作者 | 趙潔 林開亮
數(shù)學(xué)課要講得孩子們有興趣。孩子們都是有好奇心的。他們對數(shù)學(xué)本來也有好奇心?？墒侨绻痰貌缓?，把數(shù)學(xué)講得干巴巴的，扼殺了好奇心，數(shù)學(xué)就難了。
陳省身（見【28】）
如果我們希望得到更多更好的社會支持，那么作為團(tuán)體，我們必須做得更好。特別的，我們必須培養(yǎng)出更好的數(shù)學(xué)教師。我要非常謹(jǐn)慎地說，促使我決定成為職業(yè)數(shù)學(xué)家的最重要的人是 Lottie Wilson，她是我從前的高中數(shù)學(xué)教師。Wilson 夫人讓人理解到她的課有一個(gè)本質(zhì)的特征，她明白數(shù)學(xué)的崇高和神秘，她還知道，得到正確的答案無法用別的來代替。
P. A. Gri?th（見【12】）
當(dāng)然讀者要問，是否必須要求學(xué)生學(xué)習(xí)正確的數(shù)學(xué)？要知道，不正確的數(shù)學(xué)是非理性的產(chǎn)品，不是從按部就班、有跡可循的思路得到的結(jié)果。我們不可能要求中小學(xué)生學(xué)習(xí)這種不合情理的數(shù)學(xué)。譬如說，要讓學(xué)生掌握“負(fù)負(fù)得正”而不講邏輯推理，唯一的辦法就是說服學(xué)生某些數(shù)學(xué)只能死記硬背不能推理。一旦有了這個(gè)心理狀態(tài)，學(xué)生難道還有希望去學(xué)習(xí)高深的數(shù)學(xué)嗎？又譬如說，一般的課本要求學(xué)生了解“變量” 是什么才能學(xué)習(xí)代數(shù)。在這種情況下，學(xué)生們不免產(chǎn)生一種錯(cuò)覺，每見一個(gè)符號就提心吊膽，以為這個(gè)符號一定是一個(gè)在紙上跳動(dòng)的“變量”。這種數(shù)學(xué)是能夠讓學(xué)生學(xué)習(xí)的嗎？
伍鴻熙
概述
近些年來，中小學(xué)的數(shù)學(xué)教育引起了世界各國的數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注，其中的代表者有：俄國的阿諾爾德（Arnold【2，3】），美國的巴斯（Bass【5，6】），匈牙利的羅瓦茲（Lovász【16】），中國的吳文?。ā?6】）、姜伯駒（【14】）等。這里我們要介紹的是美籍華人伍鴻熙（Hung-Hsi Wu）關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理念與工作。
為了提高美國大、中、小學(xué)的數(shù)學(xué)教育水平，加州大學(xué)伯克利分校的知名數(shù)學(xué)教授伍鴻熙十年前正式轉(zhuǎn)行投身數(shù)學(xué)教育， 特別是為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師做師資培訓(xùn)。伍教授的目標(biāo)很明確， 就是要讓數(shù)學(xué)老師教好數(shù)學(xué)， 最終讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)是能夠?qū)W懂的。近十余年里， 伍教授發(fā)表了多篇關(guān)于數(shù)學(xué)教育的文章， 見諸數(shù)學(xué)教育的各種期刊雜志、 會議文集。一些代表性的文章可見于伍鴻熙教授的個(gè)人主頁，http://math.berkeley.edu/～wu.
