一、概述
本次課題會與“人教A版”高中數(shù)學課標教材實驗經(jīng)驗交流會同時舉行．與會代表除課題組成員外，還有人教A版高中數(shù)學教材試驗區(qū)的教研員、教師代表，晉中市高中數(shù)學教師等400多人．
本次會議的主題是“統(tǒng)計、概率的教育價值”．會議以“隨機抽樣”（必修）和“離散型隨機變量”（選修）為載體，圍繞“統(tǒng)計、概率的教育價值”、“章起始課的教學”、“概念教學”等核心話題，對課標教材實施中的課堂教學改革開展研討，并結(jié)合高中數(shù)學教改實踐中反映出的問題，研討進一步深化數(shù)學教育改革、提高課堂教學質(zhì)量的問題．
本次會議的過程再一次表明，貫徹“凸現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，強化概念教學，全面實現(xiàn)數(shù)學課程的育人價值”的核心理念，在“理解數(shù)學，理解學生，理解教學”的基礎(chǔ)上開展教學設(shè)計和課堂教學的實踐研究，是一項長期的任務(wù)．而統(tǒng)計、概率的教學研究，由于我國以往中學數(shù)學課程中，統(tǒng)計與概率的地位沒有得到應(yīng)有的重視，一些基本問題還沒有得到解決，因此更是任重道遠．
二、統(tǒng)計與概率的教育價值
眾所周知，統(tǒng)計是研究數(shù)據(jù)的收集、整理、分析的學科；概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科．信息化社會中，有助于生產(chǎn)、生活、商業(yè)、政治、研究等各種活動中決策的數(shù)據(jù)和信息量成倍增長．例如，通過市場調(diào)查決定生產(chǎn)的規(guī)模和銷售模式，通過顧客調(diào)查決策產(chǎn)品的研發(fā)方向，通過民意調(diào)查幫助政府部門決策醫(yī)改方案，通過藥物試驗評價新藥的有效性和安全性等．當然，還有一些誤導(dǎo)人們對某些事情的判斷的“統(tǒng)計”．例如，有些部門利用信息不對稱，常常以“與世界接軌”為幌子，發(fā)布一些片面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，錯誤地表述某些資源、商品的“國際價格”，以達到其“漲價有理”的目的．所有這些都表明，要想成為見多識廣的公民和明智的消費者，就必須具備統(tǒng)計和概率方面的基礎(chǔ)知識．否則，面臨一些似是而非的問題時，就只能“跟著感覺走”，一定會失之于決策的盲目性，不是無所適從就是上當受騙．所以，從理念上講，統(tǒng)計與概率的教育價值是容易被廣泛接受的．
難點其實還是在把統(tǒng)計的思維方式落實在日常教學活動中．這就要求廣大數(shù)學教育工作者真正認識統(tǒng)計方法的重要意義，并努力學習符合統(tǒng)計與概率學科特點的教學方法．具體而言，如下兩點顯得特別重要：
第一，加深對統(tǒng)計與概率的學科特點的認識，要特別重視其實踐的精神、應(yīng)用的取向．實際上，“統(tǒng)計學的應(yīng)用和方法研究上一直占主流的地位”．不過，也正因為這一點，使得高考評價上難以對統(tǒng)計與概率的學習水平進行有效考核，常常采用代數(shù)、幾何的考查方法，因而淪為“考算術(shù)”．在高考指揮棒決定教學的今天，這種“導(dǎo)向”使統(tǒng)計與概率的教學出現(xiàn)很大偏差．因此，統(tǒng)計、概率的教學，特別需要我們克服應(yīng)試教育的功利性，樹立提高學生的統(tǒng)計素養(yǎng)，為學生的終身發(fā)展打基礎(chǔ)的素質(zhì)教育思想．
