南開(kāi)翔宇學(xué)校

　　楊濱

　　進(jìn)入初三，同學(xué)們都感到作業(yè)量增加，知識(shí)難度增大，但在數(shù)量龐大的作業(yè)題中，如何將知識(shí)分類(lèi)細(xì)化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，查找漏洞，是能否在緊張的學(xué)習(xí)中取勝的關(guān)鍵之一。因此，本次把同學(xué)們?cè)谧鳂I(yè)里出現(xiàn)的易混淆、易出錯(cuò)的幾道例題進(jìn)行分析比較，和同學(xué)們共同探討。

　　例1

　　如圖所示，AD、DC、CB分別切半圓⊙O于點(diǎn)A、E、B，且AD=3cm，BC=5cm，求直徑AB的長(zhǎng)度。

　　解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CB于點(diǎn)F

　　∵AD、CB是切線(xiàn)

　　∴AD⊥AB，CB⊥AB

　　∴四邊形ABFD是矩形

　　∴DF=AB，AD=FB   ∴CF=BC-FB=BC-AD=5-3=2cm

　　又∵AD、DC、CB是⊙O的切線(xiàn)，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知

　　∴AD=DE，CE=CB  ∴CD=AD+CB=DE+CE=3+5=8cm

　　∴在Rt△DCF中，DF=■=■=2■cm

　　∴AB=2■cm

　　本題是典型的運(yùn)用切線(xiàn)長(zhǎng)定理的例題，其中直角梯形垂直于底的腰是上下底之和，再結(jié)合作高這種輔助線(xiàn)的做法，最后運(yùn)用勾股定理求出直徑。

　　例2

　　如圖所示，CD切半圓⊙O于點(diǎn)E，AB為直徑，AD⊥CD，BC⊥CD且AD=3cm，BC=5cm，求CD的長(zhǎng)度。

　　解：連接OE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB于點(diǎn)F

　　∵AD⊥CD，BC⊥CD

　　∴四邊形AFCD是矩形    ∴DC=AF，AD=CF

　　∴BF=BC-CF=BC-AD=5=3=2cm

　　又∵CD切半圓⊙O于點(diǎn)E  ∴OE⊥CD于E

　　∵AD⊥CD，BC⊥CD

　　∴AD∥OE∥CB，且AB為直徑，O為圓心

　　∴點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)

　　∴線(xiàn)段OE是梯形ABCD的中位線(xiàn)

　　∴OE=■(AD+BC)=4cm

　　∴AB=2OE=8cm

　　∴在Rt△ABF中，AF=■=■=2■cm

　　在做完例1后，同學(xué)們會(huì)認(rèn)為例2和例1圖形很類(lèi)似，是同類(lèi)題，但實(shí)際差別較大。例2中只有一條圓的切線(xiàn)，所以不符合切線(xiàn)長(zhǎng)定理的條件，因此梯形垂直于底的腰不是上下底之和，而是運(yùn)用了梯形中位線(xiàn)的知識(shí)求出圓的半徑，再用勾股定理計(jì)算CD的長(zhǎng)。

　　例3

　　相交兩圓的半徑為■和■，公共弦為4，求這兩個(gè)圓的圓心距。

　　解：本題分兩種情況

　　第一種情況，公共弦AB與連心線(xiàn)O1O2交于點(diǎn)C(即O1O2=O1C+O2C)

　　∵O1O2垂直平分弦AB　　∴AC=2

　　∴在Rt△AO1C中，O1C=■=■=■

　　∴在Rt△AO2C中，O2C=■=■=1

　　∴O1O2=O1C+O2C=■+1