近二十年來，伍教授對中小學(xué)數(shù)學(xué)作了系統(tǒng)的剖 析，融合師資培訓(xùn)的經(jīng)驗(yàn)，將其成果總結(jié)成三套師資培訓(xùn)專著《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》、《初中代數(shù)序曲》與《初中代數(shù)》、《高中數(shù)學(xué)教程 I-III》，分別適用于小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)教師，真可謂“廿年辛苦不尋?！?。下面我們就來簡單地介紹一下這些專著。
《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》（【19】）主要介紹了小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該掌握的關(guān)于數(shù)的一些理論，包括自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、有理數(shù)、無理數(shù)以及涉及到的某些初等數(shù)論，分別詳細(xì)地討論了這些概念及其運(yùn)算性質(zhì)。在首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院李慶忠教授的鼓勵(lì)和丁潔、王盼盼、 王麗芳等同學(xué)的幫助下，筆者已將《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》翻譯成中文，并由北京大學(xué)出版社出版。本文第三節(jié)將對此書展開詳細(xì)的介紹與評述。
《初中代數(shù)序曲》（【20】）從分?jǐn)?shù)講到初等幾何， 目的是要把初中代數(shù)所需要的一切知識都說清楚。特別值得一提的是，書中對初等幾何的討論，開始嘗試用直觀的方法解釋了“全等”與“相似”的基本概念， 然后用同樣直觀的方法解釋了兩個(gè)三角形“相似”的刻劃條件。這個(gè)處理初中幾何的方法，是目前美國國家統(tǒng)一核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中從初二到高中的幾何標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)。
《初中代數(shù)》（【20】）介紹初等代數(shù)的基本概念， 包括正確運(yùn)用符號、線性方程及其圖形（為什么是一條直線）、函數(shù)的概念、一次與二次函數(shù)及其圖形，等等。值得指出的是，這部分說明了，為什么懂得恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用符號就可以明白“變量”是一個(gè)慣用的名詞而不是一個(gè)數(shù)學(xué)上的概念。另一方面，這部分也指出了， 為什么配方的技巧是了解二次函數(shù)所有問題的基本工具。
《高中數(shù)學(xué)教程 I-III》（【21】）內(nèi)容涵蓋了分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、初等數(shù)論、代數(shù)（多項(xiàng)式、指數(shù)、對數(shù)、復(fù)數(shù)、 代數(shù)基本定理）、幾何（全等、相似、平面三角形的幾何、圓的幾何、面積與體積）以及初等的微積分。
2010 年 6 月，美國頒布了國家統(tǒng)一核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)（Common Core State Mathematics Standard，以下簡稱CCSMS），這也是伍教授自始至終參與完成的。
2011 年 9 月，伍教授在首都師范大學(xué)為數(shù)學(xué)院的師生做了題為“高觀點(diǎn)下的中小學(xué)數(shù)學(xué)”的系列講座，其間筆者有幸與伍教授近距離接觸，從而對伍教授關(guān)于數(shù)學(xué)教育的想法和工作有了進(jìn)一步的了解。這里筆者 想談?wù)勎覀兊囊稽c(diǎn)心得，與各位讀者分享一下我們的 點(diǎn)滴收獲。本文旨在引起讀者對伍教授所做工作的興趣，最終目的則是希望引起教育同行們對數(shù)學(xué)教育的 關(guān)注。
1 伍教授其人
