2017屆高三七校聯(lián)考期中考試數(shù)學(xué)試卷
第Ⅰ卷 2016年11月
說(shuō)明：本卷滿分為160分.考試時(shí)間為120分鐘.
一.填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分，請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置上．
1.已知復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i為虛數(shù)單位)．在復(fù)平面內(nèi)，z1－z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第▲ 象限．
2．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段：[40，50)，
[50，60)，…，[90，100]后得到頻率分布直方圖(如下圖所示)，則分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的人數(shù)是 ▲．
S←1
I←3
While S≤200
S←S×I
I←I＋2
End While
Print I
(第2題) (第4題)
3.在△ABC的邊AB上隨機(jī)取一點(diǎn)P，記△CAP和△CBP的面積分別為S1和S2，則S1>2S2的概率是▲ ．
4．執(zhí)行右上邊的偽代碼，輸出的結(jié)果是 ▲ ．
5．設(shè)等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，則
▲ ．
6．已知函數(shù)
是奇函數(shù)，當(dāng)
時(shí)，
，且
，則
▲ ．
7.設(shè)函數(shù)
的部分圖象如圖所示.
則
= ▲
(第7題)
8.如圖，在
的方格紙中，若
和
是起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量，則向量
與
的夾角余弦值是 ▲ ．
9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，則tan(β－α)的值為 ▲ ．
10.正數(shù)x、y滿足x＋2y＝2，則的最小值為 ▲ ．
11.已知直線l：x－y＝1與圓M：x2+y2－2x＋2y－1=0相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B，D分別在圓M上運(yùn)動(dòng)，且位于
直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為 ▲ ．
12．如圖，梯形
中，
，
，
，
若
，則
▲ ．
13．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常數(shù)．若對(duì)于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，則k的值為▲ ．
14．若
，且對(duì)任意
的恒成立，則實(shí)數(shù)
的取值范圍為 ▲ ．
二.解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程活鹽酸步驟．
15．（本小題滿分14分）
在
中，已知
，向量
，
，且
.
(1) 求A的值；
(2) 若點(diǎn)D在邊BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面積．
16. （本小題滿分14分）
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A1C∥平面AB1D；
（2）設(shè)M為棱CC1的點(diǎn)，且滿足BM⊥B1D，求證：平面AB1D⊥平面ABM．
17.（本小題滿分14分）
已知橢圓C:＋＝1(a＞b＞0)，離心率為
，左準(zhǔn)線方程是
，設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y＝2上，且OA⊥OB．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求ΔAOB面積取得最小值時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度；
18.（本小題滿分16分）
如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，
．管理部門(mén)欲在該地從M到D修建小路：在
上選一點(diǎn)P（異于M、N兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ．
(1).若
，求
的長(zhǎng)度；
(2).當(dāng)點(diǎn)P選擇在何處時(shí)，才能使得修建的小路
與PQ及QD的總長(zhǎng)最?。坎⒄f(shuō)明理由．
19.（本小題滿分16分）
設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且滿足
.
（1）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列
滿足
，且
，求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)
，數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
.求
.
20．（本小題滿分16分）
對(duì)于兩個(gè)定義域均為D的函數(shù)f(x)，g(x)，若存在最小正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意x∈D，都有|f(x)－g(x)|≤M，則稱(chēng)M為函數(shù)f(x)，g(x)的“差距”，并記作||f(x)，g(x)||．
（1）求f(x)＝sinx(x∈R)，g(x)＝cosx(x∈R)的差距；
（2）設(shè)f(x)＝(x∈[1,e])，g(x)＝mlnx(x∈[1,e])．(e≈2.718)
①若m＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求滿足條件的最大正整數(shù)a；
②若a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
2017屆高三七校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
第Ⅱ卷 附加題部分
說(shuō)明：本部分共4大題，每題10分，共40分.考試時(shí)間為30分鐘.
請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
21(B)．（選修４－２：矩陣與變換）
已知a、b∈R，若M＝
所對(duì)應(yīng)的變換T把直線2x－y＝3變換成自身，試求實(shí)數(shù)a、b.
