相似形知識總結(jié)
成比例線段：
在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做(成)比例線段.
比例性質(zhì)
⑴基本性質(zhì)(比例式與等積式相互變形)
↓ |
同時更換內(nèi)外項(xiàng)③ ；更換外項(xiàng)② ；
⑵合并性質(zhì)(在分子上進(jìn)行加或減)
②
平行線分三角形兩邊成比例
平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所得的對應(yīng)線段成比例.【如圖，∵DE∥BC，
∴
⑶等比性質(zhì)
.
黃金分割
點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC、BC，且滿足AC2=AB·BC(或BC2=AC·AB)，則點(diǎn)C即為線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC:AB=BC:AC(或BC:AB)即為黃金比.
相似三角形的判定
預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的三角形與原三角形相似.(∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC)
作EF∥AB，證口BDEF，∴DE=BF；
判定定理1: 兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似.
判定定理2：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.
判定定理3：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.
判定結(jié)論4：斜邊、直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.
基本圖形及變化圖——給出一對角相等證相似
∠ADE=∠ABC 或∠AED=∠ACB，證平行得相似
或：根據(jù)所給條件(同上)加上隱含條件(公共角或?qū)斀窍嗟?證相似
特殊圖形——雙垂直
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴△ACD∽△CDB∽△ABC
射影定理
⑴△ACD∽△CDB→AC:BC=AD:CD=CD:BD→CD2=AD·BD
⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC=CD:BC→AC2=AD·AB
⑶△CDB∽△ABC→CD:AB=BC:AC=BD:BC→BC2=BD·AB
結(jié)論：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD
結(jié)論：面積法得AB·CD=AC·BC→比例式
特殊圖形——∠ACD=∠B(∠A=∠A)
△ABC∽△ACD→CD:BC=AC:AB=AD:AC→AC2=AD·AB
相似三角形的性質(zhì)
⑴相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
⑵相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；
⑶相似三角形周長的比等于相似比；
⑷相似三角形面積的比等于相似比的平方.
注：相似多邊形有類似的性質(zhì)
證明等積式(比例式)策略
1、直接法：通過證明三角形相似
觀察比例式分子中兩條線段(三個頂點(diǎn)字母)與分母中兩條線段是否在兩個(相似)三角形中；
變化：等號同側(cè)的分子與分母組成三角形
2、間接法：
⑴3種代換
⑵創(chuàng)造條件
典型例題
1、如圖，AD是△ABC的角平分線.
求證：AB:AC=BD:CD.
(1)過D作DE∥AC交AB于E，
則∠2=∠3，BE:EA=BD:DC
且△BDE∽△BCA，
∴BE:BA=DE:AC即BE:ED=BA:AC
∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴EA=ED
∴AB:AC=BD:DC
(2)過B作BE∥AC交AD的延長線于E，
則∠2=∠E，且△BDE∽△CDA，
∴BE:AC=BD:DC
∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2
∴∠1=∠E，∴AB=BE
∴AB:AC=BD:DC
(3) 過C作CE∥AD交BA的延長線于E，
則AB:AE=BD:DC，∠1=∠E，∠2=∠3
∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2
∴∠3=∠E，∴AC=AE
∴AB:AC=BD:DC
方法總結(jié)：根據(jù)平行或相似寫比例式的區(qū)別；
區(qū)別：平行線可寫(上:下，全:下)，相似不可以；
相似可寫(橫:橫)即平行線段本身，平行不可以；
相同：均可寫(上：全)
練習(xí)1：如圖，在△ABC中，AB=AC，
過AB的延長線上一點(diǎn)D，作直線DE
交BC于F，交AC于E.
求證：DF:FE=BD:CE.
練習(xí)2：如圖，在△ABC中，AB>AC，D為AB
上一點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，AD=AE，
直線DE和BC的延長線交于點(diǎn)P，
求證：BP:CP=BD:CE.
練習(xí)3：如圖，在△ABC中，BF交AD于E.
(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC；
(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.
2、如圖，AD是△ABC的角平分線，EF垂直平分AD，
交BC的延長線于E，交AB于F.
求證： DE2=BE·CE.
分析：等積式先化成比例式
DE:BE=CE:DE
由于上述線段在同一直線上，無法形成三角形；
由垂直平分線性質(zhì)聯(lián)想：連結(jié)AE，則AE=DE，等線段代換后需證AE:BE=CE:AE，則可通過證明△ACE與△BAE相似得到.
3、已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E為AC的中點(diǎn)，ED的延長線與AB的延長線交于F.
求證：AB·AF=AC·DF
分析：欲證等積式，需證比例式AB:AC=DF:AF，再看這四條線段能否所屬(分配)兩個可能相似的三角形中，發(fā)現(xiàn)這四條線段分別在△ADF和△ABC中，但形狀不相似，即直接證相似不可能.但AB:AC是“雙垂直”三角形的邊，可以考慮等比代換；猜想BD:AD可以作為中間比——與DF:AF比值相等，而且可以證明兩個三角形相似(△DBF∽△ADF).
4、如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求證：AE:AF=AC:AB.
分析：如果直接證△AEF∽△ACB存在困難，觀察發(fā)現(xiàn)圖中有兩個“雙垂直”三角形，且AD是公共邊，由射影定理可知AD2=AE·AB，AD2=AF·AC，即通過等積代換，再化成比例式.
5、如圖，D、E分別在△ABC的AC、AB邊上，
且AE·AB=AD·AC，BD、CE交于點(diǎn)O.
求證：△BOE∽△COD.
分析：欲證△BOE∽△COD，發(fā)現(xiàn)圖形中有隱含條件(對頂角相等)，而題目所給等積式條件化成比例式后再結(jié)合隱含條件(公共角)可證明△ABD∽△ACE，從而得出∠ABD=∠ACE.再用兩角對應(yīng)相等證相似.
即證兩次相似，第一次相似為第二次相似提供條件
常見相似圖形補(bǔ)充：
如圖，△ABC是等邊三角形，∠DAE=120°，
由于∠1+∠2=60°，∠1+∠D=60°，∠E+∠2=60°，
∴∠1=∠D，∠2=∠E，
又∠DAE=∠ABD=∠ACE=120°，
∴△ADB∽△EAC∽△EDA
動點(diǎn)問題：
(1)如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒△PBQ與△ABC相似？
(2)如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒4cm的速度向點(diǎn)B移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為x秒.
(1)當(dāng)x為何值時，PQ∥BC?
(2)△APQ能否與△CQB相似？
若能，求出AP的長；
若不能，說明理由.
如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E為DC邊上的動點(diǎn)，EF⊥AE交BC于F，連結(jié)AF.在△ADE與△CEF、△ADE與△ABF、△ADE與△AEF中，
(1)如果一定相似，請證明；
(2)如果一定不相似，請說明理由；
(3)如果不一定相似，請指出當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時相似.
“雙垂直”中的計算：
如圖，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D.
(1)已知AB=29，AD=4，求CD和AC；
(2)已知BC=5， CD=4，求AD和BD；
(3)已知BC=10，AD=6，求BD和AC；
(4)已知CD=10，AD=4，求BC和AC.
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