《高中生數(shù)學(xué)反思能力培養(yǎng)》課題組
提要 新課程要求學(xué)生能改進(jìn)學(xué)習(xí)方法,不斷反思自己的學(xué)習(xí),提高學(xué)習(xí)效率.反思能力需要培養(yǎng),反思方法可以掌握.反思能力必須而且可以通過(guò)有效的途徑、采用科學(xué)的方法并遵循一定的原則進(jìn)行培養(yǎng)；反思方法的掌握需要理論的指導(dǎo)和實(shí)踐的體驗(yàn).本課題于2005年被省教科所立項(xiàng),通過(guò)由點(diǎn)到面,在全校開(kāi)展了三年的研究,在教師反思性教學(xué)、學(xué)生反思性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,編輯了反思性教學(xué)論文、學(xué)生反思小論文、研討課教案幾百篇.研究的主要內(nèi)容有：
①讓高中生明確反思的作用,養(yǎng)成反思的習(xí)慣
②課堂教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣和能力
③高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中反思的途徑和方法
1 問(wèn)題的提出
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）指出：“豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法是高中數(shù)學(xué)課程追求的基本理念.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于對(duì)概念、結(jié)論和技能的記憶、模仿和接受,獨(dú)立思考、自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.”要改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法,讓每個(gè)學(xué)生充分發(fā)揮自己的潛能,最根本的是要培養(yǎng)學(xué)生的反思能力,幫助學(xué)生實(shí)施對(duì)自己學(xué)習(xí)過(guò)程的監(jiān)控,促進(jìn)學(xué)生對(duì)自己學(xué)習(xí)成效的反思,逐漸成為自律學(xué)習(xí)者.
《課標(biāo)》還指出：“現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人的發(fā)展的要求引起評(píng)價(jià)體系的深刻變化,高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)建立合理、科學(xué)的評(píng)價(jià)體系,包括評(píng)價(jià)理念、評(píng)價(jià)內(nèi)容、評(píng)價(jià)形式和評(píng)價(jià)體制等方面.評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果,也要關(guān)注他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程;既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平,也要關(guān)注他們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來(lái)的情感態(tài)度的變化.在數(shù)學(xué)教育中,評(píng)價(jià)應(yīng)建立多元化的目標(biāo),關(guān)注學(xué)生個(gè)性與潛能的發(fā)展.”“學(xué)生能力的獲得與提高是其自主學(xué)習(xí)、實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵,評(píng)價(jià)對(duì)此應(yīng)有正確導(dǎo)向.能力是通過(guò)知識(shí)的掌握和運(yùn)用水平體現(xiàn)出來(lái)的,因此對(duì)于能力的評(píng)價(jià)應(yīng)貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程與問(wèn)題的解決過(guò)程.” 從以上的說(shuō)明我們可知,教學(xué)評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注學(xué)生“能否不斷反思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程,并改進(jìn)學(xué)習(xí)方法”,但現(xiàn)在的事實(shí)是在我們的教學(xué)評(píng)價(jià)活動(dòng)中,教學(xué)活動(dòng)的主體——學(xué)生常常處于被動(dòng)的甚至被忽略的地位.他們依賴(lài)于教師的評(píng)價(jià),逐漸地喪失自信和自主,學(xué)習(xí)被動(dòng),缺乏個(gè)性,參與意識(shí)和參與能力不強(qiáng),動(dòng)手實(shí)踐能力差,缺乏創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力……這些問(wèn)題和現(xiàn)代教育是格格不入的.
如何解決以上問(wèn)題,發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的作用,實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代教育弘揚(yáng)人的主體性,充分發(fā)揮每個(gè)人的主觀能動(dòng)性,追求人的全面和諧、充分自由的發(fā)展的目的,是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育工作者面臨的一個(gè)重大課題.解決這一問(wèn)題的重要而有效的途徑之一,就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)反思訓(xùn)練,提高學(xué)生的反思能力.
2 反思與反思能力
《課標(biāo)》指出：“人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí),不斷地經(jīng)歷直觀感知,……反思與建構(gòu)等思維過(guò)程.這些過(guò)程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn),有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷.”同時(shí)提出,“教材的呈現(xiàn)應(yīng)為引導(dǎo)學(xué)生自主探索留有比較充分的空間,有利于學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等過(guò)程”.之所以把“反思”這一教學(xué)理念提到了應(yīng)有的高度,是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生反思能促使他們從新的角度,多層次、多側(cè)面地對(duì)問(wèn)題及解決問(wèn)題的思維過(guò)程進(jìn)行全面的考察、分析與思考,從而深化對(duì)問(wèn)題的理解揭示問(wèn)題的本質(zhì),探索一般規(guī)律,并進(jìn)而產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí).反思是發(fā)現(xiàn)的源泉,是訓(xùn)練思維、優(yōu)化思維品質(zhì)的極好方法,是促進(jìn)知識(shí)同化和遷移的可靠途徑.通過(guò)反思可以提高數(shù)學(xué)意識(shí),優(yōu)化思維品質(zhì);通過(guò)反思可以溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系,促進(jìn)知識(shí)的同化和遷移,提高學(xué)習(xí)效率;通過(guò)反思可以拓寬思路,優(yōu)化解法,完善思維過(guò)程;通過(guò)反思有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性,促使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)成為一種有目標(biāo)有策略的主動(dòng)行為,不斷的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題,解決問(wèn)題,從而培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神.
數(shù)學(xué)反思就是認(rèn)知者對(duì)自身數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程和結(jié)果的自我覺(jué)察、自我評(píng)價(jià)、自我探究、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié);而數(shù)學(xué)反思能力就是在數(shù)學(xué)反思活動(dòng)過(guò)程中反映出來(lái)的一種穩(wěn)定的個(gè)性心理特征,是元認(rèn)知在數(shù)學(xué)思維中發(fā)揮作用的基本形式.因此數(shù)學(xué)反思能力就是認(rèn)知者在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中對(duì)自己數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程的自我意識(shí)、自我評(píng)價(jià)、自我探究、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的能力.它是以反思的體驗(yàn)、反思的知識(shí)和反思的技能為基礎(chǔ),并在對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程的評(píng)價(jià)、控制和調(diào)節(jié)中顯示出來(lái)的高層次思維活動(dòng),它對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)起指導(dǎo)、支配、決定、監(jiān)控的作用.
數(shù)學(xué)反思能力是元認(rèn)知能力,它與數(shù)學(xué)觀察能力、數(shù)學(xué)記憶能力、數(shù)學(xué)化能力、數(shù)學(xué)思維能力、空間想象能力等認(rèn)知能力不同,但與歸納猜想、合情推理、演繹證明、理性思維和理論建構(gòu)等能力之間有密切的聯(lián)系.數(shù)學(xué)反思能力與其他數(shù)學(xué)能力是統(tǒng)一在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的一種相互促進(jìn)、互為基礎(chǔ)的關(guān)系,一方面,數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的發(fā)展為數(shù)學(xué)反思能力的發(fā)展提供了基礎(chǔ).只有具備了很強(qiáng)的數(shù)學(xué)觀察、記憶、理解、思維能力,才能提高對(duì)問(wèn)題情景中各種線(xiàn)索的敏感度,抓住反思的機(jī)會(huì),及時(shí)調(diào)節(jié)思維的方向,對(duì)各種解決問(wèn)題的策略進(jìn)行權(quán)衡、預(yù)見(jiàn),從而提高控制水平,豐富元認(rèn)知知識(shí),加深元認(rèn)知體驗(yàn).數(shù)學(xué)思維力的發(fā)展特別是抽象思維能力的發(fā)展,極大地豐富了學(xué)生反思的技能,為提高學(xué)生的反思水平和預(yù)見(jiàn)能力打下了基礎(chǔ);數(shù)學(xué)化能力的發(fā)展為反思提供了更廣闊的空間和更多的機(jī)會(huì).另一方面,數(shù)學(xué)反思能力通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的調(diào)控間接地促進(jìn)其他數(shù)學(xué)能力的發(fā)展,數(shù)學(xué)反思能力的發(fā)展,提高了認(rèn)知效率,縮短了認(rèn)知時(shí)間.因而弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的核心和動(dòng)力”.
3 反思性教學(xué)引導(dǎo)反思性學(xué)習(xí)
《課標(biāo)》指出：“在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師的講授仍然是重要的教學(xué)方式之一,但要注意的是必須關(guān)注學(xué)生的主體參與,師生互動(dòng).高中數(shù)學(xué)課程在教育理念、學(xué)科內(nèi)容、課程資源的開(kāi)發(fā)利用等方面都對(duì)教師提出了挑戰(zhàn).在教學(xué)中,教師應(yīng)根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程的理念和目標(biāo),學(xué)生的認(rèn)知特征和數(shù)學(xué)的特點(diǎn),積極探索適合高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)方式.教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的人格和學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的差異,采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的過(guò)程中,激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成積極探索的態(tài)度,勤奮好學(xué)、勇于克服困難和不斷進(jìn)取的學(xué)風(fēng).” 但在實(shí)際教學(xué)中,我們發(fā)現(xiàn),教師大都采用傳統(tǒng)的方法上課,對(duì)概念、公式的講解非常細(xì)致,想做到點(diǎn)滴不漏,但在解決問(wèn)題時(shí)往往容易忘記有關(guān)的要求,教學(xué)效果并不理想.究其原因,傳統(tǒng)教法是以傳授正確的知識(shí)為主,對(duì)知識(shí)的理解力求一步到位,很少暴露自己對(duì)問(wèn)題的思考過(guò)程,更少暴露通過(guò)反思錯(cuò)誤想法從中調(diào)整思路,最終解決這個(gè)問(wèn)題的思維過(guò)程;問(wèn)題的解法往往是選擇最簡(jiǎn)單的方法傳授,很少?gòu)膸追N不同的方法中去選擇、比較、反思.這樣的教學(xué)中,師生的交流很少,教師不示范反思的方法、技巧,學(xué)生沒(méi)有反思的機(jī)會(huì)和時(shí)間,也無(wú)法模仿學(xué)習(xí)反思,造成學(xué)生反思性情景知識(shí)的缺失.因此,要讓學(xué)生養(yǎng)成反思的習(xí)慣,首先需要教師進(jìn)行反思性教學(xué).
