10、數(shù)學(xué)是怎樣的“思維體操”？
前9次例話我們探討了數(shù)學(xué)的“量化”、“化歸化”兩個(gè)基本思想方法，這次開始探討數(shù)學(xué)的“邏輯化基本思想方法”。
一說到“邏輯化”，大家也許會(huì)自然地想到“邏輯思維”、想到“數(shù)學(xué)是思維的體操”。這是否意味著數(shù)學(xué)作為思維的體操，鍛煉的就是邏輯思維呢？而邏輯思維是否就是定義概念、提出命題、再象做幾何證明題那樣進(jìn)行三段式的演繹推理呢？
讓我們讀三句話，打開眼界、沖破藩籬：
1、《普通邏輯學(xué)》（楊樹森編著、安徽大學(xué)出版社2005年2月版）第1頁：“‘邏輯’……嚴(yán)復(fù)從英語‘logic'翻譯而來，其語源出自希臘文‘λ0γ0s‘（邏各斯），有話語、思想、思維、理性、規(guī)律、原則、本質(zhì)等多種意義。”
所以“邏輯”可以廣義地看成“思維的規(guī)律、規(guī)則”。
2、《音樂審美心理學(xué)教程》（林華著，上海音樂出版社2005年10月版）在第75-91頁又對“思維”作了廣義的解說：經(jīng)過對動(dòng)物史、人類史的探討，指出人類的思維活動(dòng)方式包括動(dòng)作思維、直覺思維、形象思維和邏輯思維四種。
3、同前那本《普通邏輯學(xué)》第78頁又指出：即使邏輯推理也包括演繹推理和非演繹推理兩大類； 我們熟悉的、幾何證明題里常用的三段論推理屬于演繹推理，非演繹推理則包括歸納推理、類比推理、溯因推理以及探求因果聯(lián)系的邏輯方法等等（中小學(xué)階段可從簡概括為歸納推理和類比推理兩種）。
數(shù)學(xué)新課程積極提倡的“合情推理”就是非演繹性的歸納推理和類比推理：北師大版課標(biāo)解讀第163頁說，“合情推理是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論（按：即結(jié)論不具必然性）的推理。歸納推理、類比推理和統(tǒng)計(jì)推理（按：統(tǒng)計(jì)推理可視為歸納推理的一種）是合情推理的三種重要形式。”
總之，我們想探討的“邏輯化基本思想方法”有著豐富的內(nèi)涵，它想探討各種數(shù)學(xué)思維的規(guī)律或規(guī)則，既包括以語詞和符號為載體的抽象邏輯思維，又包括運(yùn)用其他不同載體的動(dòng)作思維、直覺思維和形象思維，在抽象邏輯思維中則既包括演繹推理的思維、又包括非演繹的合情推理思維——概括起來就是探討學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中各種“數(shù)學(xué)思考”的特征與規(guī)律，——“數(shù)學(xué)是鍛煉多種思維的體操”。
把眼界放得這么開有必要嗎？小學(xué)數(shù)學(xué)里除開顯然的演繹性邏輯思維，真的還有其他那些種類的思維嗎？
[例21] 合情推理的存在。
歸納、類比這些合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)中廣泛存在，限于篇幅，僅舉一年級和六年級教材中的若干例證。
歸納推理：一年級上冊，第7頁對商店物品的分類需歸納各組物品的的共性分別是“書籍”、“飲料”、“玩具”等；第27頁給空間基本圖形分類要先弄清各類圖形的共性；第76頁確定統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目也先要弄清各類統(tǒng)計(jì)對象的共性；全冊對加法、減法運(yùn)算意義的歸納（凡求“一共”、“總共”、“合計(jì)”、“連接”等的運(yùn)算是加法，凡求“比多”、“比少”、“剩余”之類的運(yùn)算是減法）；第78頁歸納得出11-20各數(shù)的十進(jìn)位值制記數(shù)法則，等等。
六年級下冊，第二單元《圓柱與圓錐》的例1寫道：“上面哪些物體的形狀是圓柱體？……仔細(xì)觀察圓柱，你發(fā)現(xiàn)了什么？”然后在方框里指明可發(fā)現(xiàn)的圓柱形狀特征：上下一樣粗、上下兩面是完全相同的圓形、有一個(gè)面即側(cè)面是彎曲的。這個(gè)“發(fā)現(xiàn)”過程就是對若干不同圓柱體仔細(xì)觀察、歸納共性的過程。隨后對圓錐形狀特征的“發(fā)現(xiàn)”也是此種觀察、歸納過程。
類比推理：一年級下冊第一單元《減法》的內(nèi)容是11至19的某數(shù)減去一個(gè)個(gè)位數(shù)，該單元隱含的教學(xué)方法就是類比法：先學(xué)會(huì)減9的方法（如湊10法），再將該法（如湊10法）類比推廣，用于減其他數(shù)（減數(shù)小于5時(shí)則用其他方法較簡單）。
六年級上冊，第二單元《長方體和正方體》的“評價(jià)與反思”列出了“在探索長方體、正方體表面積和體積的計(jì)算方法時(shí)能進(jìn)行一些合理的歸納與類推”這樣一條評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，“類推”即將學(xué)習(xí)長方體所得“類比推廣”到正方體；三、四兩個(gè)單元分別探究分?jǐn)?shù)乘、除計(jì)算方法，其所運(yùn)用的的圖示教學(xué)法，實(shí)質(zhì)上也是用幾何圖形面積大小的變化規(guī)律來類比分?jǐn)?shù)值變化的規(guī)律。
[例22] 動(dòng)作思維與形象思維的存在。
不論蘇教版還是人教版新教材，都相當(dāng)強(qiáng)調(diào)對學(xué)生動(dòng)手操作活動(dòng)的設(shè)置、強(qiáng)調(diào)教學(xué)的形象直觀性，因?yàn)槠喗苤赋鰞和季S發(fā)展的軌跡是：感知運(yùn)動(dòng)階段（動(dòng)作思維為主）→前運(yùn)算階段→具體運(yùn)算階段（一般在5-11歲，形象思維為主）→形式運(yùn)算階段（一般11歲左右開始，抽象邏輯思維為主）。
[例23] 直覺思維的存在豐富多樣，值得高度重視。
1、蘇教版教材的各冊，經(jīng)常出現(xiàn)“猜一猜”的要求，就是在鼓勵(lì)學(xué)生開展直覺思維。
2、不妨把數(shù)感、形感、符號感、式感之類統(tǒng)稱為“數(shù)感”，那何為數(shù)感？課標(biāo)解讀對數(shù)感的解釋多且繁雜，讓人不得要領(lǐng)，不如簡捷道明：數(shù)感就是對各種數(shù)學(xué)對象特征的直覺感受或直覺感悟——這些對象包括數(shù)、式、符號、圖形等等。
3、速算、對問題情境中數(shù)量或圖形關(guān)系結(jié)構(gòu)的迅速把握、在多種解題策略或解題術(shù)中的迅速選擇、對解答結(jié)果正誤的迅速判斷，都離不開直覺思維。
所以，不要以為直覺思維只對數(shù)學(xué)家從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造才價(jià)值大——對學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)同樣價(jià)值大。
總之，數(shù)學(xué)是多種思維的體操，在整個(gè)小學(xué)階段，數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)、鍛煉學(xué)生多種思維能力的機(jī)會(huì)遍地開花、異彩紛呈，對此我們應(yīng)充分了解、及時(shí)把握、統(tǒng)籌利用
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