第四章力學(xué)綜合

一、解題模型：

1．如圖5.01所示，一路燈距地面的高度為h，身高為l

的人以速度v勻速行走。

（1）試證明人的頭頂?shù)挠白幼鲃蛩龠\(yùn)動(dòng)；

（2）求人影的長度隨時(shí)間的變化率。

解：（1）設(shè)t=0時(shí)刻，人位于路燈的正下方O處，在時(shí)刻t，人走到S處，根據(jù)題意有OS=vt，過路燈P和人頭頂?shù)闹本€與地面的交點(diǎn)M為t時(shí)刻人頭頂影子的位置，如圖2所示。OM為人頭頂影子到O點(diǎn)的距離。

因OM與時(shí)間t成正比，故人頭頂?shù)挠白幼鲃蛩龠\(yùn)動(dòng)。

（2）由圖2可知，在時(shí)刻t，人影的長度為SM，由幾何關(guān)系，有SM=OM-OS，由以上各式得

2．一水平放置的圓盤繞豎直固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤上沿半徑開有一條寬度為2mm的均勻狹縫。將激光器與傳感器上下對準(zhǔn)，使二者間連線與轉(zhuǎn)軸平行，分別置于圓盤的上下兩側(cè)，且可以同步地沿圓盤半徑方向勻速移動(dòng)，激光器連續(xù)向下發(fā)射激光束。在圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)狹縫經(jīng)過激光器與傳感器之間時(shí)，傳感器接收到一個(gè)激光信號，并將其輸入計(jì)算機(jī)，經(jīng)處理后畫出相應(yīng)圖線。圖5.02（a）為該裝置示意圖，圖5.02（b）為所接收的光信號隨時(shí)間變化的圖線，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示接收到的激光信號強(qiáng)度，

。

（1）利用圖（b）中的數(shù)據(jù)求1s時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；

（2）說明激光器和傳感器沿半徑移動(dòng)的方向；

（3）求圖（b）中第三個(gè)激光信號的寬度△t₃。

（2）激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動(dòng)（理由為：由于脈沖寬度在逐漸變窄，表明光信號能通過狹縫的時(shí)間逐漸減少，即圓盤上對應(yīng)探測器所在位置的線速度逐漸增加，因此激光器和探測器沿半徑由中心向邊緣移動(dòng)）。

（3）設(shè)狹縫寬度為d，探測器接收到第i個(gè)脈沖時(shí)距轉(zhuǎn)軸的距離為r_i，第i個(gè)脈沖的寬度為△t_i，激光器和探測器沿半徑的運(yùn)動(dòng)速度為v。

3．如圖5.03是某種靜電分選器的原理示意圖。兩個(gè)豎直放置的平行金屬板帶有等量異號電荷，形成勻強(qiáng)電場，分選器漏斗的出口與兩板上端處于同一高度，到兩板距離相等?；旌显谝黄鸬腶、b兩種顆粒從漏斗出口下落時(shí)，a種顆粒帶上正電，b種顆粒帶上負(fù)電。經(jīng)分選電場后，a、b兩種顆粒分別落到水平傳送帶A、B上。已知兩板間距d=0.1m，板的度l=0.5m

，電場僅局限在平行板之間；各顆粒所帶電量大小與

。設(shè)顆粒進(jìn)入電場時(shí)的初速度為零，分選過程中顆粒大小及顆粒間的相互作用力不計(jì)。要求兩種顆粒離開電場區(qū)域時(shí)，不接觸到極板但有最大偏轉(zhuǎn)量。

。

（1）左右兩板各帶何種電荷？兩極板間的電壓多大？

（2）若兩帶電平行板的下端距傳送帶A、B的高度H=0.3m，顆粒落至傳送帶時(shí)的速度大小是多少？

（3）設(shè)顆粒每次與傳送帶碰撞反彈時(shí)，沿豎直方向的速度大小為碰撞前豎直方向速度大小的一半。寫出顆粒第n次碰撞反彈高度的表達(dá)式。并求出經(jīng)過多少次碰撞，顆粒反彈的高度小于0.01m。

解析：（1）左板帶負(fù)電荷，右板帶正電荷。依題意，顆粒在平行板間的豎直方向上滿足

（2）根據(jù)動(dòng)能定理，顆粒落到水平傳送帶上滿足

（3）在豎直方向顆粒作自由落體運(yùn)動(dòng)，它第一次落到水平傳送帶上沿豎直方向的速度

根據(jù)題設(shè)條件，顆粒第n次反彈后上升的高度：

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4．偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝影像機(jī)至少應(yīng)拍地面上赤道圓周的弧長是多少？設(shè)地球半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T。

解析：設(shè)衛(wèi)星周期為T₁，那么：

5．

如圖5.04所示，一對雜技演員（都視為質(zhì)點(diǎn)）乘秋千（秋千繩處于水平位置）從A點(diǎn)由靜止出發(fā)繞O點(diǎn)下擺，當(dāng)擺到最低點(diǎn)B時(shí)，女演員在極短時(shí)間內(nèi)將男演員沿水平方向推出，然后自己剛好能回到高處A。求男演員落地點(diǎn)C與O點(diǎn)的水平距離s。已知男演員質(zhì)量m₁和女演員質(zhì)量

，秋千的質(zhì)量不計(jì)，擺長為R，C點(diǎn)比O點(diǎn)低5R。

圖5.04

分離后，男演員做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)男演員從被推出到落在C點(diǎn)所需的時(shí)間為t，根據(jù)題給條件，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，

根據(jù)題給條件，女演員剛好回A點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律，

6．在廣場游玩時(shí)，一個(gè)小孩將一充有氫氣的氣球用細(xì)繩系于一個(gè)小石塊上，并將小石塊放置于水平地面上。已知小石塊的

，氣球體積為V，空氣密度為ρ（V和ρ均視作不變量），風(fēng)沿水平方向吹，風(fēng)速為v。已知風(fēng)對氣球的作用力f=ku

（式中k為一已知系數(shù)，u為氣球相對空氣的速度）。開始時(shí)，小石塊靜止在地面上，如圖5.05所示。

（1）若風(fēng)速v在逐漸增大，小孩擔(dān)心氣球會(huì)連同小石塊一起被吹離地面，試判斷是否會(huì)出現(xiàn)這一情況，并說明理由。

（2）若細(xì)繩突然斷開，已知?dú)馇蝻w上天空后，在氣球所經(jīng)過的空間中的風(fēng)速v保持不變量，求氣球能達(dá)到的最大速度的大小。

圖5.05

答案：（1）將氣球和小石塊作為一個(gè)整體；在豎直方向上，氣球（包括小石塊）受到重力G、浮力F和地面支持力F_N的作用，據(jù)平衡條件有：

，故氣球連同小石塊不會(huì)一起被吹離地面。