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數(shù)學(xué)研究對象一直以來主要集中在數(shù)量關(guān)系和空間形式兩個(gè)方面，通俗的說，數(shù)學(xué)就是“做”關(guān)于“數(shù)”與“形”兩者之間的事情。
基于數(shù)學(xué)這個(gè)本質(zhì)的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)這個(gè)大家庭里最重要、最古老的數(shù)學(xué)思想方法之一。
在小學(xué)時(shí)期，雖然數(shù)學(xué)教育沒有對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行針對性的教學(xué)訓(xùn)練，但在很多數(shù)學(xué)內(nèi)容里都蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合的思想。如小學(xué)生最開始通過具體物品的數(shù)量變化，來消化和理解加減乘除等基本運(yùn)算。
進(jìn)入初中之后，教材才正式給出數(shù)形結(jié)合這一重要思想方法，也是中考數(shù)學(xué)重要和熱門考點(diǎn)。如要想掌握好函數(shù)相關(guān)知識內(nèi)容，就必須把函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行相結(jié)合，才能真正理解函數(shù)這一重要知識內(nèi)容；或是學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容，需要把基本的幾何圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，把圖形語言轉(zhuǎn)化成具體的數(shù)學(xué)語言等。
特別是進(jìn)入高中之后，這些變化對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)等都提出了挑戰(zhàn)。很多考生經(jīng)常會(huì)說，為什么我做了那么多題目，還是考不出好成績？關(guān)鍵就是沒有認(rèn)真去消化和理解數(shù)學(xué)思想方法，解題沒有結(jié)合具體思想方法；或解題反思只是反思解題技巧，卻對數(shù)學(xué)思想方法沒有進(jìn)行反思總結(jié)等。
因此，為了能更好幫助高考生應(yīng)對高考數(shù)學(xué)，為自己將來考上理想的學(xué)校打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，今天我們就一起來講講數(shù)形結(jié)合思想。
那么什么是數(shù)形結(jié)合思想？
所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決具體數(shù)學(xué)問題的思想方法，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題通過數(shù)形結(jié)合變得簡單，最終得到解決。
我們把數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行細(xì)致化，可以從這兩個(gè)方面去理解：
1、數(shù)形結(jié)合思想中的“數(shù)”主要是指數(shù)和數(shù)量關(guān)系；
2、“形”主要是指圖形，有點(diǎn)、線、面、體等。
高考數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想方法，典型例題分析1：
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C.
(1) 求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2) 求圓C的方程；
(3) 問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論．
解：令x＝0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0，實(shí)數(shù)b的取值范圍是b∈(－∞，0)∪(0,1)．
(2) 解：設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0這與x2＋2x＋b＝0 是同一個(gè)方程，
故D＝2，F(xiàn)＝b.
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，
此方程有一個(gè)根為b，
代入得出E＝―b―1.
所以圓C 的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3) 證明：假設(shè)圓C過定點(diǎn)(x0，y0)，(x0，y0不依賴于b)，
將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，
并變形為x02＋y02＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0 (*)
為使(*)式對所有滿足b＜1(b≠0)的b都成立，
必須有1－y0＝0，
結(jié)合(*)式得
x02＋y02＋2x0－y0＝0，
解得x0=0，y0=1；或x0=-2，y0=1
經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)(0,1)，(－2,0)均在圓C上，
因此圓C 過定點(diǎn)。
很多學(xué)生都知道數(shù)形結(jié)合思想，但對如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決問題，卻不是很清楚。要想準(zhǔn)確、高效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決實(shí)際問題，一定要理解數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)上就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。
具體來說，運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想解決實(shí)際問題，需要掌握這兩個(gè)方面的解題策略：
1、學(xué)會(huì)用“以形助數(shù)”，把抽象問題具體化；
2、“以數(shù)解形”，把直觀圖形數(shù)量化，使“形”更加精確。
數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更是解決數(shù)學(xué)問題的一種策略和思想，或是一種重要的方法，因而在歷年全國高考數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位。
高考數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想方法，典型例題分析2：
設(shè)f(x)＝－x3/3＋x2/2＋2ax.
(1) 若f(x)在（2/3，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2) 當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f(x)在[1,4]上的最小值為－16/3，求f(x)在該區(qū)間上的最大值．
具體來說，要想在具體問題中抓住數(shù)形結(jié)合，可以從以下四個(gè)方面入手：
1、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對應(yīng)；
2、函數(shù)與圖象的對應(yīng)；
3、曲線與方程的對應(yīng)；
4、以幾何元素及幾何條件為背景，通過坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)的對應(yīng)，有復(fù)數(shù)、三角、空間點(diǎn)的坐標(biāo)等。
熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，可以很直觀幫助我們?nèi)ソ鉀Q具體的數(shù)學(xué)問題，如在解決高考數(shù)學(xué)填空題、選擇題這些客觀題時(shí)候，數(shù)形結(jié)合思想就有直觀、簡單、快捷等特點(diǎn)。即使是面對高考數(shù)學(xué)解答題，最終的解題過程我們都需要借用具體、嚴(yán)密、推理的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，而圖形只是輔助手段。
高考數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想方法，典型例題分析3：
已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是12.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 是否存在自然數(shù)m使得方程f(x)＋37/x＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出m值；若不存在，說明理由．
解：(1) ∵ f(x)是二次函數(shù)，且f(x)＜0的解集是(0,5)，
∴ 可設(shè)f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．
∴ f(x)在區(qū)間[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知，得6a＝12，
∴ a＝2，
∴ f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2) 方程f(x)＋37/x＝0等價(jià)于方程2x3－10x2＋37＝0.
設(shè)h(x)＝2x3－10x2＋37，
則h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
當(dāng)x∈（0,10/3）時(shí)，
h′(x)＜0，h(x)是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（10/3，+∞）時(shí)，
h′(x)＞0，h(x)是增函數(shù)．
∵ h(3)＝1＞0，
h（10/3）＝－1/27＜0，h(4)＝5＞0，
∴ 方程h(x)＝0在區(qū)間（3,10/3）,（10/3，4）內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3)，(4，＋∞)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在唯一的自然數(shù)m＝3，使得方程f(x)＋37/x＝0在區(qū)間(m，m＋1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。
數(shù)學(xué)思想方法，對于很多人來說好像是虛無縹緲的存在。實(shí)際上，只要認(rèn)真去對待每一道題目，不斷提煉解題方法和技巧，學(xué)會(huì)總結(jié)反思，結(jié)合習(xí)題訓(xùn)練，慢慢就能感受和學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。
高考數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想方法，典型例題分析4：
已知函數(shù)f(x)＝x2/2－alnx(a∈R)．
(1) 若函數(shù)f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值；
(2) 若函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
(3) 討論方程f(x)＝0的解的個(gè)數(shù)，并說明理由．
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