伍鴻熙，1940 年出生于香港，1961 年在哥倫比亞大學(xué)取得數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位，1963 年在麻省理工學(xué)院取得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。他先后擔(dān)任過麻省理工學(xué)院的研究員、 普林斯頓高等研究院成員，1965-2009 年任教于加州大學(xué)伯克利分校，2009 年至今是該校名譽(yù)退休教授。1997-2005 年期間，伍教授與加州政府就數(shù)學(xué)教育進(jìn)行了全方位的合作。
伍鴻熙教授，圖片來自 math.berkeley.edu
2000-2001 年任美國國家教育進(jìn)展評估數(shù)學(xué)指導(dǎo)委員會委員，2006-2008 年擔(dān)任美國總統(tǒng)的國家數(shù)學(xué)顧問組的成員。他目前是2011 數(shù)學(xué)與自然科學(xué)項(xiàng)目 TIMSS （Third International Mathematics and Science Study，第三次國際數(shù)學(xué)和科學(xué)評測）評審委員會成員。
伍鴻熙是知名的幾何學(xué)家，是陳省身先生在伯克利所營建的幾何王國的核心人物之一。他與學(xué)生 R. E. Greene 合作，對復(fù)流形的曲率與函數(shù)論關(guān)系作了精細(xì)的研究，得到了許多深刻的結(jié)果。受陳省身先生關(guān)于多復(fù)變函數(shù)的 Nevanlinna 理論幾何化觀點(diǎn)的影響，他在微分幾何的框架下重新詮釋并進(jìn)一步發(fā)展了 Ahlfors-Weyl 關(guān)于全純曲線的 Nevanlinna 理論，并形成專著《全純函數(shù)的值分布論》，作為普林斯頓大學(xué) Annals of Mathematics Study 叢書第 64 號出版。他還與薩克斯（R. K. Sachs）合作寫了一本《廣義相對論：給學(xué)數(shù)學(xué)的人》以及《廣義相對論和宇宙學(xué)》，前一本書作為GTM 叢書第 48 號出版，并且有蕭欣忠先生的中譯本（臺北曉園出版社出版）。
在陳省身先生的帶動(dòng)與鼓舞下，伍教授多次回國講學(xué)，其講義經(jīng)整理出版的有《黎曼幾何引論》、《黎曼幾何選講》、《緊黎曼曲面引論》、《微分幾何中的Bochner 技巧》。這些著作膾炙人口、引人入勝，深受讀者歡迎，培養(yǎng)了廣大本科生和研究生對幾何的興趣， 掀起了國內(nèi)學(xué)習(xí)、研究幾何的陣陣熱潮，造就了一批又一批年輕的幾何學(xué)者。
從 1992 年起，伍教授開始關(guān)注數(shù)學(xué)教育工作。他注意到，當(dāng)時(shí)的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育體系、教育方式以及教材中存在一系列問題。由于教師不能給予正確的指導(dǎo)，學(xué)生受不到正確的數(shù)學(xué)教育，以致逐漸喪失了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。作為數(shù)學(xué)家，他認(rèn)為僅僅提出這些問題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，關(guān)鍵是要想辦法解決這些問題。如果僅僅指出問題而不提出解決問題的方法，那么隱含 的意思就是這些問題很容易解決。但事實(shí)上，對于數(shù)學(xué)教育來說，我們必須重新思考數(shù)學(xué)知識方面存在的種種誤區(qū)。如果數(shù)學(xué)家想致力于改進(jìn)數(shù)學(xué)教育而不僅僅是想引發(fā)爭論，那么他們就應(yīng)該努力針對每個(gè)問題進(jìn)行解決。正是這種想法促使伍教授逐漸轉(zhuǎn)行走上了數(shù)學(xué)教育之路。
從 2000 年起，伍教授開始在美國組織一年一度的為期三周的中小學(xué)數(shù)學(xué)暑期師資培訓(xùn)，這一項(xiàng)目陸續(xù)受到了加州政府、洛杉磯教育辦公室、Stephen D. Bechtel. Jr. 基金會的資助。這種師資培訓(xùn)以數(shù)學(xué)知識為主要載體，經(jīng)受住了時(shí)間的考驗(yàn)，逐漸得到了大眾 的認(rèn)可。十多年來，受到培訓(xùn)的教師的人數(shù)已成百上千，并且還將有更多的教師因此而受益。
2008 年，在從事數(shù)學(xué)教育近十年之后，伍教授在第四屆世界華人數(shù)學(xué)家大會中學(xué)數(shù)學(xué)教育論壇上（見【18】）談到了他的三點(diǎn)心得：