21(C)．（選修４－４：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P
，直線
，求點(diǎn)P到直線
的距離．
22．（本小題滿分10分）
已知曲線C：y2＝2x－4.
(1) 求曲線C在點(diǎn)A(3，)處的切線方程；
(2) 過(guò)原點(diǎn)O作直線l與曲線C交于A、B兩不同點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．
23．（本小題滿分10分）
已知整數(shù)n≥4，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有4個(gè)元素的子集記為A1，A2，A3，…，
.
設(shè)A1，A2，A3，…，
中所有元素之和為Sn.
(1) 求
并求出Sn；
(2) 證明：S4＋S5＋…＋Sn＝
.
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
2017屆高三七校聯(lián)考期中考試數(shù)學(xué)試卷
第Ⅰ卷 2016年11月
一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卷相應(yīng)的位置上）
1.已知復(fù)數(shù)z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i為虛數(shù)單位)．在復(fù)平面內(nèi)，z1－z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第▲ 象限．
答案：二解析：z1－z2＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，從而z1－z2在第二象限．
本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算．本題屬于容易題．
2．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們期中考試的數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段：[40，50)，
[50，60)，…，[90，100]后得到頻率分布直方圖(如下圖所示)，則分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的人數(shù)是 ▲．
S←1
I←3
While S≤200
S←S×I
I←I＋2
End While
Print I
答案：30 解析：由題設(shè)可知a＝0.03，從而[70，80)人數(shù)為0.03×10×100＝30人．
本題考查頻率直方圖的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于容易題．
(第2題) (第4題)
3.在△ABC的邊AB上隨機(jī)取一點(diǎn)P，記△CAP和△CBP的面積分別為S1和S2，則S1>2S2的概率是▲ ．
答案：解析：由題設(shè)可知P(S1>2S2)＝＝.本題考查幾何概型的基礎(chǔ)知識(shí)．本題屬于容易題．
4．執(zhí)行右上邊的偽代碼，輸出的結(jié)果是 ▲ ．
答案：11 解析：由流程圖知
.本題考查流程圖中當(dāng)循環(huán)語(yǔ)句．本題屬于容易題．
5．設(shè)等差數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，則
．
答案：
.本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、前
項(xiàng)和公式．本題屬于容易題．
6．已知函數(shù)
是奇函數(shù)，當(dāng)
時(shí)，
，且
，則
．
答案：
.本題屬于容易題．
7.設(shè)函數(shù)
的部分
圖象如圖所示.
則
= ▲
答案：
.本題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)．本題屬于容易題．
8．
如圖，在
的方格紙中，若
和
是起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量，
則向量
與
的夾角余弦值是 ▲ ．
答案：
本題主要考查向量的運(yùn)算．本題屬于中等題．
9．已知0＜α＜β＜π，且cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，則tan(β－α)的值為 ．
答案：
.本題考查兩角和與差的正弦、余弦、正切公式.本題屬于中等題．
10.正數(shù)x、y滿足x＋2y＝2，則的最小值為 ▲ ．
答案： 9 解析：＝
(x＋2y)＝(2＋8＋＋·16)≥(10＋2)＝×18＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝4，x＋2y＝2，即y＝，x＝時(shí)“＝”成立．本題考查基本不等式綜合應(yīng)用．本題屬于中等題．
11.已知直線l：x﹣y=1與圓M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B，D分別在圓M上運(yùn)動(dòng)，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為▲ ．
答案：
.本題考查直線與圓的位置關(guān)系．本題屬于中等題．
12．如圖，梯形
中，
，
，
，
若
，則
▲ ．
答案：
.
13．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常數(shù)．若對(duì)于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，則k的值為▲ ．
答案：0或1 解析：∵ Sn＝kn2＋n，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為k＋1公差為2k的等差數(shù)列，an＝2kn＋1－k.
又對(duì)于任意的m∈N*都有a＝ama4m，∴a＝a1a4，(3k＋1)2＝(k＋1)(7k＋1)，解得k＝0或1.