另一方面，一般情況下，統(tǒng)計的結(jié)果具有“可錯性”，而且沒有唯一性，不存在公認的最優(yōu)解．統(tǒng)計的方法也有多樣性，我們可以給出在某種條件下(如一定誤差范圍內(nèi))、在某種標準下有優(yōu)良性的方法．但在具體問題中，這種條件是否滿足，所設(shè)的優(yōu)良性準則是否恰當，往往有疑問．因此，統(tǒng)計結(jié)果的好壞一般要經(jīng)過實踐的考驗．這一特點正是統(tǒng)計的教育價值所在，但卻使得已經(jīng)習慣了確定性思維的老師們感到很不適應(yīng)．
第二，基于統(tǒng)計與概率的實踐品質(zhì)和應(yīng)用取向，它對培養(yǎng)學生的實踐能力和“用數(shù)據(jù)說話”的理性精神是其他學科無法替代的．教學中，需要通過實際問題情境，讓學生學習隨機抽樣、樣本估計總體、線性回歸等統(tǒng)計的基本方法，體會用樣本估計總體及其特征的思想；通過解決實際問題，讓學生較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過程，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異；通過實際問題，讓學生經(jīng)歷根據(jù)具體問題選擇和建立適當?shù)母怕誓Ｐ偷倪^程，加深對隨機現(xiàn)象的理解，學會通過實驗、計算器（機）模擬估計簡單隨機事件發(fā)生的概率．統(tǒng)計與概率的學科特點決定了它的教學方式必須以學生的自主活動為主，課堂上只要講清概念和方法，把更多的時間留給學生，特別是要讓學生有機會去解決具有真實性的應(yīng)用課題，親自動手處理數(shù)據(jù)，還要盡可能地使用軟件在計算機上完成．不過，這也使得習慣于一切問題解決于課堂的老師們感到力不從心．
三、關(guān)于章起始課的教學
總的來看，章起始課的教學研究沒有引起廣大教師應(yīng)有的重視．大量的課堂觀察表明，大多數(shù)教師都急于做“更實惠”的事情，特別是“多做幾個題目”讓老師感到更踏實．當然，就目前的課堂實踐看，不會教“章起始課”的情況是普遍的．因此，本次會議明確提出“章起始課的教學研究”，具有現(xiàn)實意義．從陶維林、金克勤、薛紅霞、王嶸等老師的反思文章看，課題組成員已經(jīng)開始在這個問題上有了思考．
從會上會下的研討中發(fā)現(xiàn)，許多老師上好“章起始課”的意識不強．因此，提高對這類課的地位和作用的認識是當務(wù)之急．我們認為，“章起始課”在一章的教學中處于“先行組織者”地位．至少有如下作用：
（1）提供本章的學習框架和基本線索，提高課堂教學的思想性；
（2）通過提供與本章內(nèi)容密切相關(guān)的、包容范圍廣但容易理解和記憶的引導(dǎo)性材料，幫助學生建立有意義學習的心向；
（3）增強學生學習的自覺性、主動性，避免學習的盲目性，使學生對學習進程心中有數(shù)；
（4）激活學生認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識，增強本章要學的新知識與已有相關(guān)知識間的聯(lián)系性，在“已經(jīng)掌握的知識”與“需要掌握的知識”間架起一座溝通的橋梁；
（5）增強新知識與認知結(jié)構(gòu)中那些類似的知識間的可辨別性，防止知識之間的相互干擾．
因此，章起始課要把讓學生明確本章內(nèi)容研究的基本套路作為重要的教學目標．作為“起始”，必須要有“交代問題背景、引入基本概念、構(gòu)建研究藍圖”的大氣．一般地，章起始課不對知識的具體細節(jié)作追究，重點是描述本章的內(nèi)容框架及其反映的思想方法，使學生明確本章研究的“路線圖”，讓學生感受本章數(shù)學概念產(chǎn)生、發(fā)展的基本過程，體會研究數(shù)學問題的基本套路，進而提高提出問題、研究問題的能力．通過這樣的教學，達到使學生學會學習、學會研究的目的，從而有利于數(shù)學育人．