第一，數(shù)學(xué)教育是“數(shù)學(xué)工程”，與“數(shù)學(xué)”有異；
第二，數(shù)學(xué)家如要改善數(shù)學(xué)教育，需要作建設(shè)性的批評；
第三，數(shù)學(xué)家應(yīng)該致力于師資培訓(xùn)。但要有收獲，就需要對中小學(xué)數(shù)學(xué)有深切的認(rèn)識。
2 伍教授談中小學(xué)數(shù)學(xué)教育
存在的主要問題
伍教授認(rèn)為，美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的問題主要來自于三個(gè)方面：教師、教材和師資培訓(xùn)。同樣的問題在大陸也相當(dāng)嚴(yán)重，下面我們就分別來談一談這三個(gè)方面的問題。
2.1 教師方面的問題
伍教授認(rèn)真思考美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的問題根源所在，得出這樣一個(gè)驚人的結(jié)論（見【29】）：“在美國，中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的最大問題是，很多中小學(xué)數(shù)學(xué)教師不懂?dāng)?shù)學(xué)?！蔽榻淌谂e例說，有的數(shù)學(xué)教師甚至不明白定義和定理之間的差別。根據(jù)在三大洲（北美洲，亞洲和大洋洲）進(jìn)行的教師培訓(xùn)的經(jīng)驗(yàn)，他發(fā)現(xiàn)，這種情況其實(shí)很普遍。如果教師對他所講授的學(xué)科缺乏很好的理解（見【23】），而妄圖“以其昏昏使人昭昭”，那么后果可想而知，他根本不可能教好學(xué)生。反之，如果教師對所教的科目有透徹的了解，他本人的腦海中有一幅整體上清晰的圖景，那么他教好這門課的可能性就大得多。舉例來說，美國當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家格列菲斯（Gri?ths） 就是因?yàn)橛行矣龅搅诉@樣一位出色的高中數(shù)學(xué)教師而對數(shù)學(xué)發(fā)生興趣并最終走上了職業(yè)數(shù)學(xué)家的道路（見本文標(biāo)題下的第二段引用），在另一個(gè)場合，他這樣說道（見【8】的結(jié)尾部分）：
在當(dāng)今世界，科學(xué)知識尤為重要。許多工作都要求具備定量的、分析的技能?？茖W(xué)所教給你的事實(shí)就是實(shí)事求是（evidence- based reasoning）的精神，而我們正是在這一點(diǎn)上失敗了。要成為本國的好公民，你需要對科學(xué)有一般的認(rèn)識。
看看進(jìn)化論的爭辯、看看新聞和報(bào)紙上的種種資料，你會發(fā)現(xiàn)：事實(shí)上，對于進(jìn)化論的大意以及如何理解新聞報(bào)紙上的資料，許多人連最模糊的觀念都沒有。造成這一問題的部分原因在于中小學(xué)的教學(xué)。教學(xué)體系的教師主要來自于教育院校。他們更多地停留在教學(xué)技能的層面而并沒有深入到教育的本質(zhì)部分。一個(gè)數(shù)學(xué)教師，哪怕是一個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教師，都應(yīng)該對這個(gè)科目有一個(gè)碩士水平的了解。唯有具備了如此深刻的了解，你才能用一種簡單的方式更好地去教初等的內(nèi)容。否則， 你可能會弄得不必要地過分復(fù)雜。威爾遜（Wilson）夫人，我的第一個(gè)數(shù)學(xué)教師，絕對是一個(gè)富有天分的數(shù)學(xué)家，這一點(diǎn)使她成為一個(gè)偉大的教師。
格里菲斯是幸運(yùn)的，但幸運(yùn)往往只屬于少數(shù)人。事實(shí)上，好的數(shù)學(xué)教師并不多見。讓我們來看看世界著名 的“雜交水稻之父”袁隆平的經(jīng)歷（見【27】）：
我在學(xué)習(xí)方面喜歡憑興趣，從小學(xué)到中學(xué)直到大學(xué)都是這樣：對喜歡的功課，就特別注意聽講，還讀這方面的參考書，成績就很好；不喜歡的，就考 60 分，只求及格就行。我喜歡地理、外文，化學(xué)我也喜歡， 我考試就拿高分。我最不喜歡數(shù)學(xué)，得 60 分就心滿意足。記得當(dāng)時(shí)學(xué)“負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)得正數(shù)”時(shí)，我很不理解，說正數(shù)乘以正數(shù)得到的是正數(shù)，這還好理解，為什么負(fù)數(shù)乘以負(fù)數(shù)也得正數(shù)？我就問老師為什么， 老師不講，只要我呆記。我不懂，那怎么呆記呢？要講道理呀！從此我便對數(shù)學(xué)不感興趣了。
