初一剛剛接觸角的運(yùn)算，余角補(bǔ)角以及角平分線的知識(shí)，同學(xué)們感到不好理解，特別是有些題型的規(guī)律還沒(méi)有很好的掌握，下面通過(guò)舉例一一分類(lèi)說(shuō)明.
一.角的單位進(jìn)制在計(jì)算中的應(yīng)用
1.計(jì)算下列各題.
(1)153°19'42'+26°40'28'
(2)33°15'16'×5
(3)175°16'30'一47°30‘÷6+4°12'50'×3
【分析】角度相加，把度、分、秒分別相加，滿60要進(jìn)位;角度的相減，把度、分、秒分別相減，不夠減時(shí)，借1作60，并入原數(shù)相減;乘法運(yùn)算時(shí)，先把度、分、秒乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿60'進(jìn)1'，滿60'進(jìn)1°;除法運(yùn)算，從度開(kāi)始除，將余數(shù)化成分，和原有的分相加后再除，將余數(shù)化成秒，和原有的秒相加再除，若除不盡則四舍五入，精確到分時(shí)，則將不足30'舍去，30'及超過(guò)30'的進(jìn)為1'，精確到度時(shí)，不足30'舍去，30‘及超過(guò)30'的進(jìn)1°.
解:(1)原式=(153+26)°(19+40)'(42+28)'=179°59'70'=180°10'
(2)原式=(33×5)°(15×5)'(16×5)'=165°75'80'=166°16'20'
(3)原式=175°16'30'一(47÷6)°(30÷6)'+(4×3)°(12×3)'(50×3)'=175°16'30'一7°(330÷6)'+12°36'150'=175°16'30'一7°55'+12°38'30'=(174一7+12)°(76一55+38)'(30+30)'=179°59'60'=180°.
二.利用角的倍數(shù)關(guān)系求角
2.如圖，已知∠AOE=130°，∠AOB:∠BOC=2:1，且3∠COE=2∠AOB，求∠AOB的度數(shù).
【分析】從條件看，∠BOC=1/2∠AOB，∠COE=2/3∠AOB，而∠BOC十∠COE十∠AOB=∠AOE=130°，則可列方程求解.
解:設(shè)∠AOB=x，∵∠AOB:∠BOC=2:1，則∠BOC=x/2，又3∠COE=2∠AOB，則，∠COE=2x/3，而∠COE+∠BOC+∠AOB=∠AOE=130°，則x+x/2+2x/3=130°，解得x=60°，所以∠AOB的度數(shù)為60°.
3.如圖，∠AOB，∠BOC，∠COD的度數(shù)之比為2:1:3，且∠AOC+∠DOB=140°，求∠AOD的度數(shù).
【分析】條件有三個(gè)角的度數(shù)比，一般可設(shè)未知數(shù)列方程求解.
解:設(shè)，∠BOC=x，則∠AOB=2x，∠COD=3x，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=3x，∠DOB=∠BOC+∠COD=x+3x=4x，因?yàn)椤螦OC十∠DOB=140°，所以可得，3x+4x=140°，解得x=20°，∠AOB=2x=40°，∠COD=3x=60°，則∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=40°+20°+60°=120°.所以∠AOD的度數(shù)為120°.
三.利用余角、補(bǔ)角的定義判斷角的關(guān)系
4.如圖，點(diǎn)A、O、E在同一條直線上，OB，OC，OD都是射線，∠1=∠2，∠1和∠4互為余角.
(1)∠2和∠3的大小有何關(guān)系？
(2)∠3與∠4的大小有何關(guān)系？
(3)說(shuō)明∠AOD是∠3的補(bǔ)角.
【分析】判斷角的大小關(guān)系，一般是倍比關(guān)系，互余關(guān)系，互補(bǔ)關(guān)系，從條件出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，往往能找見(jiàn)某種關(guān)系.
解:(1)因?yàn)椤?+∠4=90°，而∠AOE=180°，所以∠BOD=180°一(∠1+∠4)=180°一90°=90°，即∠2+∠3=90°，所以∠2與∠3互余.
(2)因?yàn)椤?+∠3=90°，∠1=∠2，所以∠1+∠3=90°，又因?yàn)椤?十∠4=90°，所以∠3=∠4.
(3)因?yàn)椤?+∠AOD=180°，而∠3=∠4，所以∠3十∠AOD=180°，所以∠3與∠AOD互補(bǔ)，也即∠AOD是∠3的補(bǔ)角.
5.設(shè)∠A，∠B的度數(shù)分別為2n一1°和68°一n，且∠A，∠B都是∠C的補(bǔ)角.