反思性教學(xué),即教學(xué)主體借助行動(dòng)研究,不斷探究解決自身與教學(xué)目的以及教學(xué)工具等方面的問(wèn)題,將“學(xué)會(huì)教學(xué)” 與“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)” 統(tǒng)一起來(lái),努力提升教學(xué)實(shí)踐合理性,使自己成為學(xué)者型教師的過(guò)程.反思性教學(xué)旨在幫助教師從沖動(dòng)的或例行的行為中解放出來(lái),以審慎的方式行動(dòng),在其職權(quán)范圍內(nèi),改進(jìn)自己的教學(xué)實(shí)踐,變成更富有創(chuàng)見(jiàn)、更有效率的行家.而這一切正是為了更好地發(fā)展學(xué)生.
具體而言,反思可能發(fā)生在行動(dòng)前或行動(dòng)后,即 “對(duì)行動(dòng)的反思”.在教學(xué)中,“對(duì)行動(dòng)的反思”發(fā)生在課前對(duì)課堂教學(xué)的思考和計(jì)劃上,或者發(fā)生在課后對(duì)課堂發(fā)生的一切的思考中.同樣,反思也可能發(fā)生在行動(dòng)過(guò)程中,教師通常也會(huì)有與情境的反思性對(duì)話(huà),也就是說(shuō),教師會(huì)試圖提出和解決當(dāng)時(shí)的問(wèn)題.在教學(xué)時(shí),我們經(jīng)常會(huì)碰到出乎意料的反應(yīng)和知覺(jué),我們總是要考慮對(duì)行動(dòng)和在行動(dòng)過(guò)程中反思,這就是“在行動(dòng)中的反思”.
3.1 反思性教學(xué)中“對(duì)行動(dòng)的反思”
3.1.1 反思數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)教學(xué)觀
現(xiàn)代教育呼喚具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神的人才.這就要求教師以人為本,要以發(fā)展的眼光對(duì)待學(xué)生,做到眼中有人,心中有人.“眼中有人”是指關(guān)注現(xiàn)在的學(xué)生,培養(yǎng)學(xué)生的自主性、主動(dòng)性和創(chuàng)造性,認(rèn)識(shí)并肯定學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中的主體地位,愛(ài)護(hù)尊重學(xué)生的自尊心與自信心,培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)自理能力,激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲,主動(dòng)參與性,要尊重學(xué)生的差異,不以同一標(biāo)準(zhǔn)去衡量學(xué)生,更不要以學(xué)生的分?jǐn)?shù)論英雄.“心中有人”是指教師更要關(guān)注將來(lái)的學(xué)生,課堂上不僅要傳授基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法,更重要的讓學(xué)生體會(huì)科學(xué)的探索與發(fā)現(xiàn);不僅要看結(jié)果,更要看探索結(jié)果的過(guò)程,要注意培養(yǎng)學(xué)生在探索結(jié)果的過(guò)程中學(xué)會(huì)科學(xué)的方法,體會(huì)數(shù)學(xué)的精神.要看以知識(shí)、技能為載體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)讓學(xué)生感悟到了多少,當(dāng)學(xué)生走出校門(mén),若干年后,當(dāng)他們遺忘了知識(shí)技能后在其身上留下了多少數(shù)學(xué)的精神、思想、方法.
教師也不應(yīng)以自己的觀點(diǎn)來(lái)影響學(xué)生的判斷.教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的鼓勵(lì)者和啟發(fā)者,課堂應(yīng)成為學(xué)生相互交流,協(xié)商爭(zhēng)辯的理想場(chǎng)所,教師要多鼓勵(lì)學(xué)生提出“為什么？”“做什么？”怎樣做？”鼓勵(lì)學(xué)生敢于反駁,挑戰(zhàn)權(quán)威,挑戰(zhàn)課本,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.
那么,反思數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀在具體的教學(xué)中應(yīng)如何體現(xiàn)出來(lái)呢？下面是課題組萬(wàn)平方老師執(zhí)教《雙曲線(xiàn)的概念》的教學(xué)片斷,可供參考.
問(wèn)題:定圓 內(nèi)含于定圓 ,當(dāng)圓 與圓 外切而于與圓 內(nèi)切時(shí). 圓 的圓心 的軌跡是橢圓.那么兩圓相交時(shí)圓心 的軌跡是什么呢?兩圓相離時(shí)呢?
(用《幾何畫(huà)板》引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，從而提出課題)
(1)演示：引導(dǎo)學(xué)生觀察用《幾何畫(huà)板》作出的雙曲線(xiàn)圖象,思考以下問(wèn)題.
①|(zhì)MF1|與|MF2|是什么關(guān)系？如何表示？
②||MF1|-|MF2||與|F1F2|有何關(guān)系？
（請(qǐng)學(xué)生回答：應(yīng)小于| F1F2| 且大于零,當(dāng)常數(shù)等于| F1F2| 時(shí),軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線(xiàn);當(dāng)常數(shù)大于| F1F2| 時(shí),無(wú)軌跡）
(2)定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于<| F1F2|）的點(diǎn)軌跡叫做雙曲線(xiàn),這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距.（投影）
(3)它與橢圓定義比較有何區(qū)別和聯(lián)系？
（在橢圓定義中,有三角形兩邊之和大于第三邊的要求,而雙曲線(xiàn)的定義中應(yīng)滿(mǎn)足三角形的兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊的要求）
前面所學(xué)的知識(shí)中哪些知識(shí)的關(guān)系和橢圓與雙曲線(xiàn)的關(guān)系類(lèi)似？能否借鑒研究橢圓的方法來(lái)研究雙曲線(xiàn)？（引導(dǎo)學(xué)生用研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來(lái)研究雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程）
點(diǎn)評(píng) 上面的教學(xué)重視了知識(shí)的發(fā)生過(guò)程,讓學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦的探索過(guò)程中感受了數(shù)學(xué)的神奇,體會(huì)了發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣,感悟了數(shù)學(xué)的本質(zhì).恰當(dāng)?shù)厥褂矛F(xiàn)代化的教育技術(shù)和手段,充分展示幾何軌跡的動(dòng)態(tài)效果, 讓學(xué)生動(dòng)起來(lái),使數(shù)學(xué)課堂“動(dòng)”起來(lái).首先說(shuō)明“一定圓與兩個(gè)內(nèi)含的定圓中的一個(gè)外切、一個(gè)內(nèi)切”的軌跡是橢圓,再提出“一定圓與兩個(gè)外離的定圓中的一個(gè)外切、一個(gè)內(nèi)切”的軌跡是什么.由于這個(gè)提問(wèn)不同于課本,會(huì)引起學(xué)生的反思.同時(shí)不容易畫(huà)的軌跡圖形,更激發(fā)了學(xué)生探索的欲望.《幾何畫(huà)板》不失時(shí)機(jī)地展示,把抽象的思維形象地表示出來(lái),靜態(tài)的數(shù)學(xué)“動(dòng)”了起來(lái);同時(shí)從學(xué)生已有的知識(shí)進(jìn)行遷移,采用類(lèi)比的方法讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作交流,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過(guò)程,也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力. 由于“雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程”與“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”在教材地位、作用以及內(nèi)容等方面極其相似,所以可以類(lèi)比研究“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的方法來(lái)研究“雙曲線(xiàn)及其標(biāo)準(zhǔn)方程”,為學(xué)生反思提供了方法.同時(shí),類(lèi)比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程猜想雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程也激發(fā)了學(xué)生的求知欲.用類(lèi)比的方法研究雙曲線(xiàn)的定義,使學(xué)生研究“常數(shù)”與“兩定點(diǎn)的距離”的關(guān)系導(dǎo)致圖形的變化,也讓學(xué)生學(xué)到反思的方法.
教學(xué)理念的反思即教師可以就其中涉及的教學(xué)理論問(wèn)題進(jìn)行思考,也可以從教學(xué)問(wèn)題本身的研究入手,挖掘隱藏在其背后的教學(xué)理念方面的種種問(wèn)題,如：“我以這樣的理論為指導(dǎo)的教學(xué)是有效的嗎？”,“我學(xué)會(huì)了什么？需要改進(jìn)些什么？”等.
