類型1　操作探究題

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到Rt△ADE的位置，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接BD，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.

(1)如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，求證：AC＝BC；

(2)若∠DAF＝∠DBA.

①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長線上時，判斷線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)F在線段CA上時，設(shè)BE＝x，請用含x的代數(shù)式表示線段AF.

解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)得，∠BAC＝∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD＝90°.

∴∠BAC＝∠BAD＝45°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°.

∴AC＝BC.

(2)①AF＝BE.理由：

由旋轉(zhuǎn)得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB.

∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.

∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.

∵∠ABD＝∠FAD，由旋轉(zhuǎn)得∠BAC＝∠BAD.

∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝1/3×180°＝60°.

由旋轉(zhuǎn)得，AB＝AD.∴△ABD是等邊三角形．∴AD＝BD.

在△AFD和△BED中：1.∠F=.∠BED=90°；2.AD＝BD； 3.∠FAD＝∠EBD，∴△AFD≌△BED(AAS)．∴AF＝BE.

②如圖

由旋轉(zhuǎn)得∠BAC＝∠BAD.

∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD，

由旋轉(zhuǎn)得AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD.

∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，

∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°.∴∠BAD＝36°.

設(shè)BD＝a，作BG平分∠ABD，

∴∠BAD＝∠GBD＝36°.∴AG＝BG＝BD＝a.

∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD.

∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB.

∴BD/AD＝DG/DB.∴BD/AD＝(AD－BD)/BD∴AD/BD＝（1+根號5）/2。

∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，∴△AFD∽△BED.

∴BD/AD＝BE/AF.∴AF＝BD/AD·BE＝（1+根號5）/2*x.

2．如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以O(shè)G，OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE.

(1)求證：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如圖2.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)；

②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．

解：(1)證明：延長ED交AG于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，

∴OA＝OD，OA⊥OD.

在△AOG和△DOE中，1.OA＝OD；2.∠AOG＝∠DOE＝90°；3.OG＝OE

∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.

∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°.

∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.

(2)①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：

(Ⅰ)α由0°增大到90°過程中，當(dāng)∠OAG′＝90°時，

∵OA＝OD＝1/2*OG＝1/2*OG′，

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OA/OG′＝1/2

∴∠AG′O＝30°.

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′.

∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.

(Ⅱ)α由90°增大到180°過程中，當(dāng)∠OAG′＝90°時，

同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°.

綜上所述，當(dāng)∠OAG′＝90°時，α＝30°或150°.

②AF′的最大值為2分子根號2＋2，此時α＝315°.

提示：如圖

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A，O，F(xiàn)′在一條直線上時，AF′的長最大，

∵正方形ABCD的邊長為1，

∴OA＝OD＝OC＝OB＝2分子根號2.

∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝.∴OF′＝2.

∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根號2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此時α＝315°.

3．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是邊CD上一點(diǎn)，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM.

(1)當(dāng)AN平分∠MAB時，求DM的長；

(2)連接BN，當(dāng)DM＝1時，求△ABN的面積；

(3)當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時，求DF的最大值．

解：(1)由折疊可知△ANM≌△ADM，

∴∠MAN＝∠DAM.

∵AN平分∠MAB，

∴∠MAN＝∠NAB.

∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°.∴∠DAM＝30°.

∴DM＝AD·tan∠DAM＝3×3分子根號3＝根號3。

(2)如圖1，延長MN交AB延長線于點(diǎn)Q.

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC.

∴∠DMA＝∠MAQ.

由折疊可知△ANM≌△ADM，

∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1.

∴∠MAQ＝∠AMQ.

∴MQ＝AQ.

設(shè)NQ＝x，則AQ＝MQ＝1＋x.

在Rt△ANQ中，AQ2＝AN平方＋NQ平方，

∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.

∴NQ＝4，AQ＝5.

∵AB＝4，AQ＝5，

∴SΔNAB＝4/5*S，ΔNAQ＝4/5·1/2·AN·NQ＝24/5.

(3)如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥BF于點(diǎn)H，則△ABH∽△BFC，∴BH/AH＝CF/BC.

∵AH≤AN＝3，AB＝4，

∴當(dāng)點(diǎn)N，H重合(即AH＝AN)時，DF最大．(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)

此時M，F(xiàn)重合，B，N，M三點(diǎn)共線，△ABH≌△BFC(如圖3)，

∴DF的最大值為4－根號7

圖1

類型2　動態(tài)探究題

4．(2016·自貢)已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

(1)如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP，OP，OA.若△OCP與△PDA的面積比為1∶4，求邊CD的長；

(2)如圖2，在(1)的條件下，擦去折痕AO，線段OP，連接BP.動點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P，A不重合)，動點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)動點(diǎn)M，N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明變化規(guī)律．若不變，求出線段EF的長度．

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.

