推薦序：數(shù)學解題新概念
談數(shù)學解題的書已經(jīng)夠多的了，本書區(qū)別于其他書的地方就在于有新穎的寫作設(shè)計和鮮明的解題見解。有人說“解題不能教會，只能學會”，本書不是通過“說”去“教人解題”，而是通過“做”去教人“學會”解題，當中釋放的解題認識與我的解題理論多有交集，作為序言，我首先要說說這本書的寫作特色，同時也想探討探討這些特色背后的數(shù)學解題新概念。
一、寫作特色
1.精強的創(chuàng)作團隊
(1)本書作者是一批思維活躍的解題高手，他們來自十余個省市，而又匯聚在“中國數(shù)學解題研究會”的網(wǎng)絡(luò)平臺之下。在這個藏龍臥虎的QQ群里，集中了2000名志同道合的解題愛好者。群內(nèi)積淀了2007年以來質(zhì)優(yōu)量豐的解題新成果，作為這些成果的“再篩選成果”，本書內(nèi)容通過群內(nèi)征稿競爭的方式優(yōu)中選優(yōu)?？梢哉f，這是精強解題團隊不事張揚的報到，是集體解題智慧不無瀟灑的亮相。
(2)這個群策群力的解題研究群體，人人有良好的解題胃口，處處有濃厚的學術(shù)氛圍，其主體是一線高中數(shù)學教師，另有部分大學教師、研究生、大學生和解題愛好者，骨干是才華橫溢的中青年，當中不乏“金牌作者”、“網(wǎng)絡(luò)明星”、“可畏”后生。他們熟悉高中數(shù)學內(nèi)容，精通高中解題技術(shù)，摸透高中學生心理，由他們給高中生講解題，具有“讀懂學生”的“內(nèi)行”優(yōu)勢，具有“通達課堂”的“實用理”強勢。
2.精明的內(nèi)容結(jié)構(gòu)
(1)本書“不求面面俱到，只求精典有效”，即不求全面覆蓋，只講學生最需要的，選題精典，解法多樣，講解精彩，以實用為宗旨，以提高解題能力為目標。內(nèi)容大致分為六大模塊，每個模塊由“名師指路”和“解題高手”兩大版塊構(gòu)成。其中名師指路板塊有“思維導引”、“要點提醒”、“解后反思”、“手把手”等欄目。這既抓住了中學數(shù)學的主體，又抓住了數(shù)學高考的重點、熱點和關(guān)鍵。
(2)“名師指路”和“解題高手”的結(jié)構(gòu)，改變了解題寫作的老套路：“題目→分析→解證→點評→變式→練習”，是用一種新的模式來學習解題，學會思考：“手把手”以面對面輔導學生的形式隨時按需插入，與學生合作交流，并引導學生進入解題的新境界，然后在“解題高手”中進行鞏固和升華。
(3)書中選題體現(xiàn)一個“精”字，精選了高考題、模擬題、改編題，特別提倡原創(chuàng)題，難度以中檔綜合題為主。中檔題說得清楚、聽得明白，尤其分析到位，使不同層次的學生都會有豐厚的收獲。
(4)內(nèi)容講解講究“原創(chuàng)”，新編題自不待言，那些優(yōu)秀的經(jīng)典題由作者以娓娓道來的筆觸重新組織，解題方法思路靈活，視角獨特，一題多解，是眾多作者多年積累和智慧的結(jié)晶，并用貼近學生的語言換位講述。
3.精彩的思路點撥
(1)本書的思路點撥重點體現(xiàn)在“手把手”上，而“手把手”又突出一個“導”字，其
效果是讓學生感覺到是自己在做題，身邊坐著一位名師，與他進行面對面的合作交流。在學生感覺有困難時，隨時插入“手把手”欄目——猶如身邊的名師有針對性地給出思路提示、方法引導、技巧點撥，然后學生再解一解，又有困難時，再“手把手”交流一番，學生再自己解一解，直到完成。這是本書“手把手”教學生解題的一個新創(chuàng)意。
(2)本書的思路點撥還體現(xiàn)在“思維導引”和“要點提醒”上，“思維導引”重在整體分析題目的條件、結(jié)論、難點和思路；而“要點提醒”則引導學生把握解法要點，并及時指出學生容易誤解的題意內(nèi)容、容易忽略的知識細節(jié)或容易出錯的邏輯漏洞等。
(3)本書的“解題高手”部分由若干練習組成，精選了相關(guān)內(nèi)容或相關(guān)方法的足量練習，服務(wù)于“思路點撥”的鞏固與提高；題目追求新穎，難度以中檔題為主，讓學生面臨新情景，不加努力做不了，經(jīng)過努力又可以完成。
(4)本書中內(nèi)容和方法的典型性、形式和結(jié)構(gòu)的新穎性，不僅適合學生學習，而且也有助于老師開拓眼界，提高解題教學的能力。
4.精要的回顧反思