3.1.2 反思數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)設(shè)計(jì)反思不是一般的回顧教學(xué)設(shè)計(jì)情況,而是深究先前的教學(xué)設(shè)計(jì)中存在的問(wèn)題,對(duì)不合理的行為和思維方式進(jìn)行變革,重新設(shè)計(jì)教學(xué)方案.它包括以下方面：對(duì)教學(xué)目標(biāo)的反思,對(duì)教學(xué)內(nèi)容的反思,對(duì)教學(xué)方法的反思.在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí),可自我提問(wèn)：“了解學(xué)生的實(shí)際情況嗎？”;“上課前,學(xué)生已有哪些生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備？”,“了解了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)嗎？” ,“怎樣依據(jù)有關(guān)理論和教材,并結(jié)合學(xué)生的實(shí)際設(shè)計(jì)出易于為學(xué)生理解的教學(xué)方案？”預(yù)見(jiàn)學(xué)生在接受新知識(shí)時(shí)會(huì)出現(xiàn)哪些問(wèn)題,出現(xiàn)問(wèn)題又該如何處理等,這種反思能使教學(xué)成為一種自覺(jué)的實(shí)踐.在教學(xué)結(jié)束后,可結(jié)合各方面的教學(xué)信息反饋,整理教學(xué)思路,對(duì)自己前一節(jié)或幾節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)行為以及教學(xué)效果做出分析與思考,分析判斷在教學(xué)中所確定的教學(xué)目標(biāo)是否明確,重點(diǎn)是否突出、難點(diǎn)是否突破,選擇的教學(xué)內(nèi)容、采用的教學(xué)形式及在教學(xué)過(guò)程中的具體指導(dǎo)策略是否合適,還有哪些亟待解決的遺留問(wèn)題…這種反思能使教學(xué)經(jīng)驗(yàn)理論化.
3.1.3 反思數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程
數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程包括教師、學(xué)生、教材三個(gè)要素,它們之間相互聯(lián)系、相互影響、相互制約.反思數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程,就是要深究教學(xué)過(guò)程中諸因素之間的相互聯(lián)系、相互作用中存在的問(wèn)題,并對(duì)此提出修正意見(jiàn),以提高教學(xué)質(zhì)量和保證教學(xué)任務(wù)的完成.教師反思數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程得失的渠道來(lái)自于兩個(gè)方面：一是來(lái)自于教師本身,教師要在課后總結(jié)自己本節(jié)課的精彩點(diǎn)在何處,有無(wú)創(chuàng)新點(diǎn)和讓學(xué)生看好的“賣(mài)點(diǎn)”,以及這節(jié)課最大的失敗是什么,出乎意料的是什么,為什么自己事先沒(méi)有想到等等;二是來(lái)自于學(xué)生,教師要在教學(xué)后向?qū)W生發(fā)放簡(jiǎn)潔的問(wèn)卷,讓學(xué)生填寫(xiě)本節(jié)課最贊成的是什么,最不贊成的是什么,期望教師作出哪些改進(jìn),以及認(rèn)為本節(jié)課老師的課堂行為能夠得多少分等等.
3.1.4 反思教學(xué)評(píng)價(jià)
教學(xué)評(píng)價(jià)包括兩個(gè)方面,一是按照《課標(biāo)》的要求評(píng)價(jià)學(xué)生.評(píng)價(jià)學(xué)生“既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果,也要關(guān)注他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程;既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平,也要關(guān)注他們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來(lái)的情感態(tài)度的變化.在數(shù)學(xué)教育中,評(píng)價(jià)應(yīng)建立多元化的目標(biāo),關(guān)注學(xué)生個(gè)性與潛能的發(fā)展.”二是評(píng)價(jià)教師的教學(xué)效果.評(píng)價(jià)的前提是及時(shí)進(jìn)行教學(xué)反饋,反饋學(xué)生學(xué)習(xí)情況.可通過(guò)多種方式對(duì)自己的教學(xué)效果進(jìn)行檢查,檢查的目的在于了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果,從而提出自己改進(jìn)的建議,不論檢查什么內(nèi)容,都包含著對(duì)自己教學(xué)的反思.這種反思包括以下幾個(gè)方面：學(xué)生完成教學(xué)目標(biāo)的情況,學(xué)生學(xué)習(xí)中的得失表現(xiàn),造成得失的原因,大部分學(xué)生在內(nèi)容掌握上存在的一致性?xún)A向,自己解決這些問(wèn)題的方法和措施.
3.2 反思性教學(xué)中“在行動(dòng)中的反思”
在教學(xué)中進(jìn)行“在行動(dòng)中的反思”,關(guān)鍵就是“以學(xué)定教”,即以學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)確定教師的教學(xué)行為.如何進(jìn)行“在行動(dòng)中的反思”？我們認(rèn)為可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：
第一,要“接觸學(xué)習(xí)者真實(shí)的言行”.在探索的過(guò)程中要充分暴露教師與學(xué)生的思維過(guò)程（包括成功的體驗(yàn)與失敗的教訓(xùn)）,暴露教材編寫(xiě)者的意圖,教材的先后序列關(guān)系與整體結(jié)構(gòu).如《對(duì)數(shù)》的教學(xué)中,學(xué)生普遍反映學(xué)習(xí)后仍不知道“對(duì)數(shù)”為何物,如何讓學(xué)生理解“對(duì)數(shù)”的概念呢？行之有效的方法是將對(duì)數(shù)納入整個(gè)運(yùn)算系統(tǒng),將“對(duì)數(shù)”視作一種運(yùn)算.但是教材上沒(méi)有出現(xiàn)“運(yùn)算”二字,只是后一節(jié)才提出“對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”,這就需要教師暴露教材編寫(xiě)者的意圖,在“對(duì)數(shù)”這節(jié)中提出“對(duì)數(shù)”是一種運(yùn)算,學(xué)生將“對(duì)數(shù)”納入整個(gè)運(yùn)算系統(tǒng)后,就找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),就可以類(lèi)比其它運(yùn)算來(lái)認(rèn)識(shí)“對(duì)數(shù)”運(yùn)算.
第二,要重視行動(dòng)中的“不確定地帶”,給它留有充足的空間.備課時(shí),盡管教師會(huì)預(yù)備好各種不同的學(xué)習(xí)方案,但在實(shí)際教學(xué)中,還是會(huì)遇到一些意想不到的問(wèn)題,如學(xué)生不能按計(jì)劃時(shí)間回答問(wèn)題,師生之間、同學(xué)之間出現(xiàn)爭(zhēng)議,出現(xiàn)了新的思路和解法等,這時(shí),教師要根據(jù)學(xué)生的反饋信息,反思“為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題,我如何調(diào)整教學(xué)計(jì)劃,采取怎樣的有效策略與措施”,從而順著學(xué)生的思路組織教學(xué),力求教學(xué)沿著更好的方向發(fā)展,這種反思能使教學(xué)高質(zhì)高效地進(jìn)行.課題組吳祖凱老師的論文《順著學(xué)生思維走 尷尬一次也無(wú)妨——一道例題的教后反思》（在《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2006年第4期上發(fā)表）能很好地說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題,他由課堂上的一次“尷尬”認(rèn)識(shí)到了“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人,學(xué)生一時(shí)的數(shù)學(xué)靈感,哪怕是錯(cuò)誤的,它對(duì)教師的思維都是一次洗禮,一次沖擊,它會(huì)使教師的思維在瞬間得到升華.“師不必賢于弟子”.順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展,對(duì)教師的課堂教學(xué)有時(shí)是啟迪,有時(shí)是完善,有時(shí)是探討,有時(shí)挑戰(zhàn),有時(shí)甚至是否定.坦然面對(duì)“意外”,課后認(rèn)真去思考總結(jié),無(wú)疑可以提高教師的教學(xué)水平,同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑問(wèn)難的學(xué)習(xí)品質(zhì)是很好的培養(yǎng).教學(xué)結(jié)果是師生雙贏. ”
第三,讓“預(yù)設(shè)”與“生成”共精彩.從學(xué)生發(fā)展角度來(lái)說(shuō),既需要預(yù)設(shè)性發(fā)展,也需要生成性發(fā)展.所謂預(yù)設(shè)性發(fā)展是指可預(yù)知的發(fā)展,即從已知推出未知,從已有的經(jīng)驗(yàn)推出未來(lái)的發(fā)展;所謂生成性發(fā)展是指不可預(yù)知的發(fā)展,即這種發(fā)展不是靠邏輯可以推演出來(lái)的,在教學(xué)中,它往往表現(xiàn)為“茅塞頓開(kāi)”、“豁然開(kāi)朗”、“怦然心動(dòng)”、“妙不可言”;表現(xiàn)為心靈的共鳴和思維的共振;表現(xiàn)為內(nèi)心的澄明與視界的敞亮.
第四,總結(jié)和提煉教學(xué)經(jīng)驗(yàn).一個(gè)教師在自己漫長(zhǎng)的教學(xué)生涯中,不能說(shuō)沒(méi)有教育教學(xué)理論的學(xué)習(xí),也不能說(shuō)沒(méi)有教材教法的研究,更不能沒(méi)有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累和總結(jié).一個(gè)教材反復(fù)的教,一塊黑板不停地寫(xiě),誰(shuí)沒(méi)有教得得心應(yīng)手的時(shí)候？誰(shuí)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)“新大陸”的時(shí)候？誰(shuí)沒(méi)有精雕細(xì)刻的得意之作？誰(shuí)沒(méi)有激情澎湃的創(chuàng)新靈感？但是這些別人無(wú)法領(lǐng)略的“得意之作”、“成功之法”,不及時(shí)的總結(jié)和積累,得不到進(jìn)一步的補(bǔ)充和完善,終歸會(huì)“事過(guò)境遷”而“煙消云散”.即便來(lái)年再上這一課,不一定能教出當(dāng)初的水平,不見(jiàn)得能達(dá)到當(dāng)時(shí)的境界,久而久之,激情不再來(lái),靈感不復(fù)臨.因此,在教學(xué)中教師要勤于積累,善于思考,把當(dāng)時(shí)的感受及時(shí)地記下來(lái),并從理論依據(jù)上做進(jìn)一步的完善提高,從實(shí)施環(huán)節(jié)上做進(jìn)一步的補(bǔ)充修正,這樣就能達(dá)到一種新的層次,教學(xué)藝術(shù)才能長(zhǎng)青.教師不斷反思總結(jié)的過(guò)程,也就是學(xué)會(huì)教學(xué)的過(guò)程.
