DC上從D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度運動，過P作PF⊥DE,當(dāng)運動時間為 秒時，以點P、F、E為頂點的三角形與△AED相似.
15.如圖，一次函數(shù)y=3/4x+3的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，與反比例函數(shù)y=3/x(x>0)的圖象交于點C，點P是反比例函數(shù)y=3/x(x>0)圖象上的一點，作PQ⊥x軸于點Q，連接OP.當(dāng)點P的坐標(biāo)為 時，△OPQ與△OAB相似.
16.如圖，已知正方形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，EF⊥AE交CD于點F，以AE、EF為鄰邊作矩形AEFG，若AB=4，則點G到AD距離的最大值是 .
17.如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線AC，延長AB至點E，使BE=AB，連接DE，別交BC,AC于點F、G.
(1)求證：BF=CF；
(2)若DG=4，求FG的長.
18.如圖，,AB為半圓O的直徑,C為BA延長線上一點，CD切半圓O于點D，連接OD作BE⊥CD，交CD的延長線于點E，交半圓
O于點F.已知CE=12，BE=9.
(1)求證：△COD∽△CBE；
(2)求半圓O的半徑r的長.
19.如圖，點D在以AB為直徑的☉O上，,AD平分∠BAC，DC⊥AC，過點B作☉O的切線交AD的延長線于點E.
(1)求證：直線CD是☉O的切線；
(2)求證：CD·BE=AD·DE.
20.如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點，AE⊥DE.
(1)求證：△ABE∽△ECD；
(2)若AB=4,AE=BC=5，求CD的長；
(3)當(dāng)△AED∽△ECD時，請寫出線段AD、AB、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
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