(1)求n的值
(2)∠A和∠B是互余，為什么？
解:因?yàn)椤螦，∠B都是∠C的補(bǔ)角，所以∠A=∠B，所以2n一1°=68°一n，解n=23°
(2)∠A和∠B互余，理由如下:
由(1)知n=23°，所以∠A=2n一1°=2×23°一1=45°，∠B=68°一n=68°一23°=45°，∠A+∠B=90°，所以∠A與∠B互余.
四.角平分線間的夾角問(wèn)題
6.如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BOD的平分線.
(1)若∠AOB=150°，則∠COE是多少度？
(2)在(1)的條件下，若∠COD=30°，則∠BOE是多少度？
【分析】這類(lèi)題一般都是利用角平分線的定義，結(jié)合條件進(jìn)行角的推導(dǎo).
解:(1)因?yàn)镺C是∠AOD的平分線，所以∠EOD=1/2∠DOB，又因?yàn)镺E是∠BOD的平分線，所以∠COD=1/2∠AOD，所以∠COE=∠EOD十∠COD=1/2∠DOB+1/2∠AOD=1/2(∠DOB十∠AOD)=1/2∠AOB=1/2×150°=75°.
(2)因?yàn)椤螩OE=75°，∠COD=30°，所以∠DOE=∠COE一∠COD=75°一30°=45°，因?yàn)镺E平分∠DOB，所以∠BOE=∠DOE=45°.
7.如圖，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC.
(1)求∠MON的度數(shù);
(2)若∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù);
(3)若∠AOC=β(β為銳角)，其他條件不變，求∠MON的度數(shù);
(4)從上面的結(jié)果中可以看出什么規(guī)律？
【分析】由于∠AOB，∠AOC的角度已知，則∠BOC的角度可出，而OM平分∠BOC，所以∠MOC的角度可出，又ON平分∠AOC，所以∠NOC的角度可出，則∠MON=∠MOC一∠NOC，可求得結(jié)果.
解:(1)因?yàn)椤螦OB=90°，∠AOC=30°，所以∠BOC=120°，因?yàn)镺M平分∠BOC，ON平分∠AOC，所以∠MOC=60°，∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=45°.
(2)因?yàn)椤螦OB=α，∠AOC=30°，所以∠BOC=α+30°，因?yàn)镺M平分∠BOC，ON平分∠AOC，所以∠MOC=α/2+15°，∠NOC=15°，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=α/2.
(3)因?yàn)椤螦OB=90°，∠AOC=β，所以∠BOC=90°+β，因?yàn)镺M平分∠BOC，ON平分∠AOC。所以∠MOC=45°+β/2，∠NOC=β/2，所以∠MON=∠MOC一∠NOC=45°.
(4)從上面的結(jié)果中，發(fā)現(xiàn)∠MON的大小只與∠AOB的大小有關(guān)，與∠AOC的大小無(wú)關(guān).
五.與角平分線有關(guān)的分類(lèi)討論問(wèn)題
8.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù).
【分析】給出兩個(gè)角，它們的OB邊重合，但OC邊在什么位置？不明確，所以分OC落在∠AOB內(nèi)，外兩種情況解答.
解:①當(dāng)OC落在∠AOB內(nèi)部時(shí)，如圖，
∵OM平分∠AOB，∴∠BOM=1/2∠AOB=100°×1/2=50°，∵ON平分∠BOC，∴∠BON=1/2∠BOC=60°×1/2=30°，∴∠MON=∠BOM一∠BON=50°一30°=20°.
②當(dāng)OC落在∠AOB的外部時(shí)，如圖，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠BOM=1/2∠AOB=100°×1/2=50°，∠BON=1/2∠BOC=60°×1/2=30°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.綜上所述，∠MON的度數(shù)為20°或80°.
9.已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE=30°，∠BOD=20°，求∠COF的度數(shù).
【分析】條件給出∠BOC在∠AOB的外部，但兩個(gè)角的大小又不確定，可能導(dǎo)致不同的結(jié)果，所以分∠BOC大于∠AOB，與∠BOC小于∠AOB兩種情況討論.
解:①當(dāng)∠BOC小于∠AOB時(shí)，如圖
由題意知∠BOE=∠AOE=30°，∠BOD=20°，∴∠DOE=10°，∴∠AOD=40°，又∠COD=∠AOD=40°，∠BOD=20°，∴∠BOC=20°，∴∠COF=1/2∠BOC=20°×1/2=10°.
②當(dāng)∠BOC大于∠AOB時(shí)，如圖，
由題意知∠BOE=∠AOE=30°，∠BOD=20°，所以∠AOD=80°，又∠COD=∠AOD=80°，∠BOD=20°，所以∠BOC=100°，∴∠COF=1/2∠BOC=100°×1/2=50°.
綜上所述，∠COF=10°或50°.
【總結(jié)】有關(guān)角的運(yùn)算的題目一般不太難，但同學(xué)們要認(rèn)真寫(xiě)好每題的步驟，為以后幾何的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ).
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