可以想見，像袁隆平一樣，絕大部分學(xué)生遇見這樣的教師唯有“敢怒不敢言”（正如伍教授在做報(bào)告時(shí)所說的）。長此以往，學(xué)生不僅會泯滅對數(shù)學(xué)的興趣，甚至?xí)适處煹男湃??？梢哉f，學(xué)生學(xué)不好數(shù)學(xué)，教師應(yīng)負(fù)大部分的責(zé)任。再來看袁隆平的例子，事實(shí)上， 不懂“負(fù)負(fù)得正”的中小學(xué)生何止他一個(gè)，最有趣的一個(gè)例子居然是后來成為大數(shù)學(xué)家的吳文俊先生，這也是袁隆平透露給我們的（見【27】）：
記得有一件十分有趣的事，就是這次到北京，中央電視臺對我和吳文俊先生做一個(gè)專訪。這是我們兩人頭一次見面，但卻是一見如故，相談甚歡。……我說起小時(shí)候數(shù)學(xué)成績不好，初中時(shí)向老師提問為什么“負(fù)負(fù)得正”，到現(xiàn)在還是沒有弄清楚。吳老聽后大笑起來。后來聽說，原來他老先生在中學(xué)時(shí)對“負(fù)負(fù)得正”也是很不理解的。結(jié)果呢，他知難而進(jìn)，成了大數(shù)學(xué)家。
由此可見，“負(fù)負(fù)得正”的問題絕非個(gè)人案例。事實(shí)上，《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》第 29 章（這一章的標(biāo)題就是負(fù)負(fù)得正）開篇的一句就是：“可以說，在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生問得最多的問題就是負(fù)負(fù)得正的問題?！?據(jù)筆者所知，這個(gè)問題不僅僅是學(xué)生的問題，也是許多中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的問題：他們根本無法向?qū)W生解釋清楚為什么“負(fù)負(fù)得正”。
2.2 教材方面的問題
伍教授指出的第二個(gè)問題是中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中存在的各種問題：基本概念缺乏清晰的定義、數(shù)學(xué)推理論證含糊不清、數(shù)學(xué)符號的使用不恰當(dāng)、內(nèi)容設(shè)置缺乏整體的把握等。伍教授在【29】中說道，“中小學(xué)課本不及格，幾乎完全不是數(shù)學(xué)?！绹闹行W(xué)課本幾乎沒有定義，2 除以 3 弄不清，分?jǐn)?shù)學(xué)不了，數(shù)學(xué)的基本精神沒有了。”同樣的問題也暴露在大陸的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中。事實(shí)上，早在 1980 年代，著名數(shù)學(xué)家蘇步青教授就曾指出合理編寫中學(xué)教材的重要性，他在【17】中說道：
其次，要做好教材的編寫工作。教材是進(jìn)行教學(xué)的工具?！野衙绹⒌聡?、俄國、日本等國家的中學(xué)數(shù)學(xué)和理科課本翻閱了一遍，覺得有些地方值得借鑒?，F(xiàn)在， 我國中學(xué)數(shù)學(xué)和理科教材，比較重視基礎(chǔ)知識和基本技能，注重啟發(fā)學(xué)生的智力和培養(yǎng)學(xué)生的能力，這是好的。但是，有些內(nèi)容陳舊，需要更新；有些內(nèi)容濃縮、跳躍，如中學(xué)代數(shù)，把幾何、三角混合編排；不少教師反映，按這樣的順序講課不習(xí)慣。因此，編寫教材也要廣泛地征求中小學(xué)教師和科研部門專家的意見和建議，進(jìn)行適當(dāng)修改，編出一套比較理想的教材。
2.3 師資培訓(xùn)方面的問題
當(dāng)然，對于教師和教材中出現(xiàn)的問題，我們不能簡單地將責(zé)任全部推卸給教師與編者，而是要追究到他們所接受的教育上。伍教授指出（見【29】）：“不論是職前的還是在職的對中小學(xué)教師的師資培訓(xùn)，到目前為止，常常文不對題，教師們學(xué)到的數(shù)學(xué)與他們教的數(shù)學(xué)離題萬里?！比绻處熥陨硭邮艿呐嘤?xùn)不完善不合理、甚至帶有根本性的錯(cuò)誤，那么他們誤人子弟就在所難免了。