又k＝0時(shí)an＝1，顯然對(duì)于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列；k＝1時(shí)an＝2n，am＝2m，a2m＝4m，a4m＝8m，顯然對(duì)于任意的m∈N*，am，a2m，a4m也成等比數(shù)列．綜上所述，k＝0或k＝1.
本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，考查推理變形的能力．本題屬于中等題．
14.若
，且對(duì)任意
的恒成立，則實(shí)數(shù)
的取值范圍為 ▲ ．
答案：
，解析：易知
在
上均為增函數(shù)，不妨設(shè)
，則
等價(jià)于
即
令
，則
在
為減函數(shù)，
則
在
上恒成立，
恒成立
令
，
，
為減函數(shù)，
在
的最大值為
綜上，實(shí)數(shù)
的取值范圍為
.
本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．本題屬于難題．
二、解答題 （本大題共6小題，共90分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）
15．（本小題滿分14分）在
中，已知
，向量
，
，且
.
(1) 求A的值；
(2) 若點(diǎn)D在邊BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面積．
解：(1) 由題意知m·n＝sinA＋cosB＝0， (2分)
又C＝，A＋B＋C＝π，所以sinA＋cos
＝0， (4分)
即sinA－cosA＋sinA＝0，即sin
＝0. (6分)
又0＜A＜，所以
∈(－，)，所以A－＝0，即A＝. (7分)
注：不寫(xiě)范圍扣1分.
(2) 設(shè)||＝x，由3＝，得||＝3x，由(1)知A＝C＝，所以||＝3x，B＝.
在△ABD中，由余弦定理，得()2＝(3x)2＋x2－2×3x×xcos，(10分)
解得x＝1，所以AB＝BC＝3， (12分)
所以S△ABC＝BA·BC·sinB＝×3×3×sin＝. (14分)
16.（本小題滿分14分）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A1C∥平面AB1D；
（2）設(shè)M為棱CC1的點(diǎn)，且滿足BM⊥B1D，求證：平面AB1D⊥平面ABM．
證明：(1)記A1B∩AB1＝O，連接OD.
∵四邊形AA1B1B為矩形，∴O是A1B的中點(diǎn)，
又∵D是BC的中點(diǎn)，∴A1C∥OD.………2分
又∵A1C?∕平面AB1D，OD?平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D.………6分
注意：條件“A1C?∕平面AB1D，OD?平面AB1D”少寫(xiě)一個(gè)扣除2分，兩個(gè)都不寫(xiě)本小步4分扣完！
(2)∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC. ………8分
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C.
【或利用CC1⊥平面ABC證明AD⊥平面BB1C1C.】………10分
∵BM?平面BB1C1C，∴AD⊥BM.………12分
又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD,B1D?平面AB1D，
∴BM⊥平面AB1D.
又∵BM?平面ABM，∴平面AB1D⊥平面ABM．………14分
17．（本小題滿分14分）已知橢圓C:＋＝1(a＞b＞0)，離心率為
，左準(zhǔn)線方程是
，設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y＝2上，且OA⊥OB．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求ΔAOB面積取得最小值時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度；
解析：(1)設(shè)橢圓的半焦距為
，則由題意的
，解得
所以橢圓C的方程為＋y＝1.........4分
（2）由題意，直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，
若k＝0，則A(，0)或(－，0)，B(0，2)，此時(shí)ΔAOB面積為，AB＝．6分
若k≠0，則直線OA：y＝kx與橢圓＋y＝1聯(lián)立得：
(1＋2k)x＝2，可得OA＝×， 8分
直線OB：y＝－x與y＝2聯(lián)立得：B(－2k，2)，則OB＝2，10分
SΔOAB＝OA×OB＝×，令t＝>1，12分
則SΔOAB＝×＝(t＋)>，
所以SΔOAB的最小值為，在k＝0時(shí)取得，此時(shí)AB＝．..........14分
(注：若利用SΔOAB＝(t＋)≥，忽略k≠0的條件，求出答案的，本問(wèn)給2分)
18.（本小題滿分16分）如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD，其中BMN是半徑為1百米的扇形，
．管理部門(mén)欲在該地從M到D修建小路：在
上選一點(diǎn)P（異于M、N兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ．(1).若
，求
的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)點(diǎn)P選擇在何處時(shí)，才能使得修建的小路
與PQ及QD的總長(zhǎng)最?。坎⒄f(shuō)明理由．
解．（1）連接
, 過(guò)
作
垂足為
, 過(guò)
作
垂足為
在
中，
，
……………4分
（2）設(shè)
，
若
，在
中，
若
則
若
則
…………………8分
在
中，
，
所以總路徑長(zhǎng)
…………………………10分
…………………………12分
令
，
當(dāng)
時(shí)，
當(dāng)
時(shí)，
…………………………14分
所以當(dāng)
時(shí)，總路徑最短.
