相對論是關(guān)于時(shí)空和引力的基本理論，主要由阿爾伯特·愛因斯坦創(chuàng)立，依據(jù)研究的對象不同分為狹義相對論和廣義相對論。相對論的基本假設(shè)是相對性原理，即物理定律與參照系的選擇無關(guān)。
狹義相對論和廣義相對的區(qū)別是，前者討論的是勻速直線運(yùn)動的參照系（慣性參照系）之間的物理定律，后者則推廣到具有加速度的參照系中（非慣性系），并在等效原理的假設(shè)下，廣泛應(yīng)用于引力場中。相對論極大地改變了人類對宇宙和自然的“常識性”觀念，提出了“同時(shí)的相對性”、“四維時(shí)空”、“彎曲時(shí)空”等全新的概念。它發(fā)展了牛頓力學(xué)，推動物理學(xué)發(fā)展到一個新的高度。
狹義相對性原理是相對論的兩個基本假定，在目前實(shí)驗(yàn)的觀測下，物體的運(yùn)動與相對論是吻合很好的，所以目前普遍認(rèn)為相對論是正確的理論。
傳統(tǒng)上，在愛因斯坦剛剛提出相對論的初期，人們以所討論的問題是否涉及非慣性參考系來作為狹義與廣義相對論分類的標(biāo)志。隨著相對論理論的發(fā)展，這種分類方法越來越顯出其缺點(diǎn)——參考系是跟觀察者有關(guān)的，以這樣一個相對的物理對象來劃分物理理論，被認(rèn)為較不能反映問題的本質(zhì)。一般認(rèn)為，狹義與廣義相對論的區(qū)別在于所討論的問題是否涉及引力（彎曲時(shí)空），即狹義相對論只涉及那些沒有引力作用或者引力作用可以忽略的問題，而廣義相對論則是討論有引力作用時(shí)的物理學(xué)的。用相對論的語言來說，就是狹義相對論的背景時(shí)空是平直的，即四維平凡流型配以閔氏度規(guī)，其曲率張量為零，又稱閔氏時(shí)空；而廣義相對論的背景時(shí)空則是彎曲的，其曲率張量不為零。
狹義相對論建立在如下的兩個基本公設(shè)上：
1．物理規(guī)律在所有慣性系中都具有相同的形式。
2．在所有的慣性系中，光在真空中的傳播速度中具有相同的值C。
第一個叫做愛因斯坦相對性原理。它是說：如果坐標(biāo)系K'相對于坐標(biāo)系K作勻速運(yùn)動而沒有轉(zhuǎn)動，則相對于這兩個坐標(biāo)系所做的任何物理實(shí)驗(yàn)，都不可能區(qū)分哪個是坐標(biāo)系K，哪個是坐標(biāo)系K′。
第二個原理叫光速不變原理，它是說光（在真空中）的速度c是恒定的，它不依賴于發(fā)光物體的運(yùn)動速度。
從表面上看，光速不變似乎與相對性原理沖突。因?yàn)榘凑战?jīng)典力學(xué)速度的合成法則，對于K′和K這兩個做相對勻速運(yùn)動的坐標(biāo)系，光速應(yīng)該不一樣。愛因斯坦認(rèn)為，要承認(rèn)這兩個假設(shè)沒有抵觸，就必須重新分析時(shí)間與空間的物理概念。
可以表述為光子在時(shí)空中的世界線總是類光的。也正是由于光子有這樣的實(shí)驗(yàn)性質(zhì)，在國際單位制中使用了“光在真空中1/299，792，458秒內(nèi)所走過的距離”來定義長度單位“米”（米）。光速不變原理是宇宙時(shí)空對稱性的體現(xiàn)。
伽利略變換
伽利略的相對性原理指出，在一切慣性系中，力學(xué)規(guī)律是相同的。經(jīng)典的時(shí)空觀指出，在不同的慣性系之間，時(shí)空坐標(biāo)的變換遵循伽利略變換。
所謂時(shí)空觀，即是有關(guān)時(shí)間和空間的物理性質(zhì)的認(rèn)識。伽利略變換是力學(xué)相對論原理的數(shù)學(xué)描述。它集中反映了經(jīng)典力學(xué)的絕對時(shí)空觀。
1．時(shí)間間隔與慣性系的選擇無關(guān)。若有兩事件先后發(fā)生，在兩個不同的慣性系中的觀測者測得的時(shí)間間隔相同。
?