回顧反思是解題的一個必要步驟(在我看來還是學會解題的一條捷徑)，鑒于寫作的主題，本書把“思路探求”作為重點，而把“解后反思”安排為“備選欄目”，主要用來精要指出“規(guī)律挖掘、題根探源”等需要反思的東西。至于解題反思“思什么、怎么思”還有很大的展開空間。
二、數(shù)學解題新概念
諒讀者已經(jīng)看到，在上述寫作特色的背后本書有解題思想作指導，并以厚實的解題實踐演繹了數(shù)學解題新概念。就是說，本書沒有停留在“這樣解題”的資料層面上，既談“怎樣解題”又談“怎樣學會解題”。我不希望看到，讀者讀完解題書之后連“什么叫題、什么叫解題”都不甚了了，更別說感悟到解題思想了。因此，我愿在讀者正式展開全書的實質(zhì)內(nèi)容之前，借序言的空間說說什么叫數(shù)學題、什么叫數(shù)學解題，以及怎樣解數(shù)學題等。讀者可以按部就班地先閱讀這一部分(先務(wù)虛后務(wù)實)，也可以閱讀正文后再回來體味這一部分(先務(wù)實后務(wù)虛)。
1.數(shù)學題
給數(shù)學題作出嚴格界定是一件困難的事情，我就把數(shù)學上回答起來有困難、需要解決的事情作為數(shù)學題的寬松界定。
(1)數(shù)學題(簡稱題)是指數(shù)學上要求回答或解釋的事情，需要研究或解決的矛盾。
(2)對數(shù)學家而言，僅當命題的真假未被證實時才成為問題，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解決了就稱為“定理”(公式)，不成為問題了。這更多地體現(xiàn)了“需要研究或解決的矛盾”，我們稱為研究型的數(shù)學題。
在數(shù)學教學中，則把結(jié)論已知的命題也稱為題，因為它對學生而言，與數(shù)學家所面臨的問題，情景是相似的、性質(zhì)是相同的，這時候的數(shù)學題是指：為了實現(xiàn)教學目標而要求師生們解答的題目，重點在“要求回答或解釋的事情”上。內(nèi)容包括(而非全部)一個待進行的運算、一個待推理的證明、一個待完成的作圖、一個待建立的概念、一個待論證的定理、一個待解決的實際問題等。呈現(xiàn)方式有課堂上的提問、范例、練習和所解決的概念、定理、公式，有學生的作業(yè)、測驗、考試以及師生共同進行的探究性、研究性課題等。這是一類教學型的數(shù)學題。
(3)特別提示。有人認為，上課的前半部分是講概念、定理，后半部分做的才是題。其實，如何構(gòu)建概念、怎樣發(fā)現(xiàn)和論證定理也是題！比如，在“二分法”的教學中，常常見到教師創(chuàng)設(shè)商品“猜價格”游戲，每次猜后老師都會給出“多了”還是“少了”的提示，說高了的往低猜，說低了的往高猜，不斷調(diào)整，逐步接近真正價格，由此引入“二分法”。然后，以求一個具體方程(如)的近似解為例，經(jīng)歷求近似解的過程，總結(jié)出“二分法”的一般程序。但是，學生學完這節(jié)課之后，感到“猜價格”與“二分法”，即現(xiàn)實情景與數(shù)學內(nèi)容是兩張皮，除了“一半、一半又一半”的操作方法類似之外，學生見不到“連續(xù)函數(shù)”，見不到“區(qū)間端點的函數(shù)值異號”，見不到“函數(shù)零點”，見不到“方程”，見不到“方程的解”等等。如何由“猜價格游戲”(生活化情景)提煉出連續(xù)函數(shù)和它的應(yīng)用——二分法？就是一道題。
鑒于寫作的主題，本書選用的基本上都是結(jié)構(gòu)良好的封閉題，并且是已經(jīng)“形式化、符號化”的居多。
(4)數(shù)學題的標準形式包括兩個最基本的要素：條件與結(jié)論。條件是問題解決的起點，結(jié)論是問題解決的目標，問題的關(guān)鍵在于，達到目標相對于問題解決者來說存在一定的障礙。問題的實質(zhì)是：從初始狀態(tài)到目標狀態(tài)之間的障礙，由現(xiàn)有水平到客觀需要之間的矛盾。本書寫作的著力點就放在這個實質(zhì)上。
2.數(shù)學解題
(1)解題就是求出數(shù)學題的答案，這個答案在數(shù)學上也叫做“解”，所以，解題就是找出題的解的活動。
(2)常規(guī)的數(shù)學題包括兩個要素：條件與結(jié)論。解題就是溝通條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，又包括解和解題依據(jù)，因此解題一共有4個要素：條件，結(jié)論，解(溝通條件與結(jié)論的聯(lián)系)，解題依據(jù)。
