在進(jìn)行幾何題的說明或計(jì)算時，我們常常需要在圖形中添加一些輔助線。記得我的導(dǎo)師曾經(jīng)說過，輔助線是幾何題的生命線，添加對了輔助線，往往可以使我們的解題事半功倍。因?yàn)檩o助線能使題目中的條件比較集中，能比較容易找到一些量之間的關(guān)系，從而使數(shù)學(xué)問題能夠較輕松地解決。今天我們將通過講解例題的形式介紹五種常用的構(gòu)造全等三角形的方法。
方法一：倍長中線法
例1：如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB+AC＞2AD；
（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．
【分析】（1）延長AD至E，使DE＝AD，構(gòu)造△ADC≌△EDB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AB+AC＞2AD；
（2）直接利用三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得5﹣3＜2AD＜5+3，再計(jì)算即可．
【解答】（1）證明：由BD＝CD，再延長AD至E，使DE＝AD，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴DB＝CD，
在△ADC和△EDB中，
∴BE＝AC，
在△ABE中，∵AB+BE＞AE，
∴AB+AC＞2AD；
（2）∵AB＝5，AC＝3，
∴5﹣3＜2AD＜5+3，
∴1＜AD＜4．
【點(diǎn)評】此題主要全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線，延長中線，是一種常見的輔助線．
方法二：翻折法
例2：如圖．在△ABC中，BE是角平分線，AD⊥BE，垂足為D，求證：∠2＝∠1+∠C．
【分析】延長AD交BC于點(diǎn)F（相當(dāng)于將AB邊向下翻折，與BC邊重合，A點(diǎn)落在F點(diǎn)處，折痕為BE），由BE是角平分線、AD⊥BE可知△ABF是等腰三角形且∠2＝∠AFB，根據(jù)∠AFB＝∠1+∠C可得證．
【解答】證明：如圖，延長AD交BC于點(diǎn)F，
∵BE是角平分線，AD⊥BE，
∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，
又∵∠AFB＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)．
方法三：旋轉(zhuǎn)法
例3：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF＝EF，求∠EAF的度數(shù)．
【分析】延長EB使得BG＝DF，易證△ABG≌△ADF（SAS）（相當(dāng)于將△ADF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG）可得AF＝AG，進(jìn)而求證△AEG≌△AEF可得∠EAG＝∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF＝90°即可解題．
【解答】解：延長EB使得BG＝DF，連接AG，
在△ABG和△ADF中，
由
△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，
又∵EF＝DF+BE＝EB+BG＝EG，AE＝AE，
在△AEG和△AEF中，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG＝∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°
∴∠EAG+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝45°．
答：∠EAF的角度為45°．
【點(diǎn)評】本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證∠EAG＝∠EAF是解題的關(guān)鍵．
方法四：構(gòu)造法
例4：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，其延長線交AB于點(diǎn)F，連接DF．求證：∠ADC＝∠BDF．
【分析】作BG⊥CB，交CF的延長線于點(diǎn)G，由ASA證明△ACD≌△CBG，得出CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，證出BG＝BD，∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，再由SAS證明△BFG≌△BFD，得出∠FGB＝∠FDB，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：作BG⊥CB，交CF的延長線于點(diǎn)G，如圖所示：
∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，
∵CD＝BD，
∴BG＝BD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，
在△BFG和△BFD中，
∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB＝∠FDB，
∴∠ADC＝∠BDF．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要通過作輔助線兩次證明三角形全等才能得出結(jié)論．
方法五：截長補(bǔ)短法
例5：如圖，AB∥CD，CE，BE分別平分∠BCD和∠CBA，點(diǎn)E在AD上，求證：BC＝AB+CD．
【分析】在BC上取點(diǎn)F，使BF＝BA，連接EF，由角平分線的性質(zhì)可以得出∠1＝∠2，從而可以得出△ABE≌△FBE，可以得出∠A＝∠5，進(jìn)而可以得出△CDE≌△CFE，就可以得出CD＝CF，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：在BC上取點(diǎn)F，使BF＝BA，連接EF，
∵BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠A＝∠5．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴∠5+∠D＝180．
∵∠5+∠6＝180°，
∴∠6＝∠D．
在△CDE和△CFE中，
∴△CDE≌△CFE（AAS），
∴CF＝CD．
∵BC＝BF+CF，
∴BC＝AB+CD．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時運(yùn)用截取法正確作輔助線是關(guān)鍵．
以上五種方法是比較常用的方法，希望對你的解題有所幫助～～～～
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