∴∠APD＋∠DAP＝90°.

∵由折疊可得∠APO＝∠B＝90°，

∴∠APD＋∠CPO＝90°.∴∠CPO＝∠DAP.

又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.∵△OCP與△PDA的面積比為1∶4，

設(shè)OP＝x，則CO＝8－x.在Rt△PCO中，∠C＝90°，

由勾股定理得

，解得x＝5.∴AB＝AP＝2OP＝10.∴CD＝10.

(2)過點(diǎn)M作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q.

∵AP＝AB，MQ∥AN，

∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.

∴MP＝MQ.∵BN＝PM，∴BN＝QM.∵M(jìn)P＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝0.5PQ.

∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF＝∠BNF.

在△MFQ和△NFB中，1.∠QFM＝∠NFB；2.∠QMF＝∠BNF；3.MQ＝BN

∴△MFQ≌△NFB(AAS)．∴QF＝BF＝0.5QB.

∴EF＝EQ＋QF＝0.5PQ＋0.5QB＝0.5PB.由(1)中的結(jié)論可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，

∴在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M，N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2*根號5.

5．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5，2)，點(diǎn)P是CB邊上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)C，B重合)，連接OP，AP，過點(diǎn)O作射線OE交AP的延長線于點(diǎn)E，交CB邊于點(diǎn)M，且∠AOP＝∠COM，令CP＝x，MP＝y(tǒng).

(1)當(dāng)x為何值時，OP⊥AP?

(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在x，使△OCM的面積與△ABP的面積之和等于△EMP的面積．若存在，請求x的值；若不存在，請說明理由．

解：(1)由題意知OA＝BC＝5，AB＝OC＝2，∠B＝∠OCM＝90°，BC∥OA.

∵OP⊥AP，

∴∠OPC＋∠APB＝∠APB＋∠PAB＝90°.

∴∠OPC＝∠PAB.

∴△OPC∽△PAB.

解得x1＝4，x2＝1(不合題意，舍去)．

∴當(dāng)x＝4時，OP⊥AP.

(2)∵BC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP.

∵∠AOP＝∠COM，∴∠COM＝∠CPO.

∵∠OCM＝∠PCO，∴△OCM∽△PCO.

∴y＝x－4/x(2<x<5)．

(3)存在x符合題意．過點(diǎn)E作ED⊥OA于點(diǎn)D，交MP于點(diǎn)F，則DF＝AB＝2.

∵△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積，

∴S△EOA＝S矩形OABC＝2×5＝1/2·5ED.

∴ED＝4，EF＝2.

∵PM∥OA，∴△EMP∽△EOA.

解得y＝5/2.

6．如圖1，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AD＝8，AB＝6.如圖2，矩形ABCD沿O

B方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，同時點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)也以每秒1個單位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，矩形ABCD和點(diǎn)P同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．

(1)當(dāng)t＝5時，請直接寫出點(diǎn)D，點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動時，求出△PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；

(3)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動時，作

PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)△PEO與△BCD相似時，求出相應(yīng)的t值．

解：(1)D(－4，3)，P(－12，8)．

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時，BP＝6－t.

∴S＝0.5BP·AD＝0.5(6－t)·8＝－4t＋24.

當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時，BP＝t－6.

∴S＝0.5BP·AB＝0.5(t－6)·6＝3t－18.

類型3　類比探究題

7．如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且PA＝PE，PE交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：PC＝PE；

(2)求∠CPE的度數(shù)；

(3)如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠ABC＝120°時，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

解：(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，

在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP

∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.

又∵PA＝PE，∴PC＝PE.

(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP＝∠BCP.∴∠DAP＝∠DCP.

∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.

∴∠DCP＝∠E.

∵∠CFP＝∠EFD(對頂角相等)，

∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，

即∠CPF＝∠EDF＝90°.

(3)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝60°，

在△ABP和△CBP中，1.AB=BC;2.PB＝PB;3.∠ABP＝∠CBP

∴△ABP≌△CBP(SAS)．

∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP.

∵PA＝PE，∴PC＝PE.∴∠DAP＝∠DCP.

∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠AEP.

∴∠DCP＝∠AEP.

∵∠CFP＝∠EFD(對頂角相等)，

∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠AEP，

即∠CPF＝∠EDF＝180°－∠ADC＝180°－120°＝60°.

∴△EPC是等邊三角形．∴PC＝CE.

∴AP＝CE.

8．已知AC，EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠CAE＋∠CBE＝90°.

(1)如圖1，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF.

①求證：△CAE∽△CBF；

②若BE＝1，AE＝2，求CE的長；

(2)如圖2，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且AB/BC＝EF/FC＝k時，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

(3)如圖3，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°時，設(shè)BE＝m，AE＝n，CE＝p，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系．(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)

解：(1)證明：①∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，

∴∠ACB＝45°，∠ECF＝45°.