課題組教師在反思性教學(xué)方面取得了豐碩成果.萬(wàn)平方老師在三角函數(shù)教學(xué)中,認(rèn)識(shí)到三角公式多而且學(xué)生應(yīng)用時(shí)覺(jué)得不順手,就想到要教學(xué)生如何運(yùn)用三角公式,據(jù)此撰寫(xiě)的論文《三角公式的八個(gè)“會(huì)用”》在《數(shù)學(xué)教學(xué)》2006年第8期上發(fā)表.萬(wàn)平方老師在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言究竟怎么敘述,怎么讀,并未引起學(xué)生甚至部分教師的重視,有的教師也認(rèn)為讀與思維關(guān)系不大,教學(xué)中忽視符號(hào)語(yǔ)言的讀法,從而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)與符號(hào)語(yǔ)言相關(guān)的概念理解不深,相關(guān)的問(wèn)題不能順利解決.就提出“讀,也是思維”的觀點(diǎn),據(jù)此撰寫(xiě)的論文《讀出一片新天地——從y=f(x)的讀法談起》在《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2006年第12期上發(fā)表.吳祖凱老師在教學(xué)中認(rèn)識(shí)到到正方體在立體幾何有獨(dú)特的作用,于是撰寫(xiě)出論文《充分利用正方體,諳熟異面直線(xiàn)距》在《數(shù)學(xué)通訊》2005年第6期上發(fā)表.張新娥老師的論文《給學(xué)生燃起數(shù)學(xué)思想的火把——再教高中數(shù)學(xué)第一章時(shí)的體會(huì)》（獲省論文評(píng)比二等獎(jiǎng)）是她在再教高一時(shí)的反思.此外,還有其他教師有論文發(fā)表或獲獎(jiǎng),具體見(jiàn)附錄1.
善于“在行動(dòng)中反思”的教師,在教育教學(xué)活動(dòng)中,能夠密切關(guān)注學(xué)習(xí)者的反應(yīng)和參與程度,對(duì)自己教育過(guò)程、教育方法和教育行為等隨時(shí)保持有意識(shí)的認(rèn)識(shí)和反省,能夠敏感地意識(shí)到教育活動(dòng)和教育行為存在的問(wèn)題,并迅速分析所出現(xiàn)問(wèn)題的原因及可能的解決方法與策略.
4 培養(yǎng)學(xué)生反思能力的途徑、方法
反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是相對(duì)于操作性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言的,操作性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生憑借自己有限的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行簡(jiǎn)單重復(fù)的學(xué)習(xí)活動(dòng),這種活動(dòng)所依賴(lài)的是那些通常并不清楚的經(jīng)驗(yàn)和理解而進(jìn)行的自動(dòng)化的、直覺(jué)的操作活動(dòng),大多數(shù)學(xué)生在活動(dòng)中做出的決策是反應(yīng)式的而非反思的,直覺(jué)的而非理性的,例行的而非主動(dòng)自覺(jué)的.而數(shù)學(xué)反思能力是學(xué)習(xí)者在教學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中對(duì)自己數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程的自我意識(shí),自我監(jiān)控能力.它以反思的技能和反思的毅力為基礎(chǔ),并在對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程的評(píng)價(jià)、控制和調(diào)節(jié)中顯示出來(lái).它對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)起指導(dǎo)支配決定、監(jiān)控作用.所以培養(yǎng)學(xué)生反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣,不僅可以順利的完成學(xué)習(xí)任務(wù),更有助于學(xué)習(xí)者的理性思維得到提高.
4.1 幫助學(xué)生提高反思的意識(shí)
學(xué)生的反思能力的發(fā)展主要經(jīng)歷以下幾個(gè)發(fā)展階段：一是日常反思階段,二是被動(dòng)反思階段,三是主動(dòng)反思階段,四是自覺(jué)反思階段.即便是高中學(xué)生,起初也沒(méi)有反思意識(shí),也不具有應(yīng)有的反思能力.有學(xué)生認(rèn)為,所謂“反思”就是反過(guò)來(lái)思考;“反思”顧名思義就是對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)要反復(fù)思考,凡事都要問(wèn)個(gè)“為什么”.還有學(xué)生認(rèn)為,作業(yè)都做不完,哪有時(shí)間來(lái)反思.所以要幫助學(xué)生提高反思意識(shí),首先要幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)反思.
4.1.1 幫助學(xué)生正確認(rèn)識(shí)反思
大多數(shù)學(xué)生反映,上課聽(tīng)老師講課,聽(tīng)得很“明白”,但一到自己解題時(shí),總是感到困難重重,無(wú)從入手;在每次測(cè)試后評(píng)講時(shí) ,都有學(xué)生說(shuō)：“唉,原來(lái)是這樣?。∥耶?dāng)時(shí)怎么就想不到這樣做呢？” ,“我曾經(jīng)無(wú)數(shù)次地對(duì)著試卷暗暗發(fā)誓,下次一定要努力,一定要達(dá)到什么樣的水平,但得到的總會(huì)是一次一次的不盡如人意,一次又一次的與既定目標(biāo)如隔銀河,面對(duì)這些打擊,真的會(huì)有些失望.”究其原因,表面上看,學(xué)生認(rèn)為自己善于處理一些直觀的或熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題,而對(duì)那些不具體的、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題常常不能抓住其本質(zhì),不懂得轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)模型或過(guò)程去分析解決.但實(shí)質(zhì)上是,學(xué)生做完習(xí)題很少進(jìn)行反思,做錯(cuò)時(shí)只就題改題,不能對(duì)知識(shí)系統(tǒng)和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納.他們?nèi)狈?duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí),到自己解決問(wèn)題時(shí)當(dāng)然會(huì)感到無(wú)所適從了.在認(rèn)識(shí)上,學(xué)生認(rèn)為正確知識(shí)的獲得,可以通過(guò)對(duì)不同類(lèi)型題反復(fù)地操練直到“徹底”熟悉來(lái)實(shí)現(xiàn).但由于這種操作性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,所依賴(lài)的是那些通常并不十分清楚的經(jīng)驗(yàn)和理解,而進(jìn)行的自動(dòng)化的、直覺(jué)的操作活動(dòng).所以,大多數(shù)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中做出的決策是刺激——反應(yīng)式的而非反思的,直覺(jué)的而非理性的,例行的而非主動(dòng)自覺(jué)的.所以,要讓學(xué)生習(xí)慣反思,首先要更新學(xué)生的觀念,要讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)反思.為此,我們舉辦了“反思出成果、反思出智慧”的專(zhuān)題講座,在學(xué)生中開(kāi)展了“我對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思”征文評(píng)選活動(dòng),并創(chuàng)辦《學(xué)會(huì)反思》的刊物,交流學(xué)生反思的成果,讓數(shù)學(xué)反思能力有必要而且有可能進(jìn)行培養(yǎng)的理念內(nèi)化成學(xué)生的觀念.
隨著活動(dòng)的深入,學(xué)生的認(rèn)識(shí)逐漸提高了.他們認(rèn)識(shí)到了反思的重要性. “反思是數(shù)學(xué)永恒的話(huà)題,反思性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以幫助你從例行公事的行為中解放出來(lái),幫助你學(xué)會(huì)數(shù)學(xué);可以使你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為有目標(biāo)有策略的主動(dòng)行為,可以使學(xué)習(xí)成為探究性、研究性的活動(dòng),培養(yǎng)你的能力,提高你的創(chuàng)造力,可以完善你的思維、成熟你的品德.”“反思應(yīng)該成為一種習(xí)慣,凡是值得去反思的隨時(shí)隨地都應(yīng)進(jìn)行.如果能把反思的結(jié)果記下來(lái)就更好,因?yàn)榉此歼^(guò)的東西,即使曾讓你的心弦因之顫動(dòng),也難免被淡忘,如果將它們記錄下來(lái),有空看一看,那么我們會(huì)再次感受心靈震顫的滋味.”“反思不僅是一種方法,更是一門(mén)的學(xué)問(wèn),學(xué)數(shù)學(xué)就是這樣,反思的越多,獲得的知識(shí)就會(huì)越多.”“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思的內(nèi)容豐富多彩.可以從宏觀的方面進(jìn)行反思,如對(duì)自己的學(xué)習(xí)方法（預(yù)習(xí)、聽(tīng)課、復(fù)習(xí)、作業(yè)、考試）、學(xué)習(xí)習(xí)慣進(jìn)行反思;也可以從微觀的角度（如對(duì)某一個(gè)內(nèi)容,對(duì)某一道題的學(xué)習(xí)過(guò)程或解題過(guò)程進(jìn)行反思）進(jìn)行反思.可以從智力和能力的角度進(jìn)行反思;也可以從非智力（學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)興趣、意志品質(zhì)、性格特征、學(xué)習(xí)情感）的角度進(jìn)行反思.可以從自身學(xué)習(xí)的角度進(jìn)行反思,也可以從同學(xué)的學(xué)習(xí)和老師教學(xué)的角度進(jìn)行反思.可以從反思的途徑和方法方面進(jìn)行反思,也可以從反思的收獲與體會(huì)方面進(jìn)行反思.可以是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的反思,也可以是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)教訓(xùn)的反思.總之,凡是與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的內(nèi)容、方法、知識(shí)都可以成為反思的內(nèi)容和話(huà)題.”這些都是學(xué)生對(duì)“反思”的認(rèn)識(shí).