當然，不同的教學內(nèi)容應(yīng)該有不同的章起始課的處理，這方面陶維林老師的研究已經(jīng)有了一個很好的開端．對于“統(tǒng)計”的章起始課，王嶸老師的思考值得借鑒．也許有人認為，學生在初中已經(jīng)歷過統(tǒng)計的完整過程，只是其認識尚淺需要深入，因此在高中要進一步學習．如果以構(gòu)建本章學習“路線圖”為目的，那么極大的可能是重復(fù)初中知識．這種觀點似乎有理，但仔細思考后就會發(fā)現(xiàn)，這是因為對統(tǒng)計的學科特點理解不深所致．正如程海奎教授指出的，統(tǒng)計學習的重點和難點是統(tǒng)計思想．各種抽樣方法、數(shù)據(jù)處理的操作過程并不困難，難的是面臨一個統(tǒng)計問題時，如何根據(jù)問題的具體特點設(shè)計適當?shù)某闃臃椒?，以獲得能更好地反映總體的樣本數(shù)據(jù)．因此，在本章的章起始課中，借助一定的問題情境（吳寅靜老師設(shè)計的近視率調(diào)查問題是可用的），讓學生經(jīng)歷從問題的提出、抽樣方案的設(shè)計、數(shù)據(jù)的收集和整理直到“用樣本估計總體”的過程，是體現(xiàn)統(tǒng)計學科特點的教學方式．在這個過程中，讓學生回顧初中已有知識，設(shè)計抽樣方法，概括“統(tǒng)計”的主要內(nèi)容和學習的路線圖．當然，我們也可以讓學生提出“統(tǒng)計問題”，老師采取“追問”的辦法，既引導(dǎo)學生回顧已學知識，又讓學生感受到存在更復(fù)雜的統(tǒng)計問題，形成進一步學習統(tǒng)計知識的心理需求．
四、關(guān)于“離散型隨機變量”的概念理解
從“離散型隨機變量”研究課的設(shè)計、教學以及課后研討過程看，特別典型地說明了教師自己正確地理解概念對于數(shù)學教學的根本意義．關(guān)于這一課的教學設(shè)計，田載今老師的方案值得一試，因為他的設(shè)計確實體現(xiàn)了統(tǒng)計與概率的“應(yīng)用和方法為先”的學科特點；程?？淌诘慕虒W難點分析和教學建議為我們指明了改進教學的努力方向；張唯一老師提出的兩個需要注意的問題也是老師們在教學中需要關(guān)注的，實際上也是概念理解的問題．這里我們從知識背景角度，給大家提供一個理解“離散型隨機變量”的“高觀點”．
（1）概率空間知識簡介
用Ω表示一個隨機現(xiàn)象的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（這里指的是那些互斥的“最小結(jié)果”，在古典概型中它是基本事件全體，詳見[1]第19~20頁定義2.1.1）；用表示所有事件全體，稱之為事件類；
表示概率．稱
為概率空間．在數(shù)學上，要求事件類
對于事件的可數(shù)次運算封閉，概率是一種從到閉區(qū)間 [0，1]上的映射（滿足概率的三條公理，詳見[1]29頁,定義2.2.1）．
概率空間是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)學基礎(chǔ)．不同隨機現(xiàn)象對應(yīng)的概率空間會有所不同．
例1 在投硬幣實驗中：
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例2 在燈泡壽命研究中，若壽命不小于5000小時為合格品，小于5000小時為不合格品，則：
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上述兩例，表面上所研究的概率空間有所不同，但它們的本質(zhì)是一樣的．如果把“正面”對應(yīng)“合格”，“反面”對應(yīng)“不合格”，兩者就可以相互轉(zhuǎn)化了．
進一步地，若?。?/span>
，
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，