首先，職前的師資培訓(xùn)，也就是大學(xué)里為師范生所開設(shè)的課程，通常只涉及高等數(shù)學(xué)，如微積分、線性代數(shù)、解析幾何、抽象代數(shù)等等。這些課程講解的都是正確的數(shù)學(xué)知識，具有完整的理論體系，強(qiáng)調(diào)精確的邏輯推理，有助于教師更深刻地理解數(shù)學(xué)。但是， 未來的教師不僅要了解高等數(shù)學(xué)，更要學(xué)會給中小學(xué)生講解他們聽得懂的(acceptable) 初等數(shù)學(xué)。我們?nèi)杂谩柏?fù)負(fù)得正”來說明。假定我們的出發(fā)點(diǎn)是分配律，那么“負(fù)負(fù)得正”就是其必然推論。伍教授在【22】的一篇附錄中提到，在大學(xué)水平下，可以對所有的實(shí)數(shù)給 出一個(gè)邏輯嚴(yán)密的證明：
我們首先來證明，對于任意實(shí)數(shù) x 和 z 都有 (?x)z =?(xz)。注意到如果一個(gè)數(shù) A 滿足 w + A = 0，那么 A = ?w?，F(xiàn)在如果 A = (?x)z，由分配律意味著 xz + A = xz + [(?x)z] = (x + (?x))z = 0 · z = 0 。所以，事實(shí)上有 (?x)z = ?(xz)。對于給定的 y， 如果我們令 z = ?y， 這就推出(?x)(?y) = ?(x(?y))。
現(xiàn)在設(shè) B = (?x)(?y)，要證明 B = xy， 只需要證明 xy ? B = 0。這是對的，因?yàn)閤y ? B = xy ? [?(x(?y))] = xy + x(?y) = x[y + (?y)] = x · 0 = 0。這就是我們要證明的。
這個(gè)證明無懈可擊，但是卻因?yàn)樘橄罅硕y以為中 小學(xué)生所理解。作為比較，讀者可以在本文第 3 節(jié)找到負(fù)負(fù)得正的一個(gè)初等證明。
再如，兩個(gè)分?jǐn)?shù)
由上面兩個(gè)例子可以看出，“正確的中小學(xué)數(shù)學(xué)”與“正確的抽象數(shù)學(xué)”可能有天壤之別。目前在討論中小學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，許多師范類專業(yè)學(xué)生對“數(shù)學(xué)正確性” 的了解，還只停留在“正確的抽象數(shù)學(xué)”的階段，而對“正確的中小學(xué)數(shù)學(xué)”一無所知。所以，大學(xué)里的師范類數(shù)學(xué)專業(yè)需要設(shè)置專門的針對性課程，幫助未來的教師更好地講授初等數(shù)學(xué)。對此，他打了一個(gè)巧妙的比方：拉丁語是法語的起源語言，而且比法語更復(fù)雜。 那么為了造就一名好的小學(xué)法語教師，難道讓他們只學(xué)習(xí)拉丁語就夠了嗎？
此外，大學(xué)的數(shù)學(xué)師范類課程中通常也開設(shè)了一 些由教育學(xué)方面的教師講授的教學(xué)方法類的課程。伍教授認(rèn)為，這些教育理論確實(shí)有必要學(xué)習(xí)，但更好的辦法應(yīng)該是，把要教的正確的數(shù)學(xué)知識融入到這些理論框架中去。這就要求，數(shù)學(xué)界與教育學(xué)界一起合作共同設(shè)置合理的課程，確保未來的數(shù)學(xué)教師既對數(shù)學(xué)有深刻的理解，又能懂得如何正確地講授中小學(xué)數(shù)學(xué)。
其次，在職教師的師資培訓(xùn)也是一項(xiàng)巨大的工程。 多年來，數(shù)學(xué)師資培訓(xùn)里充斥了復(fù)雜的教育理論、課堂教學(xué)策略、教具使用、教學(xué)效果評估等等。這些對于教學(xué)固然重要，但最重要的還應(yīng)當(dāng)是所講授的知識本身：要確保教的是正確的數(shù)學(xué)。許多在職的數(shù)學(xué)教師多年積累下來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)大多是基于不合理的數(shù)學(xué)（參見本文標(biāo)題下第三段引言），所以，更有價(jià)值的師資培訓(xùn)應(yīng)當(dāng)以正確的數(shù)學(xué)知識為主要內(nèi)容。（未完待續(xù)）
左起：伍鴻熙教授、林開亮、趙潔、王盼盼（由伍鴻熙夫人Kuniko攝于首師大數(shù)學(xué)院）
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