牛頓絕對時(shí)空觀公式及假設(shè)圖
2．空間間隔與慣性系的選擇無關(guān)；空間任意兩點(diǎn)之間的距離與慣性系的選擇無關(guān)。
人們可以看出，在經(jīng)典力學(xué)中，物體的坐標(biāo)和速度是相對的，同一地點(diǎn)也是相對的。但時(shí)間、長度和質(zhì)量這三個物理量是絕對的，同時(shí)性也是絕對的。這就是經(jīng)典力學(xué)的絕對時(shí)空觀。
洛倫茲變換
經(jīng)典力學(xué)中的速度合成法則實(shí)際依賴于如下兩個假設(shè)：
1．兩個事件發(fā)生的時(shí)間間隔與測量時(shí)間所用的鐘的運(yùn)動狀態(tài)沒有關(guān)系。
2．兩點(diǎn)的空間距離與測量距離所用的尺的運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)。
愛因斯坦發(fā)現(xiàn)，如果承認(rèn)光速不變原理與相對性原理是相容的，那么這兩條假設(shè)都必須摒棄。這時(shí)，對一個鐘是同時(shí)發(fā)生的事件，對另一個鐘不一定是同時(shí)的，同時(shí)性有了相對性。在兩個有相對運(yùn)動的坐標(biāo)系中，測量兩個特定點(diǎn)之間的距離得到的數(shù)值不再相等，距離也有了相對性。
如果設(shè)K坐標(biāo)系中一個事件可以用三個空間坐標(biāo)x、y、z和一個時(shí)間坐標(biāo)t來確定，而K′坐標(biāo)系中同一個事件由x′、y′、z′和t′來確定，則愛因斯坦發(fā)現(xiàn)，x′、y′、z′和t′可以通過一組方程由x、y、z和t求出來。兩個坐標(biāo)系的相對運(yùn)動速度和光速c是方程的唯一參數(shù)。這個方程最早是由洛侖茲得到的，所以稱為洛侖茲變換。
邁克爾遜－莫雷實(shí)驗(yàn)
1887年，阿爾貝特·邁克爾遜（后來成為美國第一個物理諾貝爾獎獲得者）和愛德華·莫雷在克里夫蘭的卡思應(yīng)用科學(xué)學(xué)校進(jìn)行了非常仔細(xì)的實(shí)驗(yàn)。目的是測量地球在以太中的速度（即以太風(fēng)的速度）。
如果以太存在，且光速在以太中的傳播服從伽利略速度疊加原理：
假設(shè)以太相對于太陽靜止，儀器在實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系中相對于以太以公轉(zhuǎn)軌道速度 ? 向右運(yùn)動。 光源發(fā)光經(jīng)分光鏡分光成兩束光，光束1經(jīng)反光鏡M1反射再經(jīng)分光鏡投射到觀測屏。光束2經(jīng)反光鏡M2反射再經(jīng)分光鏡投射到觀測屏，與光束1形成干涉。光在以太中傳播速度為 ? ，地球相對以太的速度為 ? 。光束1到達(dá)M1和從M1返回的傳播速度為不同的，分別為 ? 和 ? ，完成往返路程所需時(shí)間為： ? 。光束2完成來回路程的時(shí)間為 ? ，光束2和光束1到達(dá)觀測屏的光程差為 ? ? ?
?
然后讓實(shí)驗(yàn)儀器整體旋轉(zhuǎn)90度，則光束1和光束2到達(dá)觀測屏的時(shí)間互換，使得已經(jīng)形成的干涉條紋產(chǎn)生移動。改變的量為? 。移動的條紋數(shù)為 ? 。
實(shí)驗(yàn)中用鈉光源， ? ；
地球的公轉(zhuǎn)軌道運(yùn)動速率為： ? ；干涉儀光臂（分光鏡到反光鏡） ? ，
應(yīng)該移動的條紋為： ? 。邁克爾遜和莫雷將干涉儀裝在十分平穩(wěn)的大理石上，并讓大理石漂浮在水銀槽上，可以平穩(wěn)地轉(zhuǎn)動。并當(dāng)整個儀器緩慢轉(zhuǎn)動時(shí)連續(xù)讀數(shù),這時(shí)該儀器的精確度為0.01% ,即能測到1/100條條紋移動，用該儀器測條紋移動應(yīng)該是很容易的。邁克爾遜和莫雷設(shè)想：如果讓儀器轉(zhuǎn)動90°，光通過M1、M2的時(shí)間差應(yīng)改變，干涉條紋要發(fā)生移動，從實(shí)驗(yàn)中測出條紋移動的距離，就可以求出地球相對以太的運(yùn)動速度，從而證實(shí)以太的存在。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果是:未發(fā)現(xiàn)任何條紋移動。在此之后的許多年,邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)又被重復(fù)了許多次,所得都是零結(jié)果。
時(shí)空觀
同時(shí)的相對性：據(jù)狹義相對性原理，慣性系是完全等價(jià)的，因此，在同一個慣性系中，存在統(tǒng)一的時(shí)間，稱為同時(shí)性，而相對論證明，在不同的慣性系中，卻沒有統(tǒng)一的同時(shí)性，也就是兩個事件（時(shí)空點(diǎn)）在一個慣性系內(nèi)同時(shí)，在另一個慣性系內(nèi)就可能不同時(shí)，這就是同時(shí)的相對性，在慣性系中，同一物理過程的時(shí)間進(jìn)程是完全相同的，如果用同一物理過程來度量時(shí)間，就可在整個慣性系中得到統(tǒng)一的時(shí)間。在廣義相對論中可以知道，非慣性系中，時(shí)空是不均勻的，也就是說，在同一非慣性系中，沒有統(tǒng)一的時(shí)間，因此不能建立統(tǒng)一的同時(shí)性。
長度的相對性：如圖8.5所示，有兩個參考系S和S'。有一根棒A'B'固定在x'軸上，在S'系中測得它的長度為l'。為了求出它在S系中的長度l，人們假想在S系中某一時(shí)刻t1，B'端經(jīng)過x1，在其后t1+Δt時(shí)刻A'經(jīng)過x1。由于棒的運(yùn)動速度為u。在t1+Δt這一時(shí)刻B'端的位置一定在x2=x1+uΔt處。根據(jù)上面所說長度測量的規(guī)定，在S系中棒長就應(yīng)該是l=x2-x1=uΔt 。
?