答：當(dāng)
時(shí)，總路徑最短. …………………………16分
19．（本小題滿分16分）
設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且滿足
.
（1）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列
滿足
，且
，求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)
，數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
.求
.
解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，
，所以
（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，
，且
所以
得：
（3分）
則數(shù)列
是以1為首項(xiàng)，
為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列
的通項(xiàng)公式是
。 （4分）
(2) 由
且
所以：
，
則：
，
，
?? ?
，（7分）
以上n-1個(gè)等式相加得：
則：
＝2－
，又
（9分）
所以：
（10分）
（3）由題意知
（11分）
則
以上兩式相減得
（13分）
則
恒成立
，
注：需用單調(diào)性證明唯一性，否則扣1分. （16分）
20．（本小題滿分16分）
對(duì)于兩個(gè)定義域均為D的函數(shù)f(x)，g(x)，若存在最小正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意x∈D，都有|f(x)－g(x)|≤M，則稱(chēng)M為函數(shù)f(x)，g(x)的“差距”，并記作||f(x)，g(x)||．
（1）求f(x)＝sinx(x∈R)，g(x)＝cosx(x∈R)的差距；
（2）設(shè)f(x)＝(x∈[1,e])，g(x)＝mlnx(x∈[1,e])．(e≈2.718)
①若m＝2，且||f(x)，g(x)||＝1，求滿足條件的最大正整數(shù)a；
②若a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：（1）|f(x)－g(x)|＝|sinx－cosx|＝|sin(x－)|≤，當(dāng)x＝kπ＋，k∈Z時(shí)取“＝”，所以||f(x)，g(x)||＝（4分）
x
(0,16)
16
(16,＋∞)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
↘
↗
（2）①令h(x)＝f(x)－g(x)＝－2lnx．則h′(x)＝－＝，令h′(x)＝0，則x＝16．列表：
∵h(yuǎn)(1)＝1；當(dāng)a＝3時(shí)，h(e)＝e－3，由于e3＞16，因此e＞2，所以e－3＞－1；
當(dāng)a＝4時(shí)，h(e)＝e－4＜－1，故滿足條件的最大正整數(shù)為3． （10分）
②法一：由a＝2，且||f(x)，g(x)||＝2，得|f(x)－g(x)|≤2，從而|－mlnx|≤2，所以－2≤－mlnx≤2．
當(dāng)x＝1時(shí)，上式顯然成立；
當(dāng)x∈(1，e]時(shí)，上式化為≤m≤
令w(x)＝，則w′(x)＝＝＝＜0，
從而w(x)在(1，e]上遞減，從而w(x)min＝w(e)＝＋2，從而m≤＋2；
令v(x)＝，則v′(x)＝＝＝＞0，
從而v(x)在(1，e]上遞增，從而v(x)max＝v(e)＝－2，從而m≥－2，
所以－2≤m≤＋2
又由于||f(x)，g(x)||＝2，故m＝－2或m＝＋2，所以m的取值范圍為{－2，＋2}．（16分）
法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝－mlnx，則h′(x)＝－＝．
（1）若m≤，則h′(x)≥0，從而h(x)在[1,e]上遞增，又h(1)＝1，h(e)＝－m，所以－m＝2，m＝－2；