4.1.2 幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)反思的功效
第一,反思是最佳的糾錯(cuò)手段.現(xiàn)代建構(gòu)主義理念認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一種“授予——吸收”的過(guò)程,而是學(xué)習(xí)者主動(dòng)的建構(gòu)活動(dòng);教師不應(yīng)被看成“知識(shí)的授予者”,而應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的促進(jìn)者.我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生不知道如何通過(guò)自己的再學(xué)習(xí)找出解題錯(cuò)誤的癥結(jié),因此在平時(shí)的教學(xué)中,教師要善于創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,讓學(xué)生嘗試錯(cuò)誤,引導(dǎo)其反思,自我發(fā)現(xiàn)思維中存在的矛盾,自我糾錯(cuò).使學(xué)生真正體會(huì)到反思能幫助其修正錯(cuò)誤,從而激發(fā)反思,并達(dá)到強(qiáng)化反思意識(shí)的目的.
第二,反思是高效的學(xué)習(xí)方法.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是知識(shí)的同化和遷移過(guò)程.而反思是同化和遷移的核心步驟.通過(guò)反思能挖掘知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,開(kāi)拓出一條由已知通向未知的道路,有利于幫助學(xué)生建立合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系,提高學(xué)習(xí)效率.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)計(jì)劃、學(xué)習(xí)意志進(jìn)行反思;對(duì)自己在學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)或長(zhǎng)處、教訓(xùn)或弱點(diǎn)進(jìn)行反思等等.反思活動(dòng)衍生的愈全面、愈深刻,愈有利于激發(fā)學(xué)生的潛能,從而能全面提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性,取得事半功倍的學(xué)習(xí)效果.
第三,反思是牢固掌握概念、公式、定理的重要環(huán)節(jié).教材中概念、公式、定理等雖然是一些語(yǔ)言和符號(hào),但它們都代表了確定的意義,是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要知識(shí)點(diǎn),也是思維的細(xì)胞.學(xué)生要獲得這些概念、定理、公式的意義,靠死記硬背是很難牢固掌握的.因此教師在教學(xué)中除了要引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念、定理、公式的發(fā)生和形成過(guò)程外,還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、方法對(duì)所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行反思.多問(wèn)幾個(gè)為什么.只有通過(guò)反思,才能深刻理解其內(nèi)涵和外延,揭示其本質(zhì),以免思維產(chǎn)生負(fù)遷移.
第四,反思是提高解題能力的有效途徑.解題者得出了數(shù)學(xué)題的答案,問(wèn)題本身獲得了解決,但并不意味著思維活動(dòng)的結(jié)束,而是深入認(rèn)識(shí)的開(kāi)始.教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到靈活、簡(jiǎn)潔的解題方法正是通過(guò)反思而發(fā)現(xiàn)的,同化、遷移、創(chuàng)新的能力是在反思過(guò)程中形成的.要引導(dǎo)學(xué)生從方法、規(guī)律、思維策略等方面進(jìn)行多角度、多側(cè)面的反思,總結(jié)解題的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn),提高解題能力.
4.2 讓學(xué)生明確反思的內(nèi)容與形式
學(xué)生的全面反思不僅可從各個(gè)具體的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)(預(yù)習(xí)、上課、作業(yè)、復(fù)習(xí)、考試等)和學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)計(jì)劃、學(xué)習(xí)意志進(jìn)行反思,還可以對(duì)自己在學(xué)習(xí)中的經(jīng)驗(yàn)或長(zhǎng)處,教訓(xùn)或弱點(diǎn)進(jìn)行反思.反思活動(dòng)進(jìn)行的愈全面、愈深刻,愈有利于學(xué)生認(rèn)知水平的提高,學(xué)生的潛能就易于激發(fā),從而能全面提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、整體性,教學(xué)會(huì)取得事半功倍的效果.
反思的形式是多種多樣的,反思內(nèi)容也是豐富多彩的.
（1）學(xué)習(xí)態(tài)度.“態(tài)度決定高度”,作為一個(gè)有責(zé)任感的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主體,學(xué)生應(yīng)不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度,端正態(tài)度,以積極的態(tài)度、蓬勃的朝氣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 所有教學(xué)行為和學(xué)生的的學(xué)習(xí)行為，最終的目的都是為了讓學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)成效產(chǎn)生主人翁責(zé)任感，并進(jìn)一步激發(fā)他們學(xué)習(xí)成效的自豪感和對(duì)學(xué)習(xí)的獻(xiàn)身精神.學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行反思的另一個(gè)結(jié)果是對(duì)學(xué)習(xí)更大的投入程度，這表現(xiàn)在學(xué)習(xí)的努力程度、堅(jiān)持性和個(gè)人標(biāo)準(zhǔn)的提高;反過(guò)來(lái)，學(xué)生在目標(biāo)設(shè)置、選擇策略和執(zhí)行策略、監(jiān)控效果的過(guò)程中伴隨學(xué)習(xí)過(guò)程發(fā)生的情感和態(tài)度將是重要的影響因素.
（2）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo).學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,應(yīng)根據(jù)自己的實(shí)際情況,在教師的幫助下,確定某一階段具體的學(xué)習(xí)目標(biāo).當(dāng)一階段結(jié)束時(shí),通過(guò)各種評(píng)價(jià),反思目標(biāo)是否已經(jīng)實(shí)現(xiàn).從中借鑒成功的經(jīng)驗(yàn)和失敗的教訓(xùn),為下一階段的目標(biāo)做準(zhǔn)備,學(xué)習(xí)目標(biāo)的反思,具體要求反思“知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題、情感與態(tài)度”四個(gè)方面的目標(biāo).
（3）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)資源.學(xué)生應(yīng)在學(xué)習(xí)目標(biāo)的指導(dǎo)下,在教師的幫助下明確自己可以利用的學(xué)習(xí)資源,課本、課外參考書(shū)、教師、同學(xué)、課堂、網(wǎng)絡(luò)等等.學(xué)生要充分利用可以利用的學(xué)習(xí)資源來(lái)進(jìn)行有效學(xué)習(xí).對(duì)于學(xué)習(xí)內(nèi)容的反思,主要有課前反思、課后反思和總結(jié)性反思.在課前,引導(dǎo)學(xué)生回顧已有的知識(shí),特別是前一節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容,養(yǎng)成預(yù)習(xí)的習(xí)慣,反思以前與本節(jié)課類(lèi)似的內(nèi)容、類(lèi)似的情境、類(lèi)似的方法,從而探究新課的解決方法. 在課后,引導(dǎo)學(xué)生反思這堂課講了什么內(nèi)容,用了什么方法,概念、知識(shí)點(diǎn)是否已經(jīng)掌握,問(wèn)題的推導(dǎo)、解決方式是否最好;是否積極主動(dòng)地參與了整個(gè)教學(xué)過(guò)程.完成作業(yè)后,反思我掌握了多少,哪里處理得比較好,這是不是最好的方法,這題錯(cuò)在哪里,為什么會(huì)錯(cuò),以前有沒(méi)有犯過(guò)同樣的錯(cuò)誤,以后怎樣避免再出現(xiàn)類(lèi)似的錯(cuò)誤,是個(gè)人的不努力,還是上課沒(méi)有認(rèn)真參與,及時(shí)作出調(diào)整.進(jìn)行總結(jié)性反思時(shí),讓學(xué)生對(duì)一階段的學(xué)習(xí)狀況、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)效果進(jìn)行自我綜合評(píng)價(jià)、反思,借鑒自己與他人的成功與失誤之處,調(diào)整心態(tài),抑制驕傲自滿(mǎn)的心態(tài)或消除自卑的心理,以最佳的狀態(tài),最適合自己的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行學(xué)習(xí).
（4）學(xué)習(xí)策略、方法、方式.不同的學(xué)生都有最適合自己的學(xué)習(xí)方法和策略.通過(guò)一階段的學(xué)習(xí),反思以前的學(xué)習(xí)方法是否是對(duì)自己最為有效的,是否可以借鑒其他同學(xué)的學(xué)習(xí)方法和方式,教師介紹的學(xué)習(xí)方法是否適合自己.從而提高學(xué)習(xí)效率.
（5）學(xué)習(xí)結(jié)果、自我評(píng)價(jià).尋找學(xué)習(xí)結(jié)果與學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)方法方式之間的關(guān)系.學(xué)習(xí)結(jié)果與付出的努力不一定正相關(guān),關(guān)鍵是要分析清楚形成的原因,找到解決問(wèn)題的方法.每一次測(cè)驗(yàn)或考試結(jié)束后,不論考得好與壞,都應(yīng)仔細(xì)尋找考試中出現(xiàn)的問(wèn)題,無(wú)論是知識(shí)上的還是方法上、態(tài)度上的,做依次徹底的自我評(píng)價(jià),調(diào)整今后的學(xué)習(xí)目標(biāo)、策略方法,以適應(yīng)學(xué)習(xí)的需要.
4.3 反思能力培養(yǎng)的途徑
4.3.1 在布置學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思
在提出學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知,在記憶中搜索、反思以前所學(xué)的類(lèi)似的內(nèi)容、類(lèi)似的情境、類(lèi)似的方法,從而猜想本課內(nèi)容的探究方法.下面是課題組楊紅霞老師執(zhí)教《對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》（《對(duì)數(shù)》是《指數(shù)》的后續(xù)內(nèi)容）的教學(xué)片斷.