再看Δt，它是B'端和A'端相繼通過x1點(diǎn)這兩個事件之間的時(shí)間間隔。由于x1是S系中一個固定地點(diǎn)，所以Δt是這兩個事件之間的原時(shí)。從S'系看來，棒是靜止的，由于S系向左運(yùn)動，x1這一點(diǎn)相繼經(jīng)過B'端和A'端（見圖8.6）。由于棒長為l'，所以x1經(jīng)過B'和A'這兩個事件之間的時(shí)間間隔Δt'，在S'系中測量
?
再看Δt'，它是不同地點(diǎn)先后發(fā)生的兩個事件的時(shí)間間隔，它是兩地時(shí)，根據(jù)原時(shí)和兩地時(shí)的關(guān)系，有
?
將此式代入前式即可得：
?
空間的量度與觀察這一量度的參照系有關(guān)。所以，在飛船上的尺和地球上的尺是不會一樣的。通過火車相對于月臺的長度問題的討論，人們得知：沿運(yùn)動方向固定在高速運(yùn)動飛船上的尺，如果由地球上的人來觀測，就比飛船上的人觀測的長度短。至于長度收縮多少，是與飛船飛行的速度，也就是兩個參照系之間的相對速度有關(guān)。
相反，固定在地球上的尺的長度，若由飛船上觀察者來觀測的話，則沿運(yùn)動方向的長度不是伸長，而是縮短。
由此，得出結(jié)論：當(dāng)一個物體對于某參照系是靜止的時(shí)候，就這個參照系來看，物體長度最大。沿垂直于運(yùn)動方向時(shí)，長度則不發(fā)生變化。
時(shí)間間隔的相對性：根據(jù)愛因斯坦1905年提出的狹義相對論，處于快速運(yùn)動狀態(tài)的表，與構(gòu)造完全相同、指針在動但表殼本身 卻處于靜止?fàn)顟B(tài)的表相比，快動表的指針轉(zhuǎn)動得慢，也就是時(shí)間流逝得慢，專業(yè)說法是“時(shí)間膨脹”效應(yīng)。
狹義相對論力學(xué)
（注：“γ”為相對論因子， ? ， ? ，u為慣性系速度。）
1．基本原理：
（1）相對性原理：所有慣性系都是等價(jià)的。
（2）光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關(guān)的常數(shù)。
（此處先給出公式再給出證明）
2．洛侖茲坐標(biāo)變換：
?
?
?
?
3．速度變換：
?
?
?
4．尺縮效應(yīng)： ? 或 ?
5．鐘慢效應(yīng)： ? 或 ?
6．光的多普勒效應(yīng)： ?
（光源與探測器在一條直線上運(yùn)動。）
7．動量表達(dá)式： ? ，即 ?
8．相對論力學(xué)基本方程： ?
9．質(zhì)能方程： ?
10．能量動量關(guān)系： ?
（注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內(nèi)進(jìn)行，一種在四維時(shí)空中證明，實(shí)際上他們是等價(jià)的。）
三維證明
1．由實(shí)驗(yàn)總結(jié)出的公理，無法證明。
2．洛侖茲變換：
設(shè)（x，y，z，t）所在坐標(biāo)系（A系）靜止，（X，Y，Z，T）所在坐標(biāo)系（B系）速度為u，且沿x軸正向。在A系原點(diǎn)處，x=0，B系中A原點(diǎn)的坐標(biāo)為X=-uT，即X+uT=0。
可令
? （1）.