(3)解題就是將先前已獲得的知識用于新的、不熟悉的情境的過程。同樣，高考解題就是將課堂上獲得的數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學經(jīng)驗用于解決高校招生考試的新試題。
(4)波利亞說：掌握數(shù)學就是意味著善于解題。他的《怎樣解題表》一書把解題分解為4個步驟：弄清問題，擬定計劃，實現(xiàn)計劃，回顧。(解題化歸論)
本書的范例講解對解題化歸論、解題推理論有許多精彩的演繹，至于“解題差異論”“解題信息論”和“解題的心理機制”等還有很大的展開空間。
3.數(shù)學解題的基本過程
解題過程不僅僅是“書寫表達”，它應(yīng)該包括從拿到題目到完全解出的所有環(huán)節(jié)或每一步驟，通過回顧自己的實際操作(看題、想題、答題、回題)可以看到，解題通常有四個基本的階段：理解題意、思路探求、書寫表達、回顧反思。大家對這個感性的過程并不陌生，問題在于能不能上升到理性的高度。比如：大家都知道解題的首要前提是審題，但審題“審什么、怎么審”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道解題的思維核心是思路探求，但探求“探什么、怎么探”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道解題的最終呈現(xiàn)是書寫，但書寫“寫什么、怎么寫”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？大家都知道學會解題的好途徑是反思，但反思“思什么、怎么思”能夠說清楚、講明白、做到位嗎？
應(yīng)該說，本書對這四個階段都作出了示范，而重點是突出“思路探求”、突出“探什么、怎么探”。
(1)理解題意。
①理解題意也叫做審題，主要是弄清題目已經(jīng)告訴了你什么，又需要你去做什么，從題目本身獲取“怎樣解這道題”的邏輯起點、推理目標、及溝通起點與目標之間聯(lián)系的更多信息。審題要特別抓好“審什么的三個要點、怎么審的四個步驟”。
②“審題審什么”的三個要點是：
要點1：弄清題目的條件是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何；
要點2：弄清題目的結(jié)論是什么，一共有幾個，其數(shù)學含義如何；
要點3：弄清題目的條件和結(jié)論有哪些數(shù)學聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu)。
③“審題怎么審”的四個步驟是：
步驟1：讀題——讀懂字面含義；
步驟2：理解——弄清數(shù)學含義；
步驟3：表征——識別題目類型；
步驟4：深化——接近深層結(jié)構(gòu)。
這些要點、步驟，敘述時是分解動作，真正解題時是連續(xù)進行、一氣呵成的。本書的“思維導引”留有審題的位置，而“要點提醒”和“名師指路”里滲透有審題的第4步(深化)。
經(jīng)驗表明，解題找不到思路、思路中途受阻以及解答錯誤等都可以從審題“未審清”或“審不清”中找到原因。
(2)思路探求
①思路探求就是尋找題目條件與題目結(jié)論之間的數(shù)學聯(lián)系，它表現(xiàn)為溝通條件與結(jié)論的一系列演算或推理。尋找解題思路是探索解題結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程(探索！發(fā)現(xiàn)！)。
②思路探求中有三個出現(xiàn)頻率很高的詞：解題思路、解題方法、解題技巧。解題思路是指解題思維活動的線路或框架，它指明了問題解決的方向，具有戰(zhàn)略性的價值，體現(xiàn)為策略思想的應(yīng)用；解題方法是指解題所采用的手段、步驟等方式的總和，它是實現(xiàn)問題解決的道路或程序，具有通理通法的普遍意義；解題技巧是指解決特殊問題的專用計策或招術(shù)，具有機巧靈活的戰(zhàn)術(shù)性特征。成功解題需要解題思路、解題方法、解題技巧三者的密切配合與逐層推進。