（ii）若m≥，則h′(x)≤0，從而h(x)在[1,e]上遞減，又h(1)＝1，h(e)＝－m，所以－m＝－2，m＝－2；
（iii）若＜m＜，則由h′(x)＝0，可得x＝4m2，列表
x
1
(1, 4m2)
4m2
(4m2,e)
e
h′(x)
－
0
＋
h(x)
1
↘
2m－mln(4m2)
↗
－m
因?yàn)椋璵＜－＜2，所以2m－mln(4m2)＝－2，．
令u(m)＝2m－mln(4m2)＝m(2－ln4)－2mlnm
∴u′(m)＝2－ln4－2－2lnm＝－ln4－2lnm＝－2ln2m＜0，
∴u(m)＞u()＝－＝，故該情況不成立．
綜上，m的取值范圍是{－2，＋2}． （16分）
2017屆高三七校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷
卷Ⅱ 附加題部分
本部分共4大題，每題10分，共40分。請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
附加：矩陣、極坐標(biāo)與參數(shù)方程、曲線與方程、二項(xiàng)式定理
21(B)．（選修４－２：矩陣與變換）
已知a、b∈R，若M＝
所對(duì)應(yīng)的變換T把直線2x－y＝3變換成自身，試求實(shí)數(shù)a、b.
解：設(shè)
，則
(3分)
∵
，∴ 2(－x＋ay)－(bx＋3y)＝3.
即(－2－b)x＋(2a－3)y＝3. (6分)
此直線即為2x－y＝3，
∴ －2－b＝2，2a－3＝－1.則a＝1，b＝－4. (10分)
21(C)．（選修４－４：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P
，直線
，求點(diǎn)P到直線
的距離．
解：點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(3，)， (4分)
直線l的普通方程為x－y－4＝0， (8分)
從而點(diǎn)P到直線l的距離為
＝. (10分)
22．（本小題滿分10分）
已知曲線C：y2＝2x－4.
(1) 求曲線C在點(diǎn)A(3，)處的切線方程；
(2) 過(guò)原點(diǎn)O作直線l與曲線C交于A、B兩不同點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．
解：(1) ∵ 當(dāng)y>0時(shí)y＝f(x)＝，∴ y′＝＝， (3分)
∴ k＝f′(3)＝， (4分)
∴ 切線為y－＝(x－3)，即x－y－1＝0. (5分)
(2)設(shè)l：y＝kx，線段AB的中點(diǎn)M(x，y)．由得k2x2－2x＋4＝0，(6分)
∴ Δ＝4－16k2>0，∴16k2<4，即k2<2k2<>2.(7分)
設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則
x1＋x2＝－＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＝，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得(9分)
消去k，得y2＝x，即所求軌跡方程為y2＝x(x>2)． (10分)
23．（本小題滿分10分）
已知整數(shù)n≥4，集合M＝{1，2，3，…，n}的所有含有4個(gè)元素的子集記為A1，A2，A3，…，
.設(shè)A1，A2，A3，…，
中所有元素之和為Sn.
(1) 求
并求出Sn；
(2) 證明：S4＋S5＋…＋Sn＝
.
(1) 解：當(dāng)n＝4時(shí)，集合M只有1個(gè)符合條件的子集，
＝1＋2＋3+4＝10，(1分)
當(dāng)n＝5時(shí)，集合M每個(gè)元素出現(xiàn)了
次，
＝
＝40，(2分)
當(dāng)n＝6時(shí)，集合M每個(gè)元素出現(xiàn)了
次，
＝
＝140，(3分)
所以，當(dāng)集合M有n個(gè)元素時(shí)，每個(gè)元素出現(xiàn)了
，故Sn＝
·.(5分)
(2) 證明：因?yàn)镾n＝
·＝
，(7分)
則S4＋S5＋…＋Sn＝10(
)=
. (10分)
