導讀：
EFA的目標是通過發(fā)掘隱藏在數(shù)據(jù)下的一組較少的、更為基本的無法觀測的變量，來解釋一組可觀測變量的相關性。這些虛擬的、無法觀測的變量稱作因子。（每個因子被認為可解釋多個觀測變量間共有的方差，因此準確來說，它們應該稱作公共因子。）
探索性因子分析
模型的形式為：
其中Xi是第i個可觀測變量（i = 1…k）， Fj是公共因子（j = 1…p），并且p<k。 Ui是Xi變量獨有的部分（無法被公共因子解釋）。 ai可認為是每個因子對復合而成的可觀測變量的貢獻值?；氐奖菊麻_頭的Harman74.cor的例子，我們認為每個個體在24個心理學測驗上的觀測得分，是根據(jù)四個潛在心理學因素的加權能力值組合而成。
雖然PCA和EFA存在差異，但是它們的許多分析步驟都是相似的。為闡述EFA的分析過程，我們用它來對六個心理學測驗間的相關性進行分析。 112個人參與了六個測驗，包括非語言的普通智力測驗（general）、畫圖測驗（picture）、積木圖案測驗（blocks）、迷津測驗（maze）、閱讀測驗（reading）和詞匯測驗（vocab） 。我們?nèi)绾斡靡唤M較少的、潛在的心理學因素來解釋參與者的測驗得分呢？
數(shù)據(jù)集ability.cov提供了變量的協(xié)方差矩陣，你可用cov2cor()函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為相關系數(shù)矩陣。數(shù)據(jù)集沒有缺失值。
因為要尋求用來解釋數(shù)據(jù)的潛在結構，可使用EFA方法。與使用PCA相同，下一步工作為判斷需要提取幾個因子。
判斷需提取的公共因子數(shù)
用fa.parallel()函數(shù)可判斷需提取的因子數(shù)：
結果見圖14-4。注意，代碼中使用了fa = "both"，因子圖形將會同時展示主成分和公共因子分析的結果。
圖形中有幾個值得注意的地方。如果使用PCA方法，你可能會選擇一個成分（碎石檢驗和平行分析）或者兩個成分（特征值大于1）。當搖擺不定時，高估因子數(shù)通常比低估因子數(shù)的結果好，因為高估因子數(shù)一般較少曲解“真實”情況。觀察EFA的結果，顯然需提取兩個因子。碎石檢驗的前兩個特征值（三角形）都在拐角處之上，并且大于基于100次模擬數(shù)據(jù)矩陣的特征值均值。對于EFA， Kaiser-Harris準則的特征值數(shù)大于0，而不是1。（大部分人都沒有意識到這一點。）圖形中該準則也建議選擇兩個因子。
提取公共因子
現(xiàn)在你決定提取兩個因子，可以使用fa()函數(shù)獲得相應的結果。 fa()函數(shù)的格式如下：
其中：
? r是相關系數(shù)矩陣或者原始數(shù)據(jù)矩陣；
? nfactors設定提取的因子數(shù)（默認為1）；
? n.obs是觀測數(shù)（輸入相關系數(shù)矩陣時需要填寫）；
? rotate設定旋轉(zhuǎn)的方法（默認互變異數(shù)最小法）；
? scores設定是否計算因子得分（默認不計算）；
? fm設定因子化方法（默認極小殘差法）。
與PCA不同，提取公共因子的方法很多，包括最大似然法（ml） 、主軸迭代法（pa） 、加權最小二乘法（wls）、廣義加權最小二乘法（gls）和最小殘差法（minres）。統(tǒng)計學家青睞使用最大似然法，因為它有良好的統(tǒng)計性質(zhì)。不過有時候最大似然法不會收斂，此時使用主軸迭代法效果會很好。欲了解更多提取公共因子的方法，可參閱Mulaik（2009）和Corsuch（1983）。
本例使用主軸迭代法（fm = "pa"）提取未旋轉(zhuǎn)的因子。結果見代碼清單14-6。
可以看到，兩個因子解釋了六個心理學測驗60%的方差。不過因子載荷陣的意義并不太好解釋，此時使用因子旋轉(zhuǎn)將有助于因子的解釋。
14.3.3 因子旋轉(zhuǎn)
你可以使用正交旋轉(zhuǎn)或者斜交旋轉(zhuǎn)來旋轉(zhuǎn)14.3.4節(jié)中兩個因子的結果?，F(xiàn)在我們同時嘗試下兩種方法，看看它們的異同。首先使用正交旋轉(zhuǎn)（見代碼清單14-7）。
結果顯示因子變得更好解釋了。閱讀和詞匯在第一因子上載荷較大，畫圖、積木圖案和迷宮在第二因子上載荷較大，非語言的普通智力測量在兩個因子上載荷較為平均，這表明存在一個語言智力因子和一個非語言智力因子。
使用正交旋轉(zhuǎn)將人為地強制兩個因子不相關。如果想允許兩個因子相關該怎么辦呢？此時可以使用斜交轉(zhuǎn)軸法，比如promax（見代碼清單14-8）。
根據(jù)以上結果，你可以看出正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)的不同之處。對于正交旋轉(zhuǎn)，因子分析的重點在于因子結構矩陣（變量與因子的相關系數(shù)），而對于斜交旋轉(zhuǎn)，因子分析會考慮三個矩陣：
因子結構矩陣、因子模式矩陣和因子關聯(lián)矩陣。
因子模式矩陣即標準化的回歸系數(shù)矩陣。它列出了因子預測變量的權重。 因子關聯(lián)矩陣即因子相關系數(shù)矩陣。
在代碼清單14-8中， PA1和PA2欄中的值組成了因子模式矩陣。它們是標準化的回歸系數(shù)，而不是相關系數(shù)。注意，矩陣的列仍用來對因子進行命名（雖然此處存在一些爭論）。你同樣可以得到一個語言因子和一個非語言因子。
因子關聯(lián)矩陣顯示兩個因子的相關系數(shù)為0.57，相關性很大。如果因子間的關聯(lián)性很低，你可能需要重新使用正交旋轉(zhuǎn)來簡化問題。
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