今天我們一起來對一般三角形的知識進(jìn)行全面梳理。
知識點一：三角形的邊、角關(guān)系
1、三邊關(guān)系
（1）三角形任意兩邊的和大于第三邊；
（2）三角形任意兩邊的差小于第三邊。
總結(jié)：判斷構(gòu)成三角形的條件：①已知三條線段的長，只要最短兩條線段長度的和大于第三條線段的長度，即可判定其能構(gòu)成三角形；②已知兩邊，求三角形周長時，此時一定要利用三邊關(guān)系先判斷第三邊長度的范圍，再計算周長。
例1 以下各組數(shù)中，能作為一個三角形三邊邊長的是（ ）
A. 1，1，2 B.1，2，4 C.2，3，4 D.2，3，5
【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊求解。
【解答】
A、1+1=2，不滿足三邊關(guān)系，故錯誤；
B、1+2＜4，不滿足三邊關(guān)系，故錯誤；
C、2+3＞4，滿足三邊關(guān)系，故正確；
D、2+3=5，不滿足三邊關(guān)系，故錯誤．
故選：C．
【點評】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系的運用，判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．
例2 若一個三角形的兩邊長分別為5和7，則該三角形的周長可能是（ ）
A．12 B．14 C．15 D．25
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．即可求解．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得第三邊大于2，而小于12．
則周長L的取值范圍是：14＜L＜24．觀察選項，只有選項C符合題意．
故選：C．
【點評】此題考查了三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，確定第三邊的取值范圍．再進(jìn)一步確定周長的取值范圍．
2、內(nèi)外角關(guān)系
（1）三角形三個內(nèi)角的和等于180°，直角三角形的兩個銳角互余。
（2）三角形的外角和等于360°。
（3）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的外角大于任意一個和它不相鄰的內(nèi)角。
例3 如圖，在△ABC中，D是BC上延長線上一點，∠B＝40°，∠ACD＝120°，則∠A等于（ ）
A．20° B．30° C．70° D．80°
例3圖
【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．
【解答】由三角形的外角性質(zhì)得，∠A＝120°﹣40°＝80°．故選：D．
【點評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
例4 將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
例4圖
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠CGF＝∠DGB＝45°，再利用∠α＝∠D+∠DGB可得答案．
【解答】解：如圖，
∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
則∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故選：C．
【點評】本題主要考查三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)．
知識點二：三角形中的重要線段
1、角平分線
結(jié)論：1、角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
2、三角形三條角平分線交于一點，這點叫三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。
例5 如圖，△ABC中，點O是△ABC角平分線的交點，∠A＝40°，則∠BOC＝（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
例5圖
2、中線
表述：∵AD是△ABC的中線
∴BD=CD
結(jié)論：1、中線將三角形分割成等底同高（即面積相等）的兩個三角形。即S△ABD=S△ACD
2、三角形的三條中線交于一點，這點叫三角形的重心。
例6 如圖，已知AE是△ABC的邊BC上的中線，若AB=8cm，△ACE的周長比△AEB的周長多2cm，求AC的長。
例6圖
【分析】依據(jù)AE是△ABC的邊BC上的中線，可得CE=BE，再根據(jù)AE=AE，△ACE的周長比△AEB的周長多2cm，即可得到AC的長．
【解答】解：∵AE是△ABC的邊BC上的中線，
∴CE=BE，
又∵AE=AE，△ACE的周長比△AEB的周長多2cm，
∴AC-AB=2cm，
即AC-8=2cm，
∴AC=10cm
【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，求出兩個三角形的周長的差等于兩邊的差是解題的關(guān)鍵．
3、中位線
表述：∵D、E分別是AB、AC的中點
∴DE是△ABC的中位線
∴DE∥BC且DE=1/2BC
結(jié)論：幾何圖形中見到中點常尋找同一三角形中的另一邊的中點并連接（常作輔助線之一）
例7 如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接DE．若DE＝3，求線段BC的長
例7圖
【分析】直接根據(jù)三角形的中位線定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，
∴DE是△ABC的中位線．
∵DE=3，
∴BC=2DE=6．
【點評】本題考查的是三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關(guān)鍵．
4、高線
表述：∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
結(jié)論：1、常應(yīng)用高線中的互余角和直角三角形的勾股定理計算
2、三角形的三條高交于一點，這點叫三角形的垂心。
例8 如圖，在△ABC中，AD，AE分別是三角形的高和角平分線，其中∠B＝45°，∠C＝65°，求∠AED和∠EAD的度數(shù)．
例8圖
【分析】首先運用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求得∠BAE，再運用三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求得∠AED，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝70°，
又AE是三角形的角平分線，
∴∠BAE＝35°，
∴∠AED＝∠BAE+∠B＝80°，
又AD是三角形的高，
∴∠EAD＝10°．
【點評】主要運用三角形的內(nèi)角和定理及其推論，以及角平分線的概念．
5、中垂線（垂直平分線）
表述：∵DE是AB的垂直平分線
∴AD=BD,DE垂直AB
結(jié)論：1、可以從垂直平分線出發(fā)得到相等線段、角和互余角等，還可以得到等腰三角形。
2、三角形三條邊的垂直平分線交于一點，這點叫三角形的外心。外心到三角形三個頂點的距離相等。
例9 已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40°，求此等腰三角形的頂角．
【解答】解：①當(dāng)△為銳角△時，如圖
∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，
∴∠A＝50°
②當(dāng)△為鈍角△時，如圖
∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，
∴頂角∠BAC＝180°﹣50°＝130°
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．
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