∴∠ACB－∠ECB＝∠ECF－∠ECB，

即∠ACE＝∠BCF.

∴△CAE∽△CBF.

②∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，AE/BF＝根號2.

∴BF＝根號2.

又∠CAE＋∠CBE＝90°，

∴∠CBF＋∠CBE＝90°，即∠EBF＝90°.

解得CE＝根號6.

(2)連接BF，

∵AB/BC＝EF/FC＝k，∠CFE＝∠CBA，

∴△CFE∽△CBA.

∴∠ECF＝∠ACB，CE/CF＝AC/BC.

∴∠ACE＝∠BCF.∴△ACE∽△BCF.∴∠CAE＝∠CBF.

∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，

題型2　與圓有關(guān)的幾何綜合題

9．(2016·成都)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB為半徑作⊙C，交AC于點(diǎn)D，交AC的延長線于點(diǎn)E，連接ED，BE.

(1)求證：△ABD∽△AEB；

(2)當(dāng)BC(AB)＝3(4)時，求tanE；

(3)在(2)的條件下，作∠BAC的平分線，與BE交于點(diǎn)F，若AF＝2，求⊙C的半徑．

解：(1)證明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠DBC.

∵DE是直徑，

∴∠DBE＝90°.

∴∠E＝90°－∠BDE.

∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠BDE.

∴∠ABD＝∠E.

∵∠BAD＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB.

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn).⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H，連接BD，F(xiàn)H.

(1)試判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)AB＝BE＝1時，求⊙O的面積；

(3)在(2)的條件下，求HG·HB的值．

解：(1)直線BD與⊙O

相切．理由：連接OB.

∵BD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴DB＝DC.

∴∠DBC＝∠C.

∵OB＝OE，

∴∠OBE＝∠OEB.

又∵∠OEB＝∠CED，∴∠OBE＝∠CED.

∵DF⊥AC，∴∠CDE＝90°.

∴∠C＋∠CED＝90°.

∴∠DBC＋∠OBE＝90°.

∴BD與⊙O相切．

(2)連接AE.

在Rt△ABE中，AB＝BE＝1，∴AE＝根號2.

∵DF垂直平分AC，∴CE＝AE＝根號2.∴BC＝1＋根號2.

∵∠C＋∠CAB＝90°，∠DFA＋∠CAB＝90°，∴∠ACB＝∠DFA.

又∠CBA＝∠FBE＝90°，A

B＝BE，∴△CAB≌△FEB.

(3)∵AB＝BE，∠ABE＝90°，

∴∠AEB＝45°.

∵EA＝EC，∴∠C＝22.5°.

∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°－22.5°＝67.5°.

∵BH平分∠CBF，

∴∠EBG＝∠HBF＝45°.

∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°.

11．如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．

(1)試說明CE是⊙O的切線；

(2)若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；

(3)設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)

)，連接OD，當(dāng)1/2CD＋OD的最小值為6時，求⊙O的直徑AB的長．

解：(1)證明：連接OC.

∵CA＝CE，∠CAE＝30°，

∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°.

∴∠OCE＝90°.

∴CE是⊙O的切線．

12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)G，E在CD的反向延長線上，EP＝EG，

(1)求證：直線EP為⊙O的切線；

(2)點(diǎn)P在劣弧AC上運(yùn)動，其他條件不變，若BG2＝BF·BO.試證明BG＝PG；

(3)在滿足(2)的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB＝根號3/3.求弦CD的長．

解：(1)證明：連接OP.

∵EP＝EG，

∴∠EGP＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，

∴∠EPG＝∠BGF.∵OP＝OB，

∴∠OPB＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BGF＋∠OBP＝90°.

∴∠EPG＋∠OPB＝90°，即∠EPO＝90°.∴直線EP為⊙O的切線．

(2)證明：連接OG，AP.∵BG2＝BF·BO，∴BG/BO＝BF/BG

又∵∠GBF＝∠OBG，∴△BFG∽△BGO.

∴∠BGF＝∠BOG，∠BGO＝∠BFG＝90°.

∵∠APB＝∠OGB＝90°，∴OG∥AP.又∵AO＝BO，∴BG＝PG.

13．如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA＝6，OB＝8，半徑為2的動圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒(0＜t≤5)以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB，OA的交點(diǎn)分別為C，D，連接CD，QC.

(1)當(dāng)t為何值時，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？

(2)當(dāng)⊙Q經(jīng)過點(diǎn)A時，求⊙P被OB截得的弦長；

(3)若⊙P與線段QC只有一個公共點(diǎn)，求t的取值范圍．