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數(shù)學(xué)有時候會變得特別復(fù)雜，然而幸好不是所有的數(shù)學(xué)問題都晦澀難懂。這篇文章將會向大家介紹數(shù)學(xué)領(lǐng)域中五個有趣的問題，問題本身簡單易懂，但迄今仍未被數(shù)學(xué)家們解決。

撰文 Avery Thompson

翻譯 張奕林

審校 丁家琦

1. Collatz 猜想

隨意選一個整數(shù)，如果它是偶數(shù)，那么將它除以2；如果它是奇數(shù)，那么將它乘以3再加1。對于得到的新的數(shù)，重復(fù)操作上面的運(yùn)算過程。如果你一直操作下去，你每次都終將得到1。

數(shù)學(xué)家們試驗了數(shù)百萬個數(shù)，至今還沒發(fā)現(xiàn)哪怕一個不收斂到1的例子。然而問題在于，數(shù)學(xué)家們也沒辦法證明一定不存在一個特殊的數(shù)，在這一操作下最終不在1上收斂。有可能存在一個特別巨大的數(shù)，在這一套操作下趨向于無窮，或者趨向于一個除了1以外的循環(huán)的數(shù)。但沒有人能證明這些特例的存在。

2. 移動沙發(fā)問題

你要搬新家了，想把你的沙發(fā)搬過去。問題是，走廊有個轉(zhuǎn)角，你不得不在角落位置上給沙發(fā)轉(zhuǎn)方向。如果這個沙發(fā)很小，那沒什么問題。如果是個挺大的沙發(fā)，估計得卡在角落上。如果你是個數(shù)學(xué)家，你會問自己：能夠在角落上轉(zhuǎn)過來的最大的沙發(fā)有多大呢？這個沙發(fā)不一定得是矩形，可以說任何形狀。

這便是“移動沙發(fā)問題”的核心，具體來說就是：二維空間，走廊寬為1，轉(zhuǎn)角90°，求能轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角的最大二維面積是多少？

能轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)角的最大二維面積被稱為“沙發(fā)常數(shù)”（the sofa constant）——這是真的，我不是騙你讀書少。沒人知道它到底有多大，但我們知道有一些相當(dāng)大的沙發(fā)可以轉(zhuǎn)得過去，所以我們知道沙發(fā)常數(shù)一定比它們大；也有一些沙發(fā)無論如何都轉(zhuǎn)不過去，因此沙發(fā)常數(shù)一定比這些轉(zhuǎn)不過去的面積小。迄今位置，我們知道沙發(fā)常數(shù)落在2.2195到2.8284之間。

3. 完美立方體問題

還記得勾股定理，A2 + B2 = C2 嗎？A、B、C三個字母表示直角三角形的三邊長。畢達(dá)哥拉斯三角形指的是三邊長都是整數(shù)的直角三角形，即滿足A2 + B2 = C2且A、B、C都是整數(shù)?，F(xiàn)在我們將這個概念擴(kuò)展到三維，在三維空間，我們需要四個數(shù)A、B、C和G。前三個數(shù)是立方體的三維邊長，G是立方體的空間對角線長度。

正如有些三角形的三邊都是整數(shù)一樣，存在一些立方體的三邊和體對角線（A、B、C和G）都是整數(shù)，但對于立方體來說還有三個面對角線（D、E和F），這就帶來一個有趣的問題：有沒有立方體滿足這個7個邊長都是整數(shù)的條件呢？

問題的目標(biāo)在于找到一個立方體滿足A2 + B2 + C2 = G2，且全部的邊和對角線長度都是整數(shù)，這種立方體被稱為完美立方體（perfect cuboid）。數(shù)學(xué)家們測試了各種不同的可能構(gòu)型，還沒找到任何一個滿足條件的情況。但他們也不能證明這樣的立方體不存在，因此搜尋完美立方體的工作還在繼續(xù)。

4. 內(nèi)接正方形問題

圖片來源：Claudio Rocchini