要想學好數學,就必須提高應用數學知識解決問題的能力,學會把具體的數學知識轉化為自身的能力,提高分析問題和解決問題的能力。
我們經常說數學思想方法是數學的靈魂,是數學知識的精髓,只有不斷消化和理解數學思想方法,提高應用數學思想方法的能力,才能從真正意義上提高數學應用能力。
在中學數學學習階段,我們所涉及到的思想方法很多,如有化歸思想方法、分類討論思想方法、數形結合思想方法、數學建模思想方法等,這些數學思想方法應用廣泛,都是中高考重點考查對象。
為了能更好幫助大家加深對數學思想方法的理解,今天我們就一起來講講數形結合思想。
什么是數形結合思想呢?
數形結合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質研究數量關系,尋求代數問題的解決方法(以形助數),或利用數量關系來研究幾何圖形的性質,解決幾何問題(以數助形)的一種數學思想。
?數形結合思想,典型例題分析1:
如圖,拋物線y=x2﹣4x﹣1頂點為D,與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C.
(1)求這條拋物線的頂點D的坐標;
(2)經過點(0,4)且與x軸平行的直線與拋物線y=x2﹣4x﹣1相交于M、N兩點(M在N的左側),以MN為直徑作⊙P,過點D作⊙P的切線,切點為E,求點DE的長;
(3)上下平移(2)中的直線MN,以MN為直徑的⊙P能否與x軸相切?如果能夠,求出⊙P的半徑;如果不能,請說明理由.
考點分析:
二次函數綜合題;代數幾何綜合題;壓軸題;數形結合。
題干分析:
(1)利用配方法即可將函數解析式變形為:y=(x﹣2)2﹣5,由頂點式即可求得這條拋物線的頂點D的坐標;
(2)由經過點(0,4)且與x軸平行的直線與拋物線y=x2﹣4x﹣1相交于M、N兩點(M在N的左側),即可求得M與N的坐標,即可求得P的坐標,然后即可求得PE與PD的長,根據切線的性質,由勾股定理即可求得DE的長;
(3)根據已知,可得點P的橫坐標為2,又由以MN為直徑的⊙P與x軸相切,可得拋物線過點(2+r,r)或(2+r,﹣r),將點的坐標代入解析式即可求得r的值,則可證得以MN為直徑的⊙P能與x軸相切。
解題反思:
此題考查了二次函數的一般式與頂點式的轉化,還考查了圓的切線的性質等知識,是二次函數的綜合題型.此題綜合性很強,注意數形結合與方程思想的應用。
??從典型例題的分析,我們可以看到數形結合思想能使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來,使問題得以解決。
數形結合思想是數學中重要的思想方法。它根據數學問題中條件和結論之間的內在聯(lián)系,既分析其數量關系,又揭示其幾何意義,使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來,并充分利用這種結合,探求解決問題的思路,使問題得以解決的思考方法。
數形結合思想,典型例題分析2:
已知拋物線y=﹣ax2+2ax+b與x軸的一個交點為A(﹣1,0),與y軸的正半軸交于點C.
(1)直接寫出拋物線的對稱軸,及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標;
(2)當點C在以AB為直徑的⊙P上時,求拋物線的解析式;
(3)坐標平面內是否存在點M,使得以點M和(2)中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
考點分析:
二次函數綜合題.
題干分析:
(1)拋物線y=﹣ax2+2ax+b的對稱軸,可以根據公式直接求出,拋物線與x軸的另一交點與A關于對稱軸對稱,因而交點就可以求出;
(2)AB的長度可以求出,連接PC,在直角三角形OCP中,根據勾股定理就可以求出C點的坐標,把這點的坐標代入拋物線的解析式,就可以求出解析式;
(3)本題應分AC或BC為對角線和以AB為對角線三種情況進行討論,當以AC或BC為對角線時,點M在x軸上方,此時CM∥AB,且CM=AB.就可以求出點M的坐標。當以AB為對角線時,點M在x軸下方易證△AOC≌△BNM,可以求出點M的坐標。
解題反思:
大家一定要清楚認識到數形結合思想包含“以形助數”和“以數助形”兩個方面。即用數形結合思想解題可分兩類:一是依形判數,用形解決數的問題,常見于借用數軸、函數圖象、幾何圖形來求解代數問題;二是就數論形,用數解決形的問題,常見于運用恒等變形、建立方程(組)、面積轉換等求解幾何問題。
幾何圖形的形象直觀,便于理解;代數方法的一般性,解題過程的操作性強,便于把握。
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