指數(shù)是一種運(yùn)算,對(duì)數(shù)也是一種運(yùn)算,學(xué)習(xí)指數(shù)后我們研究了什么？那么接下來(lái)在對(duì)數(shù)中我們應(yīng)該研究什么內(nèi)容？
（學(xué)生回答研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)）
指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是用什么方法研究的？那么用什么方法來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)呢？
（學(xué)生回憶研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的方法,也會(huì)提出用研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的方法來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)）
為什么用這個(gè)方法來(lái)研究呢？是什么數(shù)學(xué)思想方法在指導(dǎo)？有沒(méi)有其它方法來(lái)研究呢？為什么可以用其它方法來(lái)研究呢？
（學(xué)生回答用研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的方法來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是因?yàn)樗鼈兌际腔境醯群瘮?shù),所以可以用類(lèi)比的方法來(lái)研究,這樣有利于我們進(jìn)一步掌握研究初等函數(shù)的方法.而 “有沒(méi)有其它方法來(lái)研究”這個(gè)問(wèn)題學(xué)生難以回答.于是教師再引導(dǎo)學(xué)生反思）
指數(shù)與對(duì)數(shù)是什么關(guān)系？指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是什么關(guān)系？能不能從它們的關(guān)系入手來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)呢？
（這樣學(xué)生就可以利用研究反函數(shù)的方法來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)）
點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用任務(wù)驅(qū)動(dòng)原理，在反思的基礎(chǔ)上提出本節(jié)課的任務(wù);通過(guò)元認(rèn)知提問(wèn),探索本節(jié)課的研究方法.讓學(xué)生在回顧中遷移,在反思中猜想,輕而易舉地就能完成教學(xué)任務(wù),數(shù)學(xué)思想方法的滲透也是水到渠成.同時(shí),也使學(xué)生深刻體會(huì)到反思的優(yōu)勢(shì)所在,樂(lè)于在今后的學(xué)習(xí)中反思,有利于學(xué)生反思意識(shí)的培養(yǎng).
4.3.2在自學(xué)探究活動(dòng)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為,學(xué)生的錯(cuò)誤不可能單獨(dú)依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正,必須是一個(gè)“自我否定”的過(guò)程,利用學(xué)習(xí)錯(cuò)誤,及時(shí)引發(fā)沖突,能促使學(xué)生對(duì)已完成的思維過(guò)程進(jìn)行周密而且有批判性的再思考,對(duì)已形成的認(rèn)識(shí)從另一個(gè)角度,以另一種方式進(jìn)行再思考,以求得新的深入認(rèn)識(shí),這既有利于問(wèn)題的解決,又培養(yǎng)了學(xué)生的反思能力.
下面是課題組劉忠清老師講述的他的一次解題教學(xué)經(jīng)歷與感受.
我在上課時(shí)故意說(shuō)：“這道題老師沒(méi)有解出來(lái).”剛說(shuō)完，同學(xué)用驚愕的眼光看著我，就連平時(shí)成績(jī)較差的同學(xué)也好奇地看著我，此時(shí)，我看到學(xué)生的目光專(zhuān)注，便問(wèn)：“哪個(gè)同學(xué)做出這道題了？”刷地舉起了五六只手，同學(xué)都看著四周，想知道有誰(shuí)舉手了，我發(fā)現(xiàn)舉手的同學(xué)臉上帶著自豪，“誰(shuí)愿意到講臺(tái)上講一講？”會(huì)做題的同學(xué)爭(zhēng)先恐后，表現(xiàn)出前所未有的積極性.同學(xué)在講題時(shí)我注意到就連平時(shí)覺(jué)得像這樣的難題與自己無(wú)關(guān)的同學(xué)也認(rèn)真地聽(tīng)著.
題講完后，我問(wèn)：“你們認(rèn)為老師為什么沒(méi)有做出這道題？”同學(xué)們七嘴八舌地說(shuō)開(kāi)了“老師，您肯定沒(méi)有認(rèn)真思考？”“老師您動(dòng)手演算了嗎？”“老師我做這道題時(shí)，算了很長(zhǎng)時(shí)間了，您是不是嫌麻煩就沒(méi)做？”“老師，前面有個(gè)類(lèi)似的題，您反思了嗎？”;于是我連連點(diǎn)頭，說(shuō)道：“看來(lái)這些不好的習(xí)慣真是學(xué)習(xí)的大敵呀!”.聽(tīng)我這么一說(shuō)，同學(xué)們都笑了，我也笑了.因?yàn)槲也](méi)有給學(xué)生歸納什么解題常見(jiàn)毛病，可學(xué)生自己都明白了，而且，從學(xué)生的發(fā)言可以看出不僅能夠?qū)︻}本身進(jìn)行反思，也能夠?qū)ψ约旱膶W(xué)習(xí)行為進(jìn)行反思.學(xué)生體驗(yàn)了因不斷反思而帶來(lái)的成功的喜悅,使他們不由自主地喜歡上了反思.
4.3.3 在交流總結(jié)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思
在數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)束后交流總結(jié)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)探索過(guò)程和所獲結(jié)論的合理性,讓學(xué)生在反思中“提煉”方法,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).事實(shí)上,學(xué)生不僅僅是被反思的對(duì)象,而且是反思的主要收益者.在反思中自我評(píng)估,自我修改,從而反思自己到底學(xué)到了什么,自己又是如何學(xué)習(xí)的.
因此,在平時(shí)的教學(xué)中,當(dāng)數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)束后,我們經(jīng)常安排反思“三步曲”,要求學(xué)生在得出結(jié)論后,先個(gè)人（小組）進(jìn)行反思三步曲,再在匯報(bào)交流時(shí)集體進(jìn)行反思三步曲.三步曲的第一步是“這個(gè)結(jié)論對(duì)嗎？”引導(dǎo)學(xué)生反思所獲結(jié)論的合理性;第二步是“這是不是最好的方法？”引導(dǎo)學(xué)生反思、探求多種解決問(wèn)題的方法,選擇最佳方法;第三步是“剛才是怎樣得出結(jié)論的？”讓學(xué)生回顧與分析探索的過(guò)程,從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn),提煉解決問(wèn)題的方法.經(jīng)過(guò)反思三步曲的訓(xùn)練,許多學(xué)生覺(jué)得自己解題越來(lái)越有心得了.
4.3.4 在應(yīng)用練習(xí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思
好多學(xué)生寫(xiě)作業(yè)、答試卷時(shí)以完成為滿(mǎn)足,檢查驗(yàn)算的習(xí)慣很差,或面對(duì)錯(cuò)誤看不出來(lái),或看到錯(cuò)題就全盤(pán)否定.究其原因,就是因?yàn)閷W(xué)生的思維批判性差,反思意識(shí)薄弱,反思能力低.針對(duì)這種現(xiàn)狀,我們可以在作業(yè)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生按下面的方法進(jìn)行反思.
答題前,想一想波利亞在《怎樣解題》中所提出的建議和啟發(fā)性問(wèn)題.“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎?你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同? 你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題?你是否知道一個(gè)可能用得上的定理? 看著未知數(shù),試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問(wèn)題．這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問(wèn)題有關(guān),且早已解決的問(wèn)題．你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用它,你是否應(yīng)該引入某些輔助元素? 你能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題?你能不能用不同的方法重新敘述它? 回到定義去．如果你不能解決所提出的問(wèn)題,可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題．你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題?一個(gè)更普遍的問(wèn)題?一個(gè)更特殊的問(wèn)題?一個(gè)類(lèi)比的問(wèn)題?你能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分?僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分．這樣對(duì)于未知數(shù)能確定到什么程度?它會(huì)怎樣變化?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話(huà),你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù),或者二者都改變,以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近? 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個(gè)條件?你是否考慮了包含在問(wèn)題中的必要的概念?”
答題時(shí),想一想“這樣做的依據(jù)是什么?這樣做對(duì)了嗎?這是不是最好的辦法?我在哪里處理得比較好”.
如果答題正確,可以反思題目中涉及到的知識(shí)點(diǎn),可以想一想方法能否創(chuàng)新.“解題過(guò)程是否浪費(fèi)了重要的信息,能否開(kāi)辟新的解題通道?解題過(guò)程多走了哪些思維回路,思維、運(yùn)算能否變得簡(jiǎn)捷?是否拘泥于思維定勢(shì),照搬了熟悉的解法?”也可以想一想能否對(duì)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)性研究.“能否對(duì)問(wèn)題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入地探究?能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系?”還可以想一想能否得到新的問(wèn)題.“為什么有這樣的問(wèn)題?它和哪些問(wèn)題有聯(lián)系?能否受這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā),將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效的整合,創(chuàng)造性的編擬新問(wèn)題?”
如果答題錯(cuò)誤,則要在訂正時(shí),多想想“我這題錯(cuò)在哪里?我為什么會(huì)做錯(cuò)?我以前有沒(méi)有犯過(guò)同樣的錯(cuò)誤?以后我怎樣避免再出現(xiàn)類(lèi)似的錯(cuò)誤?”……
另外,我們?yōu)槊總€(gè)學(xué)生印制了專(zhuān)用《能力檢測(cè)反思薄》,每次單元檢測(cè)后,學(xué)生都會(huì)按照《能力檢測(cè)反思薄》的要求進(jìn)行反思.(《能力檢測(cè)反思薄》的主要內(nèi)容見(jiàn)附錄2)
通過(guò)作業(yè)過(guò)程的反思,一方面強(qiáng)化鞏固了正確的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí);另一方面及時(shí)矯正了一些錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí),以避免學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).通過(guò)反思,提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)質(zhì)量,使學(xué)生嘗到反思的“甜頭”.由于教師對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的關(guān)注,使得學(xué)生更加關(guān)注自己的學(xué)習(xí)活動(dòng),提高了他們的自我評(píng)價(jià)能力,因此激發(fā)了學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)機(jī).