則那些只有兩個不同結(jié)果的隨機現(xiàn)象都可以通過概率空間來研究．在這個概率空間中，所有結(jié)果都是實數(shù)，所有事件都是實數(shù)組成的集合．這樣，我們就可以利用現(xiàn)代數(shù)學工具來研究其性質(zhì)了．此時，隨機現(xiàn)象的研究轉(zhuǎn)化成了分布函數(shù)、特征函數(shù)、母函數(shù)等的研究（詳見[1]第39頁2.3.1節(jié)，第54頁2.4節(jié)；[2]第3.3節(jié)，第3.4節(jié)）．
對于一般的概率空間，我們也可以把它搬到實數(shù)空間上進行研究，思路是：
用實數(shù)表示Ω中的結(jié)果，用實數(shù)的集合表示事件，用分布函數(shù)刻畫事件的概率．
具體做法是：
對任意，用表示結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)．這樣得到一個從到的映射，稱為隨機變量（理論上，并不是所有的這種映射都是隨機變量，詳見[1]第40頁定義2.3.2）．
隨機變量是溝通抽象概率空間到實數(shù)概率空間的一座橋梁，它使我們可以用現(xiàn)代數(shù)學工具研究隨機現(xiàn)象．通過隨機變量，可以用實數(shù)表示隨機現(xiàn)象可能出現(xiàn)的結(jié)果，用實數(shù)集合表示事件（詳見[1]第41頁），用分布函數(shù)刻畫事件的概率（詳見[1]第42頁定義2.3.3，及43頁）．
值得注意的是，雖然可以通過把事件映射為實數(shù)（即通過）的方式來量化隨機現(xiàn)象，但這樣的量化結(jié)果過于復(fù)雜，掩蓋了結(jié)果和事件的關(guān)系，無助于隨機現(xiàn)象研究的簡化．例如，在擲骰子實驗中，結(jié)果有6個，即，涉及的事件有64個．若用實數(shù)表示所有事件，則需要64個不同的實數(shù)表示這些事件，結(jié)果需要我們研究這64個數(shù)所代表事件的概率．而用前述隨機變量的觀點研究擲骰子實驗的隨機變化規(guī)律，僅需用6個不同的數(shù)分別表示不同的點數(shù)（通常用點數(shù)作為隨機變量的值）．只需搞清楚這6個不同數(shù)所代表事件的概率，即只要把握了分布列，我們就可以利用概率的加法公式算出任何事件的概率．
因此，我們不能把隨機變量理解為從事件到實數(shù)的映射．
（2）“離散型隨機變量”的教學注意事項
本節(jié)教學應(yīng)注意如下事實：
第一，教科書中隨機試驗的“結(jié)果”是指基本事件，如“擲骰子”試驗中的“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”“6點”．所有的基本事件由那些互斥的“最小的事件”構(gòu)成，任何其他事件都能用基本事件表示．
第二，教科書給出的隨機變量的描述性定義為“像這種隨著試驗結(jié)果變化而變化的量稱為隨機變量”．結(jié)合教科書上的案例，這一定義易于理解．但不足之處是容易使學生將注意力專注于隨機試驗這樣一個背景，容易把“結(jié)果”誤解為一般的隨機事件．
第三，基于上述事實，教師要在教學中明確解釋“結(jié)果”的內(nèi)涵，以免誤解隨機變量的概念．還可通過問題“函數(shù)是一種映射，我們可以用這種觀點來看待隨機變量嗎？”引導(dǎo)學生通過與函數(shù)的類比，進一步理解隨機變量概念．
進一步地，教師要指出引入隨機變量的意義：將隨機現(xiàn)象可能出現(xiàn)的結(jié)果量化，即用隨機變量來表示，其作用是架起了與實數(shù)集之間的橋梁．這座橋梁使我們能用數(shù)學工具研究隨機現(xiàn)象．這里還可以點一下：后面我們將學習兩點分布、二項分布等概率模型，這些模型可以使同學們具體感受到通過隨機變量而建立的概率模型的應(yīng)用價值，以及數(shù)學在建立這類概率模型中所起的作用．
參考文獻：
①李勇，張淑梅. 統(tǒng)計學導(dǎo)論. 北京：中國郵電出版社，2007.
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