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已知a∈R，函數(shù)f（x）=aex﹣x﹣1，g（x）=x﹣ln（x+1）（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）若a=1，且命題“?x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=aex﹣x﹣1，所以f'（x）=aex﹣1，

當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)?x∈R，f'（x）=aex﹣1＜0，

所以f（x）在（﹣∞，+∞）是減函數(shù)，此時(shí)函數(shù)不存在極值，

所以函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)；

當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）=aex﹣1，令f'（x）=0，解得x=﹣lna，

若x∈（﹣∞，﹣lna），則f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣lna）上是減函數(shù)，

若x∈（﹣lna，+∞），則f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣lna，+∞）上是增函數(shù)，

當(dāng)x=﹣lna時(shí)，f（x）取得極小值為f（﹣lna）=lna，

函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)x=﹣lna，

所以當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）沒有極值點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有一個(gè)極小值點(diǎn)．

（Ⅱ）命題“?x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命題，

則“?x∈[0，+∞），f（x）＜kg（x）”是真命題，

即不等式f（x）＜kg（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)有解．

若a=1，則設(shè)F（x）=f（x）﹣kg（x）=ex+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，

所以F’(x)=ex+k/(x+1)﹣（k+1），

設(shè)h(x)=ex+k/(x+1)﹣（k+1），

則h’(x)=ex-k/(x+1)2，且h'（x）是增函數(shù)，

所以h'（x）≥h'（0）=1﹣k

當(dāng)k≤1時(shí)，h'（x）≥0，

所以h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，

h（x）≥h（0）=0，即F'（x）≥0，

所以F（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，

所以F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥kg（x）在x∈[0，+∞）上恒成立．

當(dāng)k＞1時(shí)，因?yàn)閔’(x)=ex-k/(x+1)2在[0，+∞）是增函數(shù)，

因?yàn)閔'（0）=1﹣k＜0，h'（k﹣1）=ek-1-1/k＞0，

所以h'（x）在（0，k﹣1）上存在唯一零點(diǎn)x0，

當(dāng)x∈[0，x0）時(shí)，h'（x）＜h'（x0）=0，h（x）在[0，x0）上單調(diào)遞減，

從而h（x）≤h（0）=0，即F'（x）≤0，

所以F（x）在[0，x0）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（0）=0，

即f（x）＜kg（x）．

所以不等式f（x）＜kg（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)有解

綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為（1，+∞）．

考點(diǎn)分析：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．

題干分析：

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系分類即可得到極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

（Ⅱ）命題“?x∈[0，+∞），f（x）≥kg（x）”是假命題，轉(zhuǎn)化為不等式f（x）＜kg（x）在區(qū)間[0，+∞）內(nèi)有解，再構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣kg（x）ex+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷即可。