當(dāng)然,如前面所述,教師首先要在課堂里營(yíng)造適合反思的環(huán)境.課題組吳祖凱老師的論文《把握結(jié)構(gòu)特征 誘導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想》（在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2007年第2期上發(fā)表）、王為常老師的論文《兩道高考題的啟示》（獲市論文評(píng)比一等獎(jiǎng)）和張新娥老師的論文《對(duì)一道高考題的解題反思》（獲市論文評(píng)比三等獎(jiǎng)）就是教師在解題后引導(dǎo)學(xué)生反思的范例.在課堂上,我們經(jīng)常讓學(xué)生在做完題后反思自己為什么題做錯(cuò)了,開(kāi)始學(xué)生不愿意將錯(cuò)誤暴露出來(lái).這是因?yàn)橐回炓詠?lái)學(xué)生錯(cuò)了總是遭到教師的指責(zé)和同學(xué)的譏笑,因此教師首先要在課堂里營(yíng)造溫和寬松的環(huán)境.我們通常鼓勵(lì)學(xué)生將自己錯(cuò)誤的原因說(shuō)出來(lái)之后要加以表?yè)P(yáng)：你非常有勇氣,敢于在大家面前說(shuō)出你的錯(cuò)誤,并且在你失敗之后還能冷靜的分析自己的錯(cuò)誤,如果你能在分析原因之后找到對(duì)策,那么你將變得越來(lái)越有能力.
4.3.5 在得到結(jié)論后引導(dǎo)學(xué)生反思
在得到結(jié)論后引導(dǎo)學(xué)生善于進(jìn)行總結(jié)、善于進(jìn)行引申、善于進(jìn)行推廣是訓(xùn)練學(xué)生反思、養(yǎng)成反思習(xí)慣的重要方法.
第一,善于總結(jié).就是解決問(wèn)題后,引導(dǎo)學(xué)生從解決問(wèn)題的方法、規(guī)律、思維策略等方面進(jìn)行多角度、多側(cè)面的總結(jié),有意識(shí)地去啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的思考過(guò)程進(jìn)行歸納總結(jié),力圖從解決問(wèn)題中找出新的普遍適用的東西,以現(xiàn)在的解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)幫助以后問(wèn)題的解決.有了這個(gè)“經(jīng)驗(yàn)”,在遇到類(lèi)似的新問(wèn)題時(shí),能產(chǎn)生一種“直覺(jué)”,正確判斷思維方向.這遠(yuǎn)比學(xué)生單純解決問(wèn)題的意義更大.它的教育價(jià)值不僅使學(xué)生掌握了這類(lèi)問(wèn)題的基本規(guī)律,而且使學(xué)生學(xué)到了一些解決問(wèn)題的思維方法,最終過(guò)渡為“會(huì)學(xué)習(xí)”.因此,能否善于總結(jié)解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn),是衡量一個(gè)人解決問(wèn)題能力高低的一個(gè)重要因素.
第二,善于引申.就是解決問(wèn)題后,要善于把它改頭換面變成為多個(gè)和原問(wèn)題內(nèi)容形式不同或類(lèi)似但解決問(wèn)題的方法類(lèi)似或不同的問(wèn)題,即進(jìn)行一題多解、多題一解的訓(xùn)練,這樣可以擴(kuò)大視野,深化知識(shí),從而提高學(xué)生的能力.下面是課題組劉云清老師 “平面向量”習(xí)題課的一個(gè)教學(xué)片斷:
（05年湖南高考題）P是△ABC所在平面上一點(diǎn),若 ,則P是△ABC的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D． 垂心
你對(duì)這道題的題意是否理解?相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是否清楚?可用哪些方法來(lái)解決?這道題的答案是什么?
(學(xué)生回答上面的問(wèn)題后)教師:①三角形垂心用向量可以這樣表示,還能不能用其它向量形式表示三角形的垂心呢？②三角形的外心、內(nèi)心、重心又如何用向量形式表示呢？
點(diǎn)評(píng):上述教學(xué)片斷,既有反思的方法,也有反思的“成果”.方法包括要理解題意,要弄清相關(guān)的知識(shí),要在腦海中搜索相關(guān)的方法.成果體現(xiàn)了發(fā)散思維,既有縱向的成果——“三角形垂心用向量可以這樣表示,還可用其它向量形式表示三”,也是縱向的成果——“三角形的外心、內(nèi)心、重心也可用向量形式表示”.
第三,善于推廣.當(dāng)一個(gè)問(wèn)題解決之后,不失時(shí)機(jī)地將問(wèn)題中特殊條件一般化,從而推得更為普遍的結(jié)論,這就是問(wèn)題的推廣.善于進(jìn)行推廣所獲得的就不只是一個(gè)問(wèn)題的解決辦法,而是一組問(wèn)題、一類(lèi)問(wèn)題的解決辦法.這有利于培養(yǎng)學(xué)生深入鉆研的良好習(xí)慣,激發(fā)學(xué)生的求知欲及創(chuàng)新精神.
課題組吳祖凱老師在這方面作了有益的嘗試.下面是他執(zhí)教《正弦定理》的教學(xué)片斷.
教師用幾何畫(huà)板制作活動(dòng)三角形，由學(xué)生觀察總結(jié)得到：角增大(或減小)，其對(duì)邊也隨之增大(或減小)．
師：請(qǐng)同學(xué)生先思考一下，我們以前遇到這種問(wèn)題，一般是怎樣處理的？
生1：先從特殊事例入手，尋找答案或發(fā)現(xiàn)解法，直角三角形是特例，可以先在直角三角形中試探一下．
(1)一個(gè)銳角為30°的直角三角形，學(xué)生分析得出規(guī)律：
;
(2)一個(gè)銳角為45°的直角三角形，學(xué)生分析得出規(guī)律：
°= ;
(課堂活力隨之凸現(xiàn)，學(xué)生自覺(jué)、自然地總結(jié)出．)
(3)直角三角形中都有： ;
師：同學(xué)們能否設(shè)計(jì)出一個(gè)漂亮的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)反映直角三角形三邊與三角的正弦的等量關(guān)系呢？
生2： (1)
師：數(shù)學(xué)家也是這樣總結(jié)的．對(duì)于任意三角形，上述結(jié)論是否正確呢？
生3：應(yīng)該也是上述結(jié)論．
師：請(qǐng)同學(xué)們具體驗(yàn)證一下．
(首先，學(xué)生分組作出若干個(gè)任意三角形，度量其邊長(zhǎng)和角度，用計(jì)算器計(jì)算驗(yàn)證是否成立;然后，教師用幾何畫(huà)板制作課件，進(jìn)一步驗(yàn)證．)
點(diǎn)評(píng):以上教學(xué)片斷充分展示結(jié)論的探究過(guò)程,運(yùn)用的方法就是將特殊結(jié)論推廣到一般.吳老師將這節(jié)課的探究過(guò)程整理后撰寫(xiě)的論文《點(diǎn)擊課堂活力因子 凸顯課堂生命活力——正弦定理的教學(xué)感想》在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2007年第1期上發(fā)表.
課題組李鐘波老師在教學(xué)正、余弦定理后,引導(dǎo)學(xué)生反思正、余弦定理的證明方法——向量證．反思得到的結(jié)論是兩個(gè)定理的證明方法都是用一個(gè)向量去和向量式的兩邊的向量同時(shí)數(shù)量積,不同的是正弦定理的證明是點(diǎn)乘一個(gè)特殊的向量,而余弦定理的證明則是點(diǎn)乘向量自身,即取向量的模的平方,其實(shí)質(zhì)都是向量數(shù)量積具體應(yīng)用.于是將這種方法推廣應(yīng)用到解決其它問(wèn)題,撰寫(xiě)出的論文《運(yùn)用正、余弦定理的向量證法解題》獲市論文評(píng)比一等獎(jiǎng). 學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中,既有興趣思考,又加強(qiáng)了自我的反思意識(shí).
4.4 教給學(xué)生反思方法
反思體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的自我反省,是學(xué)生自我監(jiān)控的一項(xiàng)重要內(nèi)容.為使學(xué)生形成反思能力,課堂教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握反思的方法.
①自我提問(wèn).
教學(xué)生學(xué)會(huì)自我提問(wèn)是培養(yǎng)學(xué)生反思能力的重要方法.這種方法適用于學(xué)習(xí)過(guò)程中.諸如"怎樣做","為什么這樣做","可以用幾種方法做","哪一種方法更簡(jiǎn)便","錯(cuò)在哪里","為什么錯(cuò)"等自我提問(wèn),可以促進(jìn)學(xué)習(xí)主體的更深層次的思考.長(zhǎng)此以往,學(xué)生不僅可以提高發(fā)散思維能力,還可以提高鑒別能力和學(xué)習(xí)能力.
②自我總結(jié).
當(dāng)某個(gè)問(wèn)題解決后,教師要引導(dǎo)學(xué)生從解決問(wèn)題的角度、方法、思維策略等方面進(jìn)行總結(jié),以尋求思維規(guī)律.如學(xué)習(xí)了“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”后,我們就“這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)?我們是怎樣推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的?蘊(yùn)涵了哪些數(shù)學(xué)思想方法?"三個(gè)問(wèn)題要求學(xué)生進(jìn)行總結(jié)反思.學(xué)生得出用“倒序相加法”推導(dǎo)出來(lái)的公式,這節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)涵了分類(lèi)討論、方程思想.這樣,它的教育價(jià)值在于學(xué)生不僅掌握了知識(shí),而且學(xué)到了解決問(wèn)題的思想方法.
③自我評(píng)價(jià).