③中學教學的基本想法是，把待解決或未解決的問題，化歸為一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題。這在求解高考題中的具體化是：化歸為課堂上已經(jīng)解決的問題、化歸為往年的高考題或其變形。
④可以把思路探求“探什么、怎么探”設(shè)計為一個操作流程圖。
(3)書寫表達。
①書寫表達就是把打通了的解題思路(即自己看清楚、想明白的事情)，用文字具體表達出來，說服自己、說服別人(包括同意或不同意自己看法的人)。應(yīng)該看到，“怎樣表達”是一個需要系統(tǒng)指導和嚴格訓練的問題。書寫表達要特別抓好“寫什么的15字口訣和怎么寫的24字要領(lǐng)”。
②“寫什么”的“15字口訣”是：定方法、找起點、分層次、選定理、用文字。
③“怎么寫”的“24字要領(lǐng)”是：方法簡單、起點明確、層次清楚、定理準確、論證嚴密、書寫規(guī)范。
(4)回顧反思。
①反思就是從自身的認識活動中“脫身”出來，作為一個“旁觀者”來看待自己剛才做了些什么事情，使自己的活動成為思考的對象。數(shù)學解題有兩個層面的回顧反思，一個是解題層面的回顧反思，另一個學會解題層面的回顧反思。
②解題層面的回顧反思：主要是復查檢驗，看計算是否準確、推理是否合理、思維是否周密、解法是否還有更多、更簡單的。有的檢驗是解題的必要步驟，檢驗之后，解題才算完成；有的檢驗是避免過失的技術(shù)性措施，像足球守門員把住最后一關(guān)。
③學會解題層面的回顧反思：表現(xiàn)為解題后對數(shù)學題目本身及解題方法的重新認識。
學會解題層面的回顧反思“思什么”：主要想解題中用到了哪些知識？用到了哪些方法？這些知識和方法是怎樣聯(lián)系起來的？自己是怎么想到它們的？困難在哪里？關(guān)鍵是什么？遇到過什么障礙？后來是怎么解決的？還有別的解決方法嗎（更一般的方法、更特殊的方法、溝通其他學科的方法、更簡單的方法等）？同樣的方法能用來處理更一般性的命題嗎？命題能夠推廣嗎？條件可以減弱嗎？結(jié)論還能加強嗎？這些知識和方法體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學思想？調(diào)動這些知識和方法體現(xiàn)了什么樣的解題策略？洞察問題的深層結(jié)構(gòu)了嗎？題目有無科學性問題？解題有無邏輯性漏洞？……如此等等的思考不僅能改進和完善當前的解題，而且能提煉出對未來解題有指導作用的信息，它的長期積累會升華為數(shù)學才華。
學會解題層面的回顧反思“怎么思”：通常要經(jīng)歷“整體分解”與“信息交合”兩個步驟。即先把原解法的全過程分拆為一些信息單元，看用到了哪些知識、哪些方法，它們是怎樣組合在一起的，從中概括出知識基礎(chǔ)、邏輯結(jié)構(gòu)、信息流程、心理過程等。然后，抓住整體分解中提煉出來的新認識或本質(zhì)步驟，將信息單元轉(zhuǎn)換或重組成新的信息塊，使認識更接近問題的深層結(jié)構(gòu)。于是，一個新的解法就誕生了，所儲存的數(shù)學知識之間的非人為的、實質(zhì)性的聯(lián)系就加強了，怎樣學會解題的體驗就生成了。
4.解題觀念
事實表明，學生解了大量的題但還“不開竅”的一個基本原因是：這些學生沒有分析過所解的題，也沒有分析過典型的習題，解題常常只是為了得個答案。因此
(1)我們應(yīng)當學會這樣一種對待習題的態(tài)度，即把習題看作是精密研究的對象，而把解答問題看作是設(shè)計和發(fā)明的目標。
(2)我們應(yīng)把解答問題發(fā)展為獲得新知識和新技能的學習過程。(而不僅僅是學習結(jié)果的鞏固)
(3)誰也無法教會我們解所有的題目，重要的是，通過有限道題的學習去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學機智。
(4)解題實踐表明：分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑，至少在沒有找到更好的途徑之前，這是一個無以替代的好主意。因而，解題學習要經(jīng)歷：記憶模仿、變式練習、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析幾個階段。
2014年11月于惠州
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