又因在慣性系內(nèi)的各點(diǎn)位置是等價(jià)的，因此k是與u有關(guān)的常數(shù)（廣義相對論中，由于時(shí)空彎曲，各點(diǎn)不再等價(jià)，因此k不再是常數(shù)。）同理，B系中的原點(diǎn)處有 ? ，由相對性原理知，兩個慣性系等價(jià)，除速度反向外，兩式應(yīng)取相同的形式，即k=K。
故有
? （2）.
對于y，z，Y，Z皆與速度無關(guān)，可得
? （3）.
? （4）.
將（2）代入（1）可得： ? ，即
? （5）.
（1）（2）（3）（4）（5）滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當(dāng)兩系的原點(diǎn)重合時(shí)，由重合點(diǎn)發(fā)出一光信號，則對兩系分別有 ? ， ? 。
代入（1）（2）式得： ? ， ? 。兩式相乘消去t和T得：
? .
將γ反代入（2）（5）式得坐標(biāo)變換：
?
?
?
?
3．速度變換：
?
同理可得V（y），V（z）的表達(dá)式。
4．尺縮效應(yīng)：
B系中有一與x軸平行長l的細(xì)桿，則由 ? 得： ? ，又△t=0（要同時(shí)測量兩端的坐標(biāo)），則 ? ，即： ? ， ? 。
5．鐘慢效應(yīng)：
由坐標(biāo)變換的逆變換可知， ? ，故 ? ，又 ? ，（要在同地測量），故 ? 。
（注：與坐標(biāo)系相對靜止的物體的長度、質(zhì)量和時(shí)間間隔稱固有長度、靜止質(zhì)量和固有時(shí)，是不隨坐標(biāo)變換而變的客觀量。）
6．光的多普勒效應(yīng)：（注：聲音的多普勒效應(yīng)是： ? ）
B系原點(diǎn)處一光源發(fā)出光信號，A系原點(diǎn)有一探測器，兩系中分別有兩個鐘，當(dāng)兩系原點(diǎn)重合時(shí)，校準(zhǔn)時(shí)鐘開始計(jì)時(shí)。B系中光源頻率為ν（b），波數(shù)為N，B系的鐘測得的時(shí)間是△t（b），由鐘慢效應(yīng)可知，A△系中的鐘測得的時(shí)間為
? （1）.
探測器開始接收時(shí)刻為 ? ，最終時(shí)刻為 ? ，則
? （2）.
相對運(yùn)動不影響光信號的波數(shù)，故光源發(fā)出的波數(shù)與探測器接收的波數(shù)相同，即
? （3）.
由以上三式可得：
? .
7．動量表達(dá)式：（注： ? ，此時(shí)， ? 因?yàn)閷τ趧恿W(xué)質(zhì)點(diǎn)可選自身為參考系， ? ）
牛頓第二定律在伽利略變換下，保持形式不變，即無論在那個慣性系內(nèi)，牛頓第二定律都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進(jìn)行修正，要求是在坐標(biāo)變換下仍保持原有的簡潔形式。
牛頓力學(xué)中， ? ，r在坐標(biāo)變換下形式不變，（舊坐標(biāo)系中為（x，y，z）新坐標(biāo)系中為（X，Y，Z））只要將分母替換為一個不變量（當(dāng)然非固有時(shí) ? 莫屬）就可以修正速度的概念了。即令 ? 為相對論速度。牛頓動量為 ? ，將v替換為V，可修正動量，即 ? 。定義 ? （相對論質(zhì)量）則 ? .這就是相對論力學(xué)的基本量：相對論動量。（注：人們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計(jì)算）
8．相對論力學(xué)基本方程：：
由相對論動量表達(dá)式可知： ? ，這是力的定義式，雖與牛頓第二定律的形式完全一樣，但內(nèi)涵不一樣。（相對論中質(zhì)量是變量）
9．質(zhì)能方程：
?
?
?
?
即 ?
10．能量動量關(guān)系：
? ， ?
? ，
? ，
四維證明
1．公理，無法證明。
2．坐標(biāo)變換：由光速不變原理：dl=cdt，即dx2+dy2+dz2+（icdt）2=0在任意慣性系內(nèi)都成立。定義dS為四維間隔，
dS2=dx2+dy2+dz2+（icdt）2 （1）.
則對光信號dS恒等于0，而對于任意兩時(shí)空點(diǎn)的dS一般不為0。dS2>0稱類空間隔，dS2<0稱類時(shí)間隔，dS2=0稱類光間隔。相對論原理要求（1）式在坐標(biāo)變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標(biāo)變換無關(guān)的不變量，dS2dS2光速不變原理要求光信號在坐標(biāo)變換下dS是不變量。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結(jié)論：dS是坐標(biāo)變換下的不變量。
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