自我評(píng)價(jià)是學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程、學(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行自我評(píng)判與分析的一種自我審視的行為.自我評(píng)價(jià)應(yīng)該是課堂教學(xué)中一種最主要、最經(jīng)常的評(píng)價(jià)方式,組織有效的自我評(píng)價(jià)有助于學(xué)生隨時(shí)進(jìn)行自我反饋、自我調(diào)整、自我完善,有助于提高自我評(píng)價(jià)能力.如在解題教學(xué)中,我們經(jīng)常要求學(xué)生探討一個(gè)問(wèn)題有哪些解法、體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法、思路是怎么得到的等問(wèn)題.學(xué)生各自展示自己的解題過(guò)程、闡述自己的解題思路、評(píng)價(jià)自己的解題方法.而教師不作評(píng)判,而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論,發(fā)表自己的看法,評(píng)價(jià)自己和他人的說(shuō)法,看看最后誰(shuí)說(shuō)的更好.每次學(xué)生經(jīng)過(guò)激烈的爭(zhēng)論后都能達(dá)到認(rèn)識(shí)上的統(tǒng)一.這樣,學(xué)生不僅理清了思路,鞏固了知識(shí),而且在辯論中培養(yǎng)了口頭表達(dá)能力,發(fā)展了思維能力.教師在教學(xué)中若能引導(dǎo)學(xué)生把評(píng)價(jià)和反思結(jié)合起來(lái),學(xué)生就能更快地提高自己的分析水平,因?yàn)樗说脑u(píng)價(jià),只有通過(guò)自己的反思,才能轉(zhuǎn)化為自己內(nèi)在的智慧.
總之,如果教師在課堂上重視反思,鼓勵(lì)學(xué)生反思,并巧妙地利用反思,定會(huì)使數(shù)學(xué)課堂教學(xué)波瀾起伏,有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)習(xí)效率,使學(xué)生樂(lè)思、巧思、善思,真正成為課堂的主人.
5 尚待進(jìn)一步研究的問(wèn)題
1、數(shù)學(xué)反思能力的培養(yǎng)要與《課標(biāo)》中提出的數(shù)學(xué)能力（空間想像、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、解決實(shí)際問(wèn)題的能力等基本能力）的培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來(lái),兩者相互配合、協(xié)調(diào)發(fā)展,才能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率,取得好的效果.如何讓兩者之間相互配合、協(xié)調(diào)發(fā)展需要作進(jìn)一步深入的研究.
2、反思只是手段,而且它的實(shí)質(zhì)在于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題.在這種意義上,反思不是越多越好,而是恰到好處才好.同時(shí)反思的程度也是以解決問(wèn)題為標(biāo)準(zhǔn),也就是說(shuō),問(wèn)題解決了,一次反思相應(yīng)結(jié)束,而且反思的問(wèn)題應(yīng)該是經(jīng)過(guò)選擇的具有一定意義的問(wèn)題,而不是為了反思而反思的問(wèn)題.如何把握反思的尺度也需要進(jìn)一步研究.
3．教師在學(xué)生反思能力培養(yǎng)中應(yīng)該充分發(fā)揮主導(dǎo)作用.教師的反思一定會(huì)激發(fā)學(xué)生的反思,而教師的反思意識(shí)、反思能力如何提高也應(yīng)該成為研究的課題.
4．習(xí)慣的養(yǎng)成非一日之功,要培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣與能力,需要作進(jìn)一步地探討.
總之,通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生反思能力的具體實(shí)踐,我們認(rèn)識(shí)到反思是認(rèn)識(shí)過(guò)程中強(qiáng)化自我意識(shí)、進(jìn)行自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)的重要形式,是元認(rèn)知理論的一種具體體現(xiàn).反思活動(dòng)進(jìn)行的深度和廣度,能反映自我意識(shí)、自我調(diào)節(jié)進(jìn)行的強(qiáng)弱.在反思過(guò)程中,不但是元認(rèn)知能力可以得到實(shí)際的鍛煉和提高,而且通過(guò)反思后的總結(jié)提高可以使元認(rèn)知理論不斷得到補(bǔ)充、豐富、完善和發(fā)展.因此,在今后的教學(xué)實(shí)踐中,我們更應(yīng)注重理論對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo),結(jié)合教育教學(xué)的實(shí)際不斷探索培養(yǎng)能力培養(yǎng)的有效途徑,同時(shí)也為教育理論和教育教學(xué)改革的發(fā)展作出積極的嘗試,以期達(dá)到落實(shí)素質(zhì)教育的目的.
課題研究與實(shí)施得益于校長(zhǎng)劉香潤(rùn),副校長(zhǎng)李秉漢、王輝廷等領(lǐng)導(dǎo)的大力支持與指導(dǎo)！得益于全體數(shù)學(xué)教師的共同努力！
課題組長(zhǎng):萬(wàn)平方
副組長(zhǎng): 王為常
主要成員:劉忠清 吳祖凱 劉云清 李鐘波 陳 建 朱 強(qiáng) 楊紅霞 張新娥 常金平 彭清平
報(bào)告執(zhí)筆:萬(wàn)平方
附錄1:課題組教師成果
萬(wàn)平方 《三角公式的八個(gè)“會(huì)用”》 在《數(shù)學(xué)教學(xué)》2006年第8期上發(fā)表
萬(wàn)平方 《“三線(xiàn)角公式”的得名及在高考中的應(yīng)用》 在《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2006年第8期上發(fā)表
萬(wàn)平方 《讀出一片新天地——從y=f(x)的讀法談起》 在《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2006年第12期上發(fā)表
吳祖凱 《充分利用正方體,諳熟異面直線(xiàn)距》 在《數(shù)學(xué)通訊》2005年第6期上發(fā)表.
吳祖凱 《順著學(xué)生思維走 尷尬一次也無(wú)妨》 在《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》2006年第4期上發(fā)表
吳祖凱 《點(diǎn)擊課堂活力因子 凸顯課堂生命活力》 在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2007年第1期上發(fā)表
吳祖凱 《把握結(jié)構(gòu)特征 誘導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想》 在《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2007年第2期上發(fā)表
吳祖凱 《點(diǎn)擊課堂活力因子 凸顯課堂生命活力》 獲省教育科研成果二等獎(jiǎng)
王為常 《學(xué)生創(chuàng)造性思維能力培養(yǎng)》 在《數(shù)學(xué)周報(bào)》2006年第37期上發(fā)表
王為常 《兩道高考題的啟示》 獲市論文評(píng)比一等獎(jiǎng)
張新娥 《給學(xué)生燃起數(shù)學(xué)思想的火把——再教高中數(shù)學(xué)第一章時(shí)的體會(huì)》 獲省論文評(píng)比二等獎(jiǎng)
張新娥 《“問(wèn)題式”建構(gòu)性教學(xué)初探》 獲市論文評(píng)比一等獎(jiǎng)
張新娥 《潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲》 獲市論文評(píng)比二等獎(jiǎng)
張新娥 《對(duì)一道高考題的反思》 獲市論文評(píng)比三等獎(jiǎng)
張新娥 2005年4月 獲縣青年教師教學(xué)比武一等獎(jiǎng)
張新娥 2005年10月 獲市青年教師教學(xué)比武一等獎(jiǎng)
李鐘波 《運(yùn)用正、余弦定理的向量證法解題》 獲市論文評(píng)比一等獎(jiǎng)
李鐘波 《談一談消元法在三角函數(shù)證明中的運(yùn)用》 獲市論文評(píng)比一等獎(jiǎng)
李鐘波 《例談高考中幾種常用的放縮法》 獲市論文評(píng)比一等獎(jiǎng)
李鐘波 2005年4月 獲縣青年教師說(shuō)課競(jìng)賽一等獎(jiǎng)
李鐘波 2006年10月 獲市教師電教作品大賽課件類(lèi)一等獎(jiǎng)
李鐘波 2006年12月 獲省教師電教作品大賽課件類(lèi)二等獎(jiǎng)
李鐘波 2006年11月 獲市數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)一等獎(jiǎng)
劉云清 《談如何進(jìn)行啟導(dǎo)法教學(xué)》 獲中國(guó)教育學(xué)會(huì)啟發(fā)式教學(xué)研究會(huì)論文評(píng)比三等獎(jiǎng)
劉云清 《啟發(fā)的幾個(gè)技巧》 獲中國(guó)教育學(xué)會(huì)啟發(fā)式教學(xué)研究會(huì)論文評(píng)比二等獎(jiǎng)
劉云清 《用情去啟發(fā)》 獲中國(guó)教育學(xué)會(huì)啟發(fā)式教學(xué)研究會(huì)論文評(píng)比二等獎(jiǎng)
劉云清 《用感恩教育激活啟發(fā)式教學(xué)》 獲國(guó)家級(jí)論文評(píng)比三等獎(jiǎng)
附錄2:《能力檢測(cè)反思薄》的主要內(nèi)容
內(nèi)容 時(shí)間 學(xué)號(hào)
得分
錯(cuò)題
題號(hào)
錯(cuò) 因
知 識(shí)
思想、方法
選
擇
題
知
填
空
題
解
答
題
計(jì)算失誤分
我
認(rèn)為
的
好題
題號(hào)
原因
學(xué)法
改進(jìn)
附：解題錯(cuò)誤原因：①看錯(cuò)題目；②計(jì)算出錯(cuò)；③推理錯(cuò)誤；④表達(dá)不規(guī)范或格式不正確；⑤思路正確但因緊張使某個(gè)環(huán)節(jié)出錯(cuò)；⑥公式法則，定理不熟；⑦審題錯(cuò)誤；⑧思路不清或沒(méi)有思路；⑨沒(méi)有時(shí)間；⑩其它.
更正
反思
一題多解，一題多變，探討結(jié)論，創(chuàng)意解法，歸納小結(jié)等.
總體反思：
參考